オイラー平均方程式系

ある物理量 $A$ について, $\phi, z^*, t$ を固定して 東西方向にとった平均

$$\overline{A}(\phi, z^*, t) \equiv \Dinv{2\pi}\int_0^{2\pi} A(\lambda, \phi, z^*, t) \Dd \lambda$$ (A.2)

をオイラー平均と呼ぶ. オイラー平均からのずれを $A'$ とすると

$$A' = A - \overline{A}$$ (A.3)

である. 定義により, $\overline{A'}=0$, $\partial \overline{A}/\partial\lambda = 0$ となる. () 中の各量をオイラー平均とそこからのずれに分けて書くと

となる. 上記を変形して, 左辺に平均量と平均量同士の積の項を, 右辺にそれ以外の項をまとめると

と書ける. () をオイラー平均すると,

となる. ここで (), () から東西平均からのずれに関する連続の式

$$\Dinv{a\cos\phi}\left[\DP{u'}{\lambda} + \DP{}{\phi}(v'\cos\phi)\right] + \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0 w') = 0$$ (A.7)

が得られる.

() を使って () を変形する. () に $u'$ をかけて オイラー平均をとると

$$\Dinv{a \cos \phi} \overline{u' \DP{u'}{\lambda}} + \Dinv{a} \ove... ...line{ u' \DP{w'}{z^*} } + \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ u' w' } = 0$$ (A.8)

これを () に加えると

$$\DP{\overline{u}}{t} + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\phi} + \overline{w}\DP{... ...erline{v} - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v} - \overline{X} \notag$$

$$= - \frac{2}{a\cos\phi} \overline{u'\DP{u'}{\lambda}} - \Dinv{a}... ... - \overline{u'\DP{w'}{z^*}} - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{u'w'}$$

ここで

$$- \frac{2}{a\cos\phi} \overline{ u' \DP{u'}{\lambda} } = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u')^2}{\lambda}} = 0,$$

$$- \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}} - \Dinv{a}\overline{u'\DP{v'}{\phi}} + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'} = - \Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi),$$

$$- \overline{w'\DP{u'}{z^*}} - \overline{u'\DP{w'}{z^*}} - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{u'w'} = - \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0\overline{w'u'})$$

を用いると,

$$\DP{\overline{u}}{t} + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\ph... ...e{v} - \frac{\tan\phi}{a} \overline{u} \ \overline{v} - \overline{X} \notag$$

$$\qquad = - \Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi) - \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0\overline{w'u'})$$

と書くことができる. () に関しても同様に, () に $v'$ をかけて オイラー平均をとった式

$$\Dinv{a \cos \phi} \overline{ v' \DP{u'}{\lambda} } + \Dinv{a} \o... ...line{ v' \DP{w'}{z^*} } + \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' } = 0$$ (A.9)

を () に加えると

$$\DP{\overline{v}}{t} + \frac{\overline{v}}{a} \DP{\overline{v}}{... ...(\overline{u})^2 + \Dinv{a} \DP{\overline{\Phi}}{\phi} - \overline{Y} \notag$$

$$\qquad = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{v'}{\lambda}} - \Din... ...hi}} - \overline{w'\DP{v'}{z^*}} - \frac{\tan\phi}{a} \overline{u'^2} \notag$$

$$\qquad \qquad - \Dinv{a \cos \phi} \overline{v' \DP{u'}{\lambda}... ...verline{ v' \DP{w'}{z^*} } - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' }$$

が得られる. ここで

$$- \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{v'}{\lambda}} - \Dinv{a \cos \phi} \overline{v' \DP{u'}{\lambda}} = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u' v')}{\lambda}} = 0,$$

$$- \Dinv{a} \overline{ v' \DP{v'}{\phi} } - \Dinv{a} \overline{ v' \DP{v'}{\phi} } + \frac{\tan \phi}{a} \overline{ v'^2 } = - \Dinv{a \cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \overline{v'^2} \right)$$

$$- \overline{w'\DP{v'}{z^*}} - \overline{ v' \DP{w'}{z^*} } - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' } = - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ v' w' } \right)$$ (A.10)

を用いると

$$\DP{\overline{v}}{t} + \frac{\overline{v}}{a} \DP{\overline{v}}{... ...(\overline{u})^2 + \Dinv{a} \DP{\overline{\Phi}}{\phi} - \overline{Y} \notag$$

$$\qquad = - \Dinv{a \cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \o... ...line{u'^2} - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ v' w' } \right)$$

と書くことができる. () についても同様に, () に $\theta'$ をかけて オイラー平均をとった式

$$\Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\lambda}} + \Dinv{a}... ...ta' \DP{w'}{z^*} } + \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' } = 0$$ (A.11)

を () に加えると

$$\DP{\overline{\theta}}{t} + \frac{\overline{v}}{a}\DP{\overline{\theta}}{\phi} + \overline{w}\DP{\overline{\theta}}{z^*} - \overline{Q} \notag$$

$$\qquad = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{\theta'}{\lambda}} ... ...inv{a}\overline{v'\DP{\theta'}{\phi}} - \overline{w'\DP{\theta'}{z^*}} \notag$$

$$\qquad \qquad - \Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\la... ...theta' \DP{w'}{z^*} } - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' }$$

が得られる. ここで

$$- \Dinv{a \cos \phi}\overline{u' \DP{\theta'}{\lambda}} - \Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\lambda}} = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u' \theta')}{\lambda}} = 0,$$

$$- \Dinv{a} \overline{ v' \DP{\theta'}{\phi} } - \Dinv{a} \overline{ \theta' \DP{v'}{\phi} } + \frac{\tan \phi}{a} \overline{ \theta' v' } = - \Dinv{a \cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \overline{v' \theta'} \right)$$

$$- \overline{w'\DP{\theta'}{z^*}} - \overline{ \theta' \DP{w'}{z^*} } - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' } = - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ w' \theta' } \right)$$

を用いると

$$\DP{\overline{\theta}}{t} + \frac{\overline{v}}{a}\DP{\overline{... ...ight) - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ w' \theta' } \right)$$

となる.

以上をまとめると, 以下のオイラー平均方程式が得られる.