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本数値モデルは水平・鉛直の 3 次元モデルである. 水平方向の座標変数を 4#4, 5#5, 鉛直方向の座標変数を 6#6 と表し, 時間方向の変数は 7#7 と表す.
考えている系では, 以下のことが成り立つと仮定する.
力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系(Klemp and Wilhelmson,1978)を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 基本場は静水圧平衡の状態にあるものと仮定する. また気体は理想気体とみなせるものとする. 準圧縮方程式系の導出は付録 A に示す. 方程式中の変数は付録 D に示す.
Klemp and Wilhelmson(1978) では凝結性気体や凝結物を混合比で表現している のに対し, 本モデルでは比湿で表現している. 但し本ドキュメントにおける比湿とは, 通常の気象学で用いられている比湿を拡 張し, 全密度に対する任意の気体や凝結物の密度の比を指すものとする. 主成分が凝結する惑星大気を扱う際, 非凝結気体の密度を分母とする混合比を用 いると数値計算上の困難が生じる可能性がある. このことは様々な惑星大気を扱うことを目的とする本モデルにとって大きな問題 となりうる. そこで本モデルでは微量成分が凝結する系だけでなく, 主成分が凝結する系での 計算も行なえるよう, 凝結気体や凝結物を比湿で表現することにする.
本モデルでは非凝結性気体, 凝結性気体, 雲水, 雨水(氷)の 4 つのカテゴリー を想定している.
| 記号 | 意味 | 内容 |
| 8#8 | 非凝結性気体の比湿 | |
| 9#9 | 凝結性気体の比湿 | |
| 10#10 | 雲水比湿 | 落下速度がゼロである粒子に関する比湿. |
| 大気中の雲粒に対応. | ||
| 11#11 | 雨水比湿 | 有意な落下速度を持つ粒子に関する比湿. |
| 大気中の雨粒または氷粒に対応. |
12#12, 13#13, 14#14, 15#15, 16#16 をそれぞれ非凝結成分の密
度, 凝結成分の密度, 雲水の密度, 雨水の密度, 全密度とすると,
| 17#17 | (1) |
| 18#18 | 19#19 | 20#20 | (2) |
| 21#21 | 19#19 | 22#22 | (3) |
| 23#23 | 19#19 | 24#24 | (4) |
| 25#25 | 19#19 | 26#26 | (5) |
| 27#27 | (6) |
各変数を基本場と擾乱場に分け, 基本場の風速, 雲水比湿と雨水比湿がゼロ
であるとみなす.
また基本場は水平一様であり, 静水圧平衡が成り立つと仮定する.
基本場の物理量に 29#29 を付し, 擾乱場の物理量に 30#30 を付すこと
にすると, 各変数は以下のように書ける.
| 31#31 | 19#19 | 32#32 | |
| 33#33 | 19#19 | 34#34 | |
| 35#35 | 19#19 | 36#36 | |
| 37#37 | 19#19 | 38#38 | |
| 39#39 | 19#19 | 40#40 | |
| 41#41 | 19#19 | 42#42 | |
| 43#43 | 19#19 | 44#44 | |
| 45#45 | 19#19 | 46#46 | |
| 47#47 | 19#19 | 48#48 | |
| 49#49 | 19#19 | 50#50 |
| 52#52 | 53#53 | 54#54 | (7) |
| 55#55 | 53#53 | 56#56 | (8) |
| 57#57 | 53#53 | 58#58 | (9) |
| 59#59 | 53#53 | 60#60 | (10) |
| 61#61 | 53#53 | 62#62 | (11) |
| 63#63 | 53#53 | 64#64 | (12) |
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.
また状態方程式は
| 79#79 | (13) |
| 80#80 | 53#53 | 81#81 | (14) |
| 82#82 | 53#53 | 83#83 | (15) |
以下, 基本場が満たす式を一覧する.
状態方程式は
| 87#87 | (16) |
| 88#88 | 53#53 | 89#89 | (17) |
| 90#90 | 53#53 | 91#91 | (18) |
| 92#92 | 53#53 | 93#93 | (19) |
| 96#96 | (20) |
| 97#97 | (21) |
| 98#98 | 53#53 | 99#99 | (22) |
以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 本モデルにおける予報変数は 101#101, 102#102, 103#103, 104#104, 105#105 (106#106) である. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮し ない. 凝結量は気相質量に比べて十分少ないと仮定する.
| 107#107 | 19#19 | 108#108 | (23) |
| 109#109 | 19#19 | 110#110 | (24) |
| 111#111 | 19#19 | 112#112 | |
| 113#113 | (25) |
| 114#114 | 19#19 | 115#115 | |
| 116#116 | |||
| 117#117 | |||
| 118#118 |
| 119#119 | 19#19 | 120#120 | |
| 121#121 | (26) |
| 122#122 | 19#19 | 123#123 | |
| 124#124 | |||
| 125#125 | (27) |
このとき def_qa は 106#106 の 3 相に関する式となる. 126#126, 127#127, 128#128 はそれぞれ凝結加熱, 放射加熱, 散逸加熱による温度変化率を表し, 129#129, 130#130 はそれぞれ生成項, 落下項を表す. 129#129, 130#130, 126#126 の定式化については 1.2 節で詳述する. 127#127 の定式化については 1.3 節で詳述する. 128#128, 131#131 の定式化については 1.4 節で詳述する.
本モデルでは Kessler(1969) のパラメタリゼーションと Tobie et al.(2003)
に基づくパラメタリゼーションの 2 種類が用意されている.
Kessler(1969) のパラメタリゼーションでは 4 つのカテゴリーを想定し, 微物
理素過程として以下を考慮する.
ただし, これらの量は全て正の値として定義され,
水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.
| 記号 | 内容 |
| 132#132 | 凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation) |
| 133#133 | 蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation) |
| 134#134 | 蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation) |
| 135#135 | 併合成長による雲水から雨水への変換. 併合や水蒸気拡散により, |
| 雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation) | |
| 136#136 | 衝突併合による雲水から雨水への変換. |
| 大水滴が小水滴を衝突併合する (collection) | |
| 137#137 | 雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (precipitation) |
この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ
れる.
| 138#138 | 19#19 | 139#139 | (28) |
| 140#140 | 19#19 | 141#141 | (29) |
| 142#142 | 19#19 | 143#143 | (30) |
| 144#144 | 19#19 | 145#145 | (31) |
| 146#146 | 19#19 | 145#145 | (32) |
| 147#147 | 19#19 | 148#148 | (33) |
| 149#149 | 19#19 | 150#150 | (34) |
def_theta, def_qa を書き直すと, 以下のようになる.
| 119#119 | 19#19 | 151#151 | |
| 152#152 | (35) | ||
| 153#153 | 19#19 | 154#154 | |
| 155#155 | (36) | ||
| 156#156 | 19#19 | 157#157 | |
| 158#158 | (37) | ||
| 159#159 | 19#19 | 160#160 | (38) |
微物理素過程は以下のように定式化する.
| 165#165 | (39) |
| 168#168 | (40) |
| 169#169 | (41) |
| 171#171 | (42) |
| 173#173 | (43) |
各々の微物理過程の導出については, 付録 C を参照されたい.
Tobie et al.(2003) は火星大気での CO175#175 の雲物理の定式化について述べ ている. Tobie et al.(2003) では雲水を除く 3 つのカテゴリーを考える(176#176). 雲粒は拡散成長のみによって成長すると仮定し, 雲粒の併合成長は考慮しない. 微物理過程として以下を考慮する.
| 記号 | 内容 |
| 177#177 | 凝結による水蒸気から氷への変換 (condensation) |
| 137#137 | 氷粒の重力落下に伴う氷比湿の変化率 (precipitation) |
この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ
れる.
| 138#138 | 19#19 | 178#178 | (44) |
| 142#142 | 19#19 | 179#179 | (45) |
| 144#144 | 19#19 | 145#145 | (46) |
| 147#147 | 19#19 | 148#148 | (47) |
| 149#149 | 19#19 | 180#180 | (48) |
def_theta, def_qa を書き直すと, 以下のようになる.
| 119#119 | 19#19 | 181#181 | |
| 152#152 | (49) | ||
| 153#153 | 19#19 | 182#182 | |
| 183#183 | (50) | ||
| 159#159 | 19#19 | 184#184 | (51) |
以下, 177#177 の取り扱いについて述べる.
本モデルでは単位質量の気相に含まれる凝結核の個数及び半径は空間的・時間的
に一様と仮定する.
また雲粒の半径は各格子内において空間的に一定であると仮定する.
更に雲粒は球形の凝結核を核として形成され, 雲粒自身も球形となると仮定する.
このとき
| 187#187 | (52) |
| 194#194 | (53) |
| 198#198 | 19#19 | 199#199 | (54) |
| 200#200 | 19#19 | 201#201 | (55) |
| 202#202 | 19#19 | 203#203 | (56) |
| 208#208 | (57) |
| 209#209 | (58) |
| 218#218 | (59) |
以下, 単位時間体積当たりの雲粒落下量 219#219 の取り扱いについて述べる.
Tobie et al.(2003) では雲粒落下を無視しているが, 本パラメタリゼーション
では考慮する.
219#219 は Kessler(1969) と同様に, 雲粒の終端速度 172#172 での移流
として表現する.
即ち
| 220#220 | (60) |
| 221#221 | (61) |
| 223#223 | (62) |
| 225#225 | (63) |
| 234#234 | (64) |
放射加熱項 127#127 は正味の上向き放射フラックス 242#242 を用いて
以下のように表される.
本モデルでは 242#242 は陽に計算せず, 127#127 は高度のみに依存する パラメタとして与える.
| 244#244 | 19#19 | 245#245 | |
| 19#19 | 246#246 | (65) |
| 249#249 | (66) |
| 251#251 | 19#19 | 252#252 | |
| 19#19 | 253#253 | (67) |
| 251#251 | 19#19 | 252#252 | |
| 19#19 | 254#254 | (68) |
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に,
1.5 次のクロージャーを用いて, 乱流エネルギーの時間発展方程式を表現する
.
雲が存在しない場合,
| 257#257 | 19#19 | 258#258 | |
| 259#259 | |||
| 260#260 | |||
| 261#261 | |||
| 262#262 | |||
| 263#263 | |||
| 264#264 | (69) |
| 257#257 | 19#19 | 258#258 | |
| 265#265 | |||
| 266#266 | |||
| 267#267 | |||
| 260#260 | |||
| 261#261 | |||
| 262#262 | |||
| 263#263 | |||
| 268#268 | (70) |
散逸加熱項 128#128 は, 乱流運動エネルギーの散逸項をもとに,
以下のように与える.
| 271#271 | (71) |