C. 差分式の導出と誤差

appendix-c

ここでは交互格子を用いた場合の空間微分の差分式の導出と, その誤差につい てまとめる. 具体例としてフラックス格子点の変数 2#2 の, 408#408 格子点 上における 7#7 方向一階微分

409#409

の差分式と, その誤差を考える.

1 2 次精度中心差分

フラックス格子点 410#410 上の 2#2 411#411 を 7#7 方向に 412#412 だけずれたスカラー格子点 408#408 上の 2#2 413#413 のテー ラー展開として表すと, 以下のようになる.

414#414 52#52 415#415

416#416 (151)

同様に, フラックス格子点 417#417 上の 2#2 418#418 を 419#419 のテーラー展開として表すと, 以下のようになる.

420#420 52#52 421#421

422#422 (152)

u_i(u),j のテーラー展開 423#423 u_i-1(u),j のテーラー展開 より,

424#424 52#52 425#425

426#426 (153)

これを変形すると 408#408 格子点上における 2#2 の 7#7 方向一階微分の式 が得られる.

427#427 52#52 428#428

429#429 (154)

上式の 430#430 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 2 次精度中心差分の式

431#431 (155)

が得られる. このときの誤差の大きさは

432#432 (156)

となる.

2 4 次精度中心差分

2 次精度中心差分の式を求める際に用いたu_i(u),j のテーラー展 開, u_i-1(u),j のテーラー展開に加え, 408#408 から 7#7 方向に 433#433 だけずれたフラックス格子点での 2#2 434#434 の値を419#419 のテーラー展開として求める.

435#435 52#52 436#436

437#437 (157)

438#438 52#52 439#439

440#440 (158)

u_i+1(u),j のテーラー展開 423#423 u_i-2(u),j のテーラー展開 より,

441#441 52#52 442#442

443#443 (159)

u_i,j の差分式1444#444u_i,j の差分式2を行い 445#445 の項を消去すると,

446#446 52#52 447#447

448#448 (160)

これを変形して 408#408 格子点上における 2#2 の 7#7 方向一階 微分の式が得られる.

449#449 52#52 450#450

451#451 (161)

上式の 452#452 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 4 次精度中心差分式

453#453 (162)

が得られる. このときの誤差の大きさは

454#454 (163)

となる.