8. 蒸発・凝結による地表面気圧変化

8.1 基本的な考え方

大気の質量は, 水蒸気の蒸発と凝結(降水過程)によって変化する. 現在の地球大気の場合には通常この効果は無視することが できるけれども, 大気中の水蒸気量が増大した場合には 蒸発と凝結による大気質量変化を考慮する必要がある.

蒸発と凝結による大気質量変化をまじめに考慮する場合には, 各高度レベルにおいて質量変化を計算することになる. しかし, そのような取り扱いは $\sigma$ 座標系においては 非常に繁雑になる. dcpam の蒸発・凝結による大気質量変化を計算するモジュールにおいては, 水蒸気の凝結・蒸発による大気質量の変化については, それぞれの鉛直コラムにおけるトータルの質量変化, すなわち蒸発量と凝結量の差の鉛直積分 だけを考慮し, 各時間ステップの最後で表面気圧 $p_s$ と比湿 $q$ を 補正するということをおこなっている.

8.2 表面気圧変化の計算

各時間ステップにおける表面気圧 $p_s$ の補正量を $\Delta p_s$, 凝結と蒸発による比湿変化を $\Delta q$ とおくと

$$\Delta p_s = g \int \hat{\rho} \Delta q d \hat{z} = -g \int \hat{... ...}}{- \hat{\rho} g} = \int \Delta q d \hat{p} = \hat{p_s} \int \Delta q d \sigma$$ (8.1)

ただし, $\hat{p_s}$ は補正前の表面気圧, $\hat{\rho}$ は補正前の大気密度である. $\Delta q$ は蒸発による比湿の増加項と凝結による比湿の減少の項から 成る. 順番に考える.

1. 地表面からの蒸発による水蒸気量増加

   地表面における蒸発フラックスを $F_{evap} \sim L C (q^{*} - q_s) \rho_s$, $\Delta t$ をタイムステップとすると, 蒸発による最下層の比湿変化 $\Delta q_{evap}$は
   

   $$\frac{\Delta q_{evap}}{\Delta t} = \frac{ F_{evap} L^{-1} \rho_s^... ...vap} L^{-1} \rho_s^{-1}}{\Delta p / (\rho_s g)} = F_{evap} \frac{g}{L \Delta p}$$ (8.2)

   
   となる. これより
   

   $$\Delta q_{evap} = F_{evap} \frac{g}{L \Delta p} \Delta t$$ (8.3)

   
   

2. 凝結による水蒸気減少
   

   $$\Delta q_{cond} = S^{cond}_{q} \Delta t$$ (8.4)

   
   ただし, $S^{cond}_{q}$ は凝結による比湿の変化率を表す.

よって,

$$\Delta p_s = F_{evap} \frac{g}{L} \Delta t + \hat{p_s} \int S^{cond}_{q} \Delta t d \sigma$$ (8.5)

となる.

8.3 比湿の補正

上のように, 表面気圧 $p_s$ を補正したならば 各鉛直レベルにおける比湿の値も補正しなければ ならない. 補正の前後で水蒸気の質量(絶対湿度)が変わっている わけではないからである. したがって, 水蒸気の質量が補正の前後で等しくなるように 比湿 $q$ を補正する. 補正の前後で水蒸気の質量が等しくなるという条件は 以下の式で表される.

$$\hat{\rho} \hat{q} = \rho q,$$ (8.6)

ただし, $\hat{\rho}$, $\hat{q}$ は補正前の大気密度・比湿の値を, $\rho$, $q$ は補正後の密度・比湿の値を表す. この式を変形する.

$$\frac{\hat{p_{s}} \sigma}{RT} \hat{q} = \frac{p_{s} \sigma}{RT} q$$ (8.7)

$p_s = \hat{p_s} + \Delta p_s$ を代入すると

$$\frac{\hat{p_{s}} \sigma}{RT} \hat{q} = \frac{(\hat{p_s} + \Delta p_s) \sigma}{RT} q,$$

$$\hat{p_{s}} \hat{q} = (\hat{p_s} + \Delta p_s) q,$$

よって, 最終的に

$$q = \frac{\hat{p_s}}{\hat{p_s} + \Delta p_s} \hat{q}$$ (8.8)

となる.