\underline{球および円盤領域での拡散方程式解 1 球領域の動径 1 次元拡散問題 1}

球領域および円盤領域での 1 次元拡散型方程式の解析解

竹広真一

平成 19 年 12 月 31 日

この文章では, チェビシェフ関数展開を利用した球および円盤領域の動径方向 1 次元計算のための SPMODEL ライブラリ (spml) のモジュール au module のテストのために, 球および円筒領域での動径 1 次元拡散型方程式のさまざまな境界条件に対する解を (できるだけ) 解析的に求めることを行う.

1 球領域の動径 1 次元拡散問題

半径 a の球領域での拡散問題を考える. 支配方程式は

\frac{∂ϕ}{∂t} = κ\frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂ϕ}{∂r}) .  (1)

r(0 ≤ r ≤ a) は動径座標, κ は拡散率 (正数) である. ϕ(r, t) は拡散する物理量であり, 例えば温度, 組成濃度, 磁場などである.

1.1 一般解

時間に関して指数型の解を仮定し,

ϕ(r, t) = ϕ̃(r)e^{σt}  (2)

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これを支配方程式に代入すると,

σϕ̃ = κ\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} (r^{2} \frac{dϕ̃}{dr}) .  (3)

これをを変形すると

\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} (r^{2} \frac{dϕ̃}{dr}) + \frac{−σ}{κ} ϕ̃,

さらに動径座標を

r̃ = \sqrt{\frac{−σ}{κ}} r, r = \sqrt{\frac{κ}{−σ}} r̃,  (4)

と変形すると,

\frac{1}{r̃^{2}} \frac{d}{dr̃} (r̃^{2} \frac{dϕ̃}{dr̃}) + ϕ̃ = 0.

この微分方程式は 0 次の球ベッセルの微分方程式であり, その一般解は 0 次の球ベッセル函数 J_{0}(r̃), N_{0}(r̃) の線形結合として表される.

1.2 ディリクレ境界条件の場合

境界条件は, 原点 r = 0 で特異性がなく, 外側境界 r = a でディリクレ条件 ϕ̃ = 0 を考えることにする^{1}. 原点の境界条件から

ϕ̃ = AJ_{0}(r̃) = A\frac{sin r̃}{r̃}  (5)

r = a の境界条件から

ã = \sqrt{\frac{−σ}{κ}} a = nπ, n = 1, 2, …  (6)

すなわち,

σ = −\frac{κ}{a^{2}} n^{2}π^{2}, n = 1, 2, …  (7)

よって解は

ϕ = ∑_{n=1}^{∞} A_{n}J_{0}(\frac{nπ}{a} r) exp(−\frac{κ}{a^{2}} n^{2}π^{2}t). = ∑_{n=1}^{∞} A_{n} \frac{sin(\frac{nπ}{a}r)}{\frac{nπ}{a}r} exp(−\frac{κ}{a^{2}} n^{2}π^{2}t). (8)

係数 A_{n} は初期条件からさだまる.

1一般的には, ディリクレ条件だと ϕ̃ = A, しかしながら, ディリクレ条件の場合は定数部分を ϕ̃ = A + ϕ̃′ と分離できるので結局値が 0 に対する解を解けば良いことになる. ノイマン条件の場合は...

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1.3 ノイマン境界条件の場合

境界条件は, 原点 r = 0 で特異性がなく, 外側境界 r = a でノイマン条件\frac{dϕ̃}{dr} = 0 を考えることにする^{2}. 原点の境界条件から

ϕ̃ = AJ_{0}(r̃) = A\frac{sin r̃}{r̃},  (9)

r = a の境界条件から

\frac{dϕ̃}{dr} = AJ′_{0}(r̃) = A\frac{r̃cos r̃ − sin r̃}{r̃^{2}} = 0,

したがって

ã cos ã − sin ã = 0.  (10)

x cos x − sin x = 0 の解を α_{n} と求まったとすると,

\sqrt{\frac{−σ}{κ}} a = α_{n}, \sqrt{\frac{−σ}{κ}} = \frac{α_{n}}{a} , σ = −κ\frac{α_{n}^{2}}{a^{2}} ,

ϕ = A_{n} \frac{sin \frac{α_{n}r}{a}}{\frac{α_{n}r}{a}} exp (−κ\frac{α_{n}^{2}}{a^{2}} t)  (11)

2一般的なノイマン条件だと\frac{dϕ̃}{dr} = A.

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