\chapter{�����ϳإ������꼰��}
�ܾϤǤ�, �����ϳإ�ǥ���꼰����Ԥ�. 
����, ��ɸ�Ϥ˰�¸���ʤ��٥��ȥ�����Ǵ����������Ϥ򵭽Ҥ������, 
Ω�����̺�ɸ�Ϥ�Ƴ����, ��������ʬ���Ф����������˽񤭲���. 
DECAMO �Υ��ץ����Ȥ���, 
�����������Ϥ������絤�����Ŭ�Ѥ������ο��ͥ��ߥ�졼�������ǽ�ˤ��뤿���, 
�����絤�����Ŭ�Ѥ��������������Ϥ�Ʊ����Ƴ��. 

\section{������������} 
DECAMO �Ǥϴ����������ϤȤ���, ̩��, ��ư��, �����ͥ륮��̩�٤Ȥ��ä���¸�ѿ���Ȥä����������ϳ���������,  
%%
\begin{eqnarray}
 \DP{\rho}{t} + \nabla \cdot(\rho \Dvect{u}) &=& 0, 
 \label{eq:massConserve} \\
 %%
 \DP{(\rho \Dvect{u})}{t} + \nabla \cdot(\rho \Dvect{u} \otimes \Dvect{u} + p I) 
  &=& - \rho \nabla \Phi - 2\Dvect{\Omega} \times (\rho \Dvect{u}), 
  \label{eq:momentumConserve} \\
%%
 \DP{(\rho e_t)}{t} + \nabla \cdot \left( \rho \Dvect{u} \; (e_t + p) \right) &=& 0
 \label{eq:totalEConserve}
\end{eqnarray}
%%
���Ѥ���. 
������, $\rho$��̩��, $\Dvect{u}$�� 3 ����®�٥٥��ȥ�, $e_t$��ñ�����ѡ�ñ�̼���������������ͥ륮��,  
$p$�ϰ���, $\Phi$�Ͻ��ϥݥƥ󥷥��, $\Dvect{\Omega}$��������ž��®�٥٥��ȥ�, 
$\otimes$�ϥƥ󥽥���, $I$�ϥ�� 3 ��ñ�̹���Ǥ���. 
�����ͥ륮��̩��$e_t$��, ñ�����ѡ�ñ�̼�����������������ͥ륮��, ��ư���ͥ륮��, ���֥��ͥ륮�����¤�ɽ�����. 
���ʤ��, ñ�����ѡ�ñ�̼�����������������ͥ륮����$e$�Ȥ����, 
%%
\begin{equation}
 e_t = e + \dfrac{1}{2} \Dvect{u} \cdot \Dvect{u} + \Phi. 
 \label{totalE_relation}
\end{equation}
�ޤ�, ��ư��������(\ref{eq:momentumConserve})�˸���밵�Ϥ�, ���۵��Τ��ꤹ���, 
¾��ͽ���ѿ���ȤäƼ��Τ褦�˽񤱤�.  
%%
\begin{equation}
 p = (\gamma-1)\left( \rho e_t - \dfrac{1}{2} \rho \Dvect{u} \cdot \Dvect{u} - \rho \Phi \right). 
 \label{eq:pressDianoRelation}
\end{equation}
%%
������, ���۵��Τξ���������
%%
\begin{equation}
 p = \rho R_d T
\end{equation}
%%
�ˤ��, �������ͥ륮��̩��$\rho e$��
%%
\begin{equation}
 \rho e = \rho C_v T = \dfrac{p}{\gamma-1}
\end{equation} 
%%
�Ƚ񤱤뤳�Ȥ��Ѥ���. 
������, $T$�ϲ���, $R_d, \; C_v, \; C_p$�Ϥ��줾�촥���絤���Ф��뵤�����, ������Ǯ, �갵��Ǯ�Ǥ���, $\gamma(=C_p/C_v)$����Ǯ��Ǥ���.
(\ref{eq:massConserve})-(\ref{eq:totalEConserve})�˲ä���, ����������(\ref{eq:pressDianoRelation})���Ѥ��뤳�Ȥ�, �����������Ϥ��Ĥ�����.  

������, �������̷Ϥ��Ѥ��������ϳإ�ǥ�ˤ�����ͽ���ѿ����Ȥ߹�碌�ˤĤ��ƽҤ٤Ƥ���. 
�ܥ�ǥ�Ǥ�, ͽ���ѿ����Ȥ߹�碌�Ȥ���, ̩��, ��ư��, �����ͥ륮�����Ѥ��Ƥ���. 
�����Ȥ߹�碌��, CFD ʬ��ΰ�����ή��ο��Ͳ�ˡ���Ѥ���������������ϤȤ��Ƥϼ���������Ǥ���. 
�������ʤ���, ���Ȥ��ΰ贰�����̷������ϳإ�ǥ�ˤ�����, ������ͽ���ѿ����Ȥ߹�碌���Ȥ��뤳�ȤϾ��ʤ��褦�˻פ���. 
�㤨�Х���ꥫ�絤�����(NCAR)���濴�ˤ��Ƴ�ȯ���줿���ݲ���ͽ���ǥ� WRF\citep{SkamarockAndKlemp2008}�˸�����褦��, ¿���������ͥ륮��������˥���ȥ��ԡ�̩��(���̤�̩�٤�ݤ�����Τ�, ���۵��Τˤ����ư��Ϥ�����)���Ѥ����Ƥ���. 
����ϴ�¸�Υ��֥���åɥ�������μ���ʪ�������Υѥ�᥿�ꥼ������󤬲��̤����Ѥ��뤿��Ǥ���, 
�����ͥ륮����ͽ���ѿ��Ȥ����Ѥ������ˤ�, ���̤���Ǥ���;ʬ�ʥ��ƥåפ�ɬ�פȤʤ�.  
�ʤ�, �����ͥ륮��������˥���ȥ��ԡ�̩�٤�ͽ���ѿ��Ȥ����ǥ�Ǥ�, �Ϥ������ͥ륮�����ܼ�Ū�ˤ���¸���ʤ�. 

��ǯ, ���������ϳإ�ǥ뤬��ȯ����, �������ߥ�졼�����ʤɤˤ�����Ĺ������ʬ���ʤ���뤬, 
���ΤȤ��ϤΥ��ͥ륮�����٤δ�������, �Ϥ������ͥ륮������¸�������Ф��н��׻뤵���. 
���Τ���, \citet{Satoh2002} (NICAM �������ϳإ������꼰��)�Ǥ�, �����ͥ륮���μ����Ѥ��������ͥ륮�������ȯŸ��, 
�������ͥ륮��̩��(���۵��Τˤ����ư��Ϥ�����)�Ͽ��Ǥˤ����ꤹ��, �������̷������ϳإ�ǥ����¸�����������Ƥ��Ƥ���. 
�ޤ�, \citet{Giraldo2008} ��, �������̷������ϳإ�ǥ�ˤ�����ͽ���ѿ�������Ȥ���, �����ͥ륮�����Ѥ��뤳�Ȥ�侩���Ƥ���.  
������ͳ�Ȥ���, ����,  
��Ǵ��ή�ΤΥ쥸�����Ǵ��ή�ΤΥ쥸����ξ����ʪ��Ū�˰������������, 
Ǵ��ή�Τ�������֥��ͥ륮������ӱ�ư���ͥ륮�����������ͥ륮���ؤλ�������˹�θ�Ǥ�������󤲤Ƥ���. 
�������ä�, �ܸ���Ǥ�, ͽ���ѿ����Ȥ߹�碌�Ȥ���̩��, ��ư��, �����ͥ륮�����Ѥ��뤳�Ȥˤ���. 

������, �絤���ݤΤ褦����ޥåϿ�����ή����Ф�, 
ͽ���ѿ��Ȥ���̩��, ��ư��, �����ͥ륮��������, ����Ū�ʰ�����ή��ο��Ͳ�ˡ�򤽤Τޤ�Ŭ�Ѥ��뤳�ȤϤǤ��ʤ�.  
�ʤ��ʤ��, �������Ϥ� stiff �ˤʤ뤿��, ȿ����ˡ�ˤ����ƻĺ������������򤬤ʤ��ʤ���«���ʤ��������Ͳ�����٤������������꤬, 
CFD ʬ��ǤϤ褯�Τ��Ƥ��뤫��Ǥ���. 
��������򤹤뤿��ˤ�, ��ޥåϿ�ή��˳�ĥ���줿������ή��ο��Ͳ�ˡ���Ѥ���ʤ���Фʤ�ʤ�. 
���ο��Ͳ�ˡ�ξܺ٤�, �� 4 �ϤǽҤ٤�. 

����, �����ѿ�����ܾ�Ⱦ�����ʬΥ����. 
����ʸ�Ǥ�, ���ܾ�Ȥ����ſ尵ʿ�դξ��֤����򤹤뤳�Ȥˤ�, 
�����ѿ��򼡤Τ褦��ʬΥ����. 
%%
\begin{equation}
\begin{split}
 \rho(\Dvect{x},t) &= \overline{\rho}^h (\Dvect{x}) + \rho' \; (\Dvect{x},t), \\
 p(\Dvect{x},t) &= \overline{p}^h (\Dvect{x}) + p' \; (\Dvect{x},t), \\
 \rho e_t(\Dvect{x},t) &= \overline{(\rho e_t)}^h (\Dvect{x}) + (\rho e_t)' \; (\Dvect{x},t). 
\end{split}
\label{eq:variable_splliting}
\end{equation}
%%
������, $\Dvect{x} = (r,\alpha, \beta, n_p)$�Ǥ���. 
�ޤ�, ź��$\overline{(\;\;)}^h$���ſ尵ʿ�դˤ���Ϳ����, 
�������ѿ����ſ尵ʿ��, 
%%
\begin{equation}
 \DP{\overline{p}^h}{r} = - \overline{\rho}^h g \left( \dfrac{a}{r} \right)^2
 \label{eq:hydrostatic_relation}
\end{equation}
%
���������Ƥ���. 
������, $a$��������ʿ��Ⱦ��, $g=GM/a^2$�Ͻ��ϲ�®�٤Ǥ���. 
������, $G$����ͭ�������, $M$�������μ��̤Ǥ���. 
���ΤȤ�, �����ͥ륮��̩�٤��ſ尵ʿ����ʬ��, 
%%
\begin{equation}
 \overline{(\rho e_t)}^h = \dfrac{\overline{p}^h}{\gamma-1} 
                          + \overline{\rho}^h g a \left( 1 - \dfrac{a}{r} \right)
\end{equation}
%%
�Ǥ���. 
���Τ褦�˴��ܾ�Ȥ����ſ尵ʿ�դ���ꤹ�뤳�Ȥˤ�ä�, ���α�ľ��ư�̤��������װ��Ȥʤ�����, 
�絤���ſ尵���֤����������θ�������������Ȥ��Ǥ���. 

\section{Ω�����̺�ɸ�Ϥ�Ƴ��}
����Ǽ����������������Ϥ��Ф���, �� 2 �Ϥ�Ω�����̺�ɸ�Ϥ�Ƴ������. 

Ω�����̺�ɸ�Ϥζ��Ѵ����$\{\Dvect{e_\alpha}, \Dvect{e_\beta} \}$, ���������δ����$\Dvect{e_r}$�Ȥ����, 
3 ����®�٥٥��ȥ�$\Dvect{u}$��, ȿ����ʬ$(u^\alpha, u^\beta, u^r)$��Ȥä�, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{u} = u^{\alpha} \Dvect{e_\alpha} + u^{\beta} \Dvect{e_\beta} + u^r \Dvect{e_r}
\end{equation}
%%
�Ƚ񤱤�. 
����α�ư��������(\ref{eq:momentumConserve})�ϥ٥��ȥ�����ǽ񤫤�Ƥ��뤬, 
�����������α�ư����ʬ$(\rho u^\alpha, \rho u^\beta, \rho u^r)$���Ф�����������ʬ�򤹤�. 
�Ĥ��������(\ref{eq:massConserve}), (\ref{eq:totalEConserve})��, �����顼�������Ǥ���ΤǤ��Τޤ��Ѥ���. 

(\ref{eq:massConserve})-(\ref{eq:totalEConserve}) �ζ�����ʬ�黻�Ҥ��Ф���, 
Ω�����̺�ɸ�Ϥˤ�������ʬ�黻��(��Ͽ A �򻲾�)��Ŭ�Ѥ����, $(\rho, \rho u^\alpha, \rho u^\beta, \rho u^r, \rho e_t)$���Ф����������Ϥ�, 
�����󥷥奿����ν���§���Ѥ��Ƽ��Τ褦�ˤʤ�. 
%%
\begin{eqnarray}
 \DP{\rho'}{t} + \dfrac{1}{J}\DP{}{x^k} (J \rho u^k) &=& 0, 
 \label{eq:massConserve_applyDiffOptr} \\
 %%
 \DP{(\rho u^\alpha)}{t} + \dfrac{1}{J}\DP{}{x^k} \left( J (\rho u^\alpha u^k + G^{\alpha k} p' \; ) \right)  
  &=& \psi^\alpha_H + 
      \psi^\alpha_M + \psi^\alpha_C,
 \label{eq:momentum_alpha_Conserve_applyDiffOptr} \\ 
 %%
 \DP{(\rho u^\beta)}{t} + \dfrac{1}{J}\DP{}{x^k} \left( (J (\rho u^\beta u^k + G^{\beta k} p' \; ) \right) 
  &=& \psi^\beta_H + 
      \psi^\beta_M + \psi^\beta_C,
 \label{eq:momentum_beta_Conserve_applyDiffOptr} \\
 %%
 \DP{(\rho u^r)}{t} + \dfrac{1}{J}\DP{}{x^k} \left( (J (\rho u^r u^k + G^{\beta k} p' \; ) \right) 
  &=&  \psi^r_M + \psi^r_C + \psi^r_G,
 \label{eq:momentum_r_Conserve_applyDiffOptr} \\
 %%
 \DP{(\rho e_t)'}{t} + \dfrac{1}{J}\DP{}{x^k} (J (\rho e_t+p) u^k ) &=& 0. 
 \label{eq:totalEConserve_applyDiffOptr}
\end{eqnarray}
%%
������, ź��$k$��$\{ \alpha, \beta, r \}$��Ÿ������, $(x^\alpha, x^\beta, x^r)=(\alpha, \beta, r)$�Ȥʤ�.  
�ޤ�, $G^{ij}$��(\ref{eq:CubedSpheredCoord_metric})����������Ω�����̳ʻҤˤ����붦�ѷ��̥ƥ󥽥�, 
$J$��(\ref{eq:CubedSpheredCoord_transformJacob})����������Ω�����̺�ɸ�Ϥ��Ѵ��䥳�ӥ���Ǥ���. 
$\Dvect{\psi}_H=(\psi_H^\alpha, \psi_M^\beta)$��, �ſ尵ʿ�դˤ��밵�Ϥο�ʿ�Ѳ��ˤ�륽������Ǥ���, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{\psi}_H = -\dfrac{\delta^2}{(1+X^2)(1+Y^2)}
 \begin{pmatrix}
	(1+Y^2)\DP{\overline{p}^h}{\alpha} + XY\DP{\overline{p}^h}{\beta} \\
	XY\DP{\overline{p}^h}{\alpha} + (1+X^2)\DP{\overline{p}^h}{\beta}
 \end{pmatrix}
\end{equation} 
%%
��Ϳ������. 
�ޤ�, $\Dvect{\psi}_M=(\psi_M^\alpha, \psi_M^\beta,  \psi_M^r)$��, ��ľ���ɸ�ϤǤ������Ω����ɸ�Ϥ�Ƴ���������Ȥˤ�ä������륽�������, 
%%
\begin{equation}
 \psi_M^i = \Gamma^i_{jk} (\rho u^j u^k), 
 \label{eq:MetricSource_element}
\end{equation}
%%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
������, $\Gamma^i_{jk}$������說�ꥹ�ȥåե��뵭��Ǥ���, ����Ω�����̺�ɸ�Ϥˤ����Ƽ��Τ褦��������. 
%%
\begin{eqnarray}
\Gamma^\alpha &=& 
 \begin{pmatrix}
	\frac{2XY^2}{\delta^2} & \frac{-Y(1+Y^2)}{\delta^2} & \frac{1}{r} \\
	\frac{-Y(1+Y^2)}{\delta^2} & 0 & 0 \\
	\frac{1}{r} & 0 & 0
 \end{pmatrix}, \\
\Gamma^\beta &=& 
 \begin{pmatrix}
	0 & \frac{-X(1+X^2)}{\delta^2} & 0 \\
	\frac{-X(1+X^2)}{\delta^2} & \frac{2X^2 Y}{\delta^2} & \frac{1}{r} \\
	0 & \frac{1}{r} & 0
 \end{pmatrix}, \\
\Gamma^r &=& 
\dfrac{r(1+X^2)(1+Y^2)}{\delta^4}
\begin{pmatrix}
    -(1+X^2) & XY & 0 \\
	XY & -(1+Y^2) & 0 \\
	0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray}
%%
����, $\Dvect{\psi}_C=(\psi_C^\alpha, \psi_C^\beta, \psi_C^r)$��, ���ꥪ����̤ˤ�붯���Ǥ���, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{\psi}_C = - 2 \Dvect{\Omega} \times (\rho \Dvect{u}) 
\end{equation}
%%
���뤤��, 
%%
\begin{equation}
 (\Dvect{\psi}_C)^i = - 2 J G^{ij} \epsilon_{jkl} \Omega^k (\rho u^l)
 \label{eq:ColiorisSourceTerm_element} 
\end{equation}
%%
�Ǥ���. 
������, $\epsilon_{ijk}$�ϥ����=������������, $\Dvect{\Omega}$�������μ�ž��®�٥٥��ȥ�Ǥ���, 
������ɸ�Ϥδ���$\{ \Dvect{e}_\lambda, \Dvect{e}_\phi, \Dvect{e}_r \}$���Ѥ���, 
%%
\begin{equation}
 \Omega = \omega [\cos{\phi} \Dvect{e}_\phi + \sin{\phi} \Dvect{e}_r ]
 \label{eq:rotateAngVel_lonlatCoord}
\end{equation}
%%
�Ƚ񤫤��. ������, $\omega=|\Dvect{\Omega}|$�Ǥ���. 
�ޤ�, ����Ω�����̺�ɸ�Ϥˤ�����$\Dvect{\Omega}$��, ���Τ褦�˽񤫤��. 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{\Omega} =
 \begin{cases}
  \omega\left[\frac{\delta}{r(1+Y^2)}\Dvect{e}_\beta + \frac{Y}{\delta} \Dvect{e}_r \right] & \text{for equatorial patch($n_p\leq 4)$} \\
  s\omega\left[-\frac{X\delta}{r(1+X^2)}\Dvect{e}_\alpha - \frac{\delta}{r(1+Y^2)}\Dvect{e}_\beta + \frac{1}{\delta} \Dvect{e}_r \right] 
  & \text{for polar patch($n_p=5,6$)} \\
 \end{cases}
 \label{eq:RotateAngleVec}
\end{equation}
%%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
������,  $s$�ϥѥå��λؼ��ҤǤ���, 
�̶ˤ�ޤ�ѥå�($n_p=5$)���Ф���$s=1$,����ˤ�ޤ�ѥå�($n_p=6$)���Ф���$s=-1$�Ǥ���. 
�Ǹ��, ���������α�ư����������ν��Ϲ�$\psi_G^r$��, 
%%
\begin{equation}
 \psi_G^r
 = - \rho' g \left( \dfrac{a}{r} \right)^2
 \label{eq:GravTerm}
\end{equation}
%%
��ɽ�����. 

��, ��¸�ѿ����¤٤���٥��ȥ�
%%
\begin{equation}
 \Dvect{q} = (\rho, \rho u^\alpha, \rho u^\beta, \rho u^r, \rho e_t)^T
\end{equation}
%%
��Ƴ������. 
���ΤȤ�, �����ϳ���������(\ref{eq:massConserve_applyDiffOptr})-(\ref{eq:totalEConserve_applyDiffOptr})��, 
���β�٥��ȥ�$\Dvect{q}$���Ѥ��ƴʷ�˽񤱤�. 
���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
   \DP{}{t} \Dvect{q} + \dfrac{1}{J} \DP{}{x^k} \Dvect{\mathcal{F}}_k 
 = \Dvect{\Psi}_H + \Dvect{\Psi}_M + \Dvect{\Psi}_C + \Dvect{\Psi}_G. 
 \label{eq:nonhydrodynEq_stVecForm}
\end{equation}
%%
������, $\Dvect{\mathcal{F}_k}$����Ǵ��ή«�γ�������ʬ�Ǥ���,   
\begin{equation}
 \Dvect{\mathcal{F}}_k = 
  \begin{pmatrix}
	\rho u^k \\
	\rho u^\alpha u^k + G^{\alpha k} p' \\
	\rho u^\beta u^k + G^{\beta k} p'\\
	\rho u^r u^k + G^{r k} p' \\
	(\rho e_t + p) u^k
 \end{pmatrix}
\end{equation}
%%
�������, 
%
\begin{equation}
 \Dvect{\mathcal{F}} = 
    \Dvect{\mathcal{F}_\alpha} \; \Dvect{e_\alpha}
  + \Dvect{\mathcal{F}_\beta} \; \Dvect{e_\beta}
  + \Dvect{\mathcal{F}_r} \; \Dvect{e_r}
\end{equation} 
%
�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. 
�ޤ�, $\Dvect{\psi}_H, \Dvect{\psi}_M, \Dvect{\psi}_C, \Dvect{\psi}_G$�򤽤줾��,
$\Dvect{\Psi}_H = (0,\psi_H^\alpha, \psi_H^\beta, 0,0)^T, 
 \Dvect{\Psi}_M = (0,\psi_M^\alpha, \psi_M^\beta, \psi_M^r,0)^T, 
 \Dvect{\Psi}_C = (0,\psi_C^\alpha, \psi_C^\beta, \psi_C^r,0)^T, 
 \Dvect{\Psi}_G = (0,0,0,\psi_G,0)$
 �Ⱥ��������. 
 
 
\section{�����絤�����ܤ��������꼰��}
�ϵ��絤�Τ褦������Ⱦ�¤��Ф��絤�ؤ���ʬ�������ˤ�, �����絤���(shallow atmosphere approxiamation)���褯�Ԥ���. 
DECAMO �Ǥ�, ���ץ����Ȥ��������絤�����ܤ��������ϳ�������������������ϤȤ����Ѥ��뤳�Ȥ�Ǥ���. 
���ξ���,  ���̥ƥ󥽥�$G^{ij}$, �Ѵ��䥳�ӥ���$J$�˸����$r$������Ⱦ��$a$���֤���������. 
�ޤ�, �����絤����Τ�Ȥǥ��ͥ륮����¸§, �ѱ�ư����¸§�������ʤ��褦�˥�ȥ�å���ȥ��ꥪ���ΰ�����̵�뤹��, 
����Ū���(traditional approximation)��Ʊ���˹Ԥ�. 
�����ζ�����ܤ����Ȥ�, 
��ȥ�å���ˤ�����$\Gamma^i_{jk}$��, 
%%
\begin{equation}
 \Gamma^\alpha_{\alpha r} = \Gamma^\alpha_{r \alpha} = 0, \;\;\; 
 \Gamma^\beta_{\beta r} = \Gamma^\beta_{r \beta} = 0, \;\;\; 
 \Gamma^r = 0. 
\end{equation}
%%
�Ȥʤ�. 
�ޤ�, ��ž��®�٥٥��ȥ�(\ref{eq:RotateAngleVec})�ο�ʿ�����δ�Ϳ��̵�뤵���. 

���η��, ��������ϼ��Τ褦�˴�ñ�������. 
%
����, ��ȥ�å���(\ref{eq:MetricSource_element})��, 
%
\begin{equation}
 (\Dvect{\psi}_M)_\text{shallow} = \dfrac{2}{\delta^2}
 \begin{pmatrix}
	-XY^2 \rho u^\alpha u^\alpha + Y(1+Y^2) \rho u^\alpha u^\beta \\
	X(1+X^2)\rho u^\alpha u^\beta - X^2 Y \rho u^\beta u^\beta
 \end{pmatrix}
\end{equation}
%
�Ȥʤ�. 
�ޤ�, ���ꥪ���Ϥζ���(\ref{eq:ColiorisSourceTerm_element})��, ��ƻ����Υѥå�($n_p=1,2,3,4$)���Ф��Ƥ�,
%
\begin{equation}
 (\Dvect{\psi}_C)_\text{shallow} = \dfrac{2\omega}{\delta^2}
 \begin{pmatrix}
	-XY^2 & Y(1+Y^2) \\
	-Y(1+X^2) & XY^2
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 \rho u^\alpha \\
 \rho u^\beta
 \end{pmatrix}
 ,
\end{equation}
%%
�ˤΥѥå�($n_p=5,6$)���Ф��Ƥ�,
%
%
\begin{equation}
 (\Dvect{\psi}_C)_\text{shallow} = \dfrac{2 s \omega}{\delta^2}
 \begin{pmatrix}
	-XY & (1+Y^2) \\
	-(1+X^2) & XY
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 \rho u^\alpha \\
 \rho u^\beta
 \end{pmatrix}
\end{equation}
%%
�Ȥʤ�. 
�Ǹ��, �����絤����ˤ����ƽ��ϥݥƥ󥷥���, 
%%
\begin{equation}
 \left(\Phi\right)_\text{shallow} = gz, 
\end{equation}
%%
�������äƽ��Ϲ�(\ref{eq:GravTerm})��, 
%%
\begin{equation}
 (\psi_G^r)_\text{shallow}
 = - \rho' g 
 \label{GravTerm}
\end{equation}
%%
�ȴ�ñ�������. 

% 
%\section{�Ϸ��ι�θ}
 
