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シアー不安定の基礎:
シアー不安定の数学的な取り扱い(固有値問題)

 伊賀 啓太(九大・応用力学研究所)
2003 年 9 月 9 日
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目次

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流れの安定・不安定
解に微小な擾乱を加えた時に,
  • 時間とともに解が元の状態から離れていく : 不安定
  • 時間とともに解が元の状態へ戻っていく : 安定

例題: 階段関数状の流れ
(図は流線関数の分布)
  • y=0 付近に擾乱を与えると渦が発生する.
  • 元の流れ場とは異なる流れ場が現れる : 不安定

流れの不安定の数学的取扱
線形安定論
  • 定常な基本場 + 微小振幅の擾乱場に分ける
  • 擾乱の 2 次以上の項は無視する

流れの不安定の数学的取扱
線形安定論 (つづき)

2 次元, 基本場が平行流の場合
  • 基本場の流れ方向を x, それと垂直な方向を y とする.
  • U = (U(y),0), f = f(y), β = df/dy
擾乱も 2 次元で考える
  • f=0 の場合, 同じ全波数であれば m=0 のモードの成長率が最大. (Squire の定理)
    • 数学的な解説は Drazin and Reid (1981), p129 を見よ.
  • f=0 でない場合は…?

渦位方程式の導出

線形化された渦位方程式

擾乱を波形の解と仮定する
Reyleigh 方程式
  • x, t についてフーリエ成分に分ける.

問題の解法
y = 0, 1 で φ = 0 という境界条件を考えると…
  • 適当な任意の c に対する解は自明な解 (φ = 0).
  • 自明でない解は, 係数行列の固有値問題を解くことによって得られる.

粘性がない場合,
  • Im(c) > 0 の解と Im(c) < 0 の解は対になって現れる.
  • Rayleigh 方程式を見ると, 固有値 c に対する解 φ があると, 固有値 c* に対する解は φ* であることがわかる.

計算例: 基本場に階段関数状の速度分布与えた場合
  • 左図 : 固有値(位相速度と成長率)
    • 虚数部は正の部分だけ表す. 負の部分は k 軸に対し対称な位置にある.
  • 右図 : 擾乱の固有関数
    • y = 0 で不連続
    • U が y = 0 で不連続なため.
この他に連続モード解がある.
  • U0 または -U0 で流される解
  • 振幅は y > 0 または y < 0 にのみ存在.

計算例: 速度の不連続をなくした場合

参考文献
  • Drazin, P. G., and W. H. Reid, 1981:Hydrodynamic stability, Cambridge Univ. Press, pp. 527.

Odaka Masatsugu 2003-09-09