<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% 表題: 式の導出
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% 履歴: 2005/09/21 杉山耕一朗


\chapter{湿潤飽和調節法の定式化}


湿潤飽和調節を用いる段階では, 潜熱の開放による温位の変化を考えるので, 
熱力学第一法則の非断熱項は無視する. 
%
\begin{eqnarray}
 d\theta + \gamma dq_{v} = 0. 
  \Deqlab{neturikigaku_first_low2}
\end{eqnarray}
%
ただし $\gamma = L_{v}/(c_{p} \Pi)$ である. 相変化の効果を除いた予報方程
式を解くことで得られ
た値を $[\theta]^{*}$, $[q_{v}]^{*}$, $[q_{c}]^{*}$, $[q_{r}]^{*}$ とし, 
相変化の効果も含めたより真に近い値を 
$[\theta]^{t + \Delta t}$, $[q_{v}]^{t + \Delta t}$, 
$[q_{c}]^{t + \Delta t}$, $[q_{r}]^{t + \Delta t}$ する. 
この時, \Deqref{neturikigaku_first_low2} 式は, 
%
\begin{eqnarray}
 ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = 
 \gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t}) 
\Deqlab{dtheta-dqv}
\end{eqnarray}
%
となる. ここで過飽和を許さないので, 
%
\begin{eqnarray}
 [q_{v}]^{t + \Delta t} = q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t}) \nonumber 
\end{eqnarray}
%
と表すことができる. ここで $q_{vsw}$ は飽和蒸気圧である. 
$q_{vsw}([\theta]^{t + \Delta t})$ を $[\theta]^{*}$ の回りで
テーラー展開して 2 次の微小項以下を無視すると, 
%
\begin{eqnarray}
 q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t}) 
  = q_{sw}([\theta]^{*})
  + \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta} ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*})
\Deqlab{qvsw_taler}
\end{eqnarray}
%
となる. \Deqref{qvsw_taler} 式を \Deqref{dtheta-dqv} 式に代入することに
よって \Deqref{moistajst_theta1} 式が得られる. 
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = 
 \gamma \left( 
	 [q_{v}]^{*} - q_{sw}([\theta]^{*})
	 - \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}
	 ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*})
	 \right) 
\nonumber \\
&amp;&amp;\left(
   1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}
  \right)  ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = 
 \gamma \left( 
	 [q_{v}]^{*} - q_{sw}([\theta]^{*})
	 \right) 
\nonumber \\
&amp;&amp; [\theta]^{t + \Delta t} =  [\theta]^{*} + 
 \gamma  \frac{[q_{v}]^{*} - q_{vsw}([\theta]^{*})}
	 {   1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}}.
\end{eqnarray}
%


\Deqref{moistajst_qv1} 式は \Deqref{dtheta-dqv} 式から直接得ることがで
きる. 
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = 
 \gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t}) ,
\nonumber \\
&amp;&amp;[q_{v}]^{t + \Delta t}  =
 [q_{v}]^{*} - ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) / \gamma. 
\nonumber \\
\end{eqnarray}
%

\Deqref{moistajst_qc1} 式は水蒸気と雲水量の和が常に等しいという
条件から容易に得られる. 
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; 
 ([q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*}) 
 = ([q_{v}]^{t + \Delta t} + [q_{c}]^{t + \Delta t}) ,
\nonumber \\
&amp;&amp;[q_{c}]^{t + \Delta t}  =
 [q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t}  .
\end{eqnarray}
%
%ただし \Deqref{time-div_theta2} -- \Deqref{time-div_qr2} 式により
%$q_{r}$ の値は定まっている. そのため湿潤飽和調節法を適用する
%段階では水蒸気 $q_{v}$ と雲粒 $q_{c}$ の和の保存を考えればよい. 



\chapter{NH4SH の生成反応に関する湿潤飽和調節法の定式化}

%
\begin{eqnarray}
% \theta^{t+\Delta t} - \theta^{*} =
\DP{\exp{1/T}}{T} = \Dinv{T} e^{1/T}
\end{eqnarray}
%</pre></body></html>