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% 表題  2 次元非静力学モデル -- 離散モデル  空間離散化した基礎方程式
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% 履歴  2004/09/21  小高正嗣, 北守太一
%       2005/04/13  小高正嗣
%       2005/04/13  小高正嗣
%       2005/08/25  小高正嗣
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\section{空間離散化した基礎方程式}

\subsection{静水圧の式}\footnote{
 ここには基本場の数値積分方法を記載する.}
 \begin{equation}
  \left[\DP{\overline{\Pi}}{z}\right]_{i,k} = 
    - \frac{g}{c_{p} \overline{\theta}_{i,k}}
 \end{equation}
 基本場の密度 $\overline{\rho}_{i,k}$ は以下のように計算する.
 \begin{equation}
   \overline{\rho}_{i,k} = \frac{p_{0,i,k}}{R_{d}}
                    \frac{\overline{\Pi}_{i,k}^{c_{v}/R_{d}}}
                         {\overline{\theta}_{i,k}}
 \end{equation}

\subsection{運動方程式}
 \begin{eqnarray}
  \DP{u_{i(u),k}}{t} &=&
  - u_{i(u),k}\left[\DP{u}{x}\right]_{i(u),k}
  - w_{i(u),k}\left[\DP{u}{z}\right]_{i(u),k}\nonumber \\
 && 
  - c_{p} \overline{\theta}_{v,i(u),k}\left[\DP{\pi}{x}\right]_{i(u),k}
  + \left[D_{u}\right]_{i(u),k} 
  \Deqlab{空間離散化された x 方向運動方程式}
  \\
  \DP{w_{i,k(w)}}{t} &=&
  - u_{i,k(w)}\left[\DP{u}{x}\right]_{i,k(w)}
  - w_{i,k(w)}\left[\DP{u}{z}\right]_{i,k(w)} \nonumber \\
 &&
  - c_{p} \overline{\theta}_{v,i,k(w)}\left[\DP{\pi}{z}\right]_{i,k(w)}
  + g\frac{\theta_{i,k(w)}}{\overline{\theta}_{i,k(w)}}
  + \left[D_{w}\right]_{i,k(w)}.
  \Deqlab{空間離散化された z 方向運動方程式}
 \end{eqnarray}

\subsection{圧力方程式}
 \begin{eqnarray}
    \DP{\pi_{i,k}}{t}
     + \frac{\overline{c}_{i,k}^{2}}{c_{p}
         \overline{\rho}_{i,k} \overline{\theta}_{i,k}^{2}}
         \left[
         \DP{\overline{\rho} \overline{\theta}_{v} u}{x} +
         \DP{\overline{\rho} \overline{\theta}_{v} u}{z}
         \right]_{i,k}
     = 0.
  \Deqlab{空間離散化された圧力方程式}
 \end{eqnarray}
 基本場の音速 $\overline{c}$ は以下のように計算する. 
 \begin{equation}
  \overline{c}_{i,k}^{2} = \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
                  \overline{\Pi}_{i,k} \overline{\theta}_{i,k}.
 \end{equation}

\subsection{熱力学の式}
 \begin{eqnarray}
  \DP{\theta_{i,k}}{t} &=& - u_{i,k}\left[\DP{\theta}{x}\right]_{i,k}
                         - w_{i,k}\left[\DP{(\theta+\overline{\theta})}
                            {z}\right]_{i,k}
                         + \left[D_{\theta}\right]_{i,k} \nonumber \\
 &&                 + \frac{\overline{\theta}_{i,k}}{\overline{T}_{i,k}}
	\left(Q_{rad,i,k} + Q_{dis,i,k}\right)
  \Deqlab{空間離散化された熱力学の式}
 \end{eqnarray}