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% 表題  2 次元非静力学モデル -- 離散モデル  空間方向の離散化
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% 履歴  2004/08/14  杉山耕一朗: 作成開始
%       2004/09/03  小高正嗣, 北守太一
%       2005/04/13  小高正嗣
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\chapter{空間方向の離散化}

この節では空間微分の離散化の方法とそのために必要となる平均操作, 境界条
件の与え方について説明する. 離散化は 2 次精度差分または 4 次精度差分を
用いて行う.

\Dfigref{koushi} の空間の位置を表す添字として, 
$x$ 方向フラックスの格子点を ($i(u),k$), 
$z$ 方向フラックスの格子点を ($i,k(w)$), 
スカラー量の格子点を ($i,k$), 
格子の角に当たる点を ($i(u), k(w)$) とする
(\Dfigref{koushi} 参照). 
但し $1 \leq i(u) \leq im$, 
$1 \leq i \leq im$, 
$1 \leq k(w) \leq km$, 
$1 \leq k \leq km$ である. 


\section{平均操作}

空間微分の離散化を行う前に, そのために必要となる平均操作を定義しておく.
例えば $x$ 方向フラックス格子点で評価される変数をスカラー量の格子点で評
価する場合は, フラックス格子点の値を平均してスカラー格子点での値とみなす.

必要となる平均操作を以下に示す. ここでは $x$ 方向のフラックス格子点の変
数を $u_{i(u), k}$, $z$ 方向のフラックス格子点の変数を $w_{i, k(w)}$, ス
カラー格子点の変数を $\pi_{i, k}$ としている.
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\begin{eqnarray}
&&\pi_{i(u),k} \equiv \frac{\pi_{i+1,  k} + \pi_{i, k}}{2} \\
&&\pi_{i,k(w)} \equiv \frac{\pi_{i, k+1} + \pi_{i, k}}{2}\\
&&\pi_{i(u),k(w)} \equiv 
 \frac{\pi_{i, k} + \pi_{i+1, k}+ \pi_{i, k+1}+ \pi_{i+1, k+1}}{4}\\
&&u_{i,k} \equiv \frac{u_{i(u),  k} + u_{i-1(u), k}}{2} \\
&&u_{i,k(w)} \equiv \frac{u_{i(u), k+1} + u_{i-1(u), k+1} 
 + u_{i(u), k} + u_{i-1(u), k}}{4} \\
&&u_{i(u),k(w)} \equiv \frac{u_{i(u), k+1} + u_{i(u), k}}{2} \\ 
&&w_{i,k} \equiv \frac{w_{i,  k(w)} + w_{i, k-1(w)}}{2} \\
&&w_{i(u),k} \equiv \frac{w_{i+1, k(w)} + w_{i, k(w)} 
 + w_{i+1, k-1(w)} + w_{i, k-1(w)}}{4} \\
&&w_{i(u),k(w)} \equiv \frac{w_{i+1, k(w)} + w_{i, k(w)}}{2} 
\end{eqnarray}
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\section{空間微分の離散化}

\subsection{2 次精度中心差分}

空間微分を 2 次精度差分で離散化する際に必要となる微分操作を以下に示す. 
ここでは $x$ 方向のフラックス格子点の変数を $u_{i(u), k}$, 
$z$ 方向のフラックス格子点の変数を $w_{i, k(w)}$, 
スカラー格子点の変数を $\pi_{i, k}$ としている.
$x$, $z$ 方向ともにフラックス格子点の変数を $\phi_{i(u), k(w)}$ としている.

それぞれの変数に対して微分を評価する格子点は一意に決まる. 
そのため, 他の格子点において微分を評価する場合には平均操作を用いる. 
%
\begin{eqnarray}
&& \left[\DP{\pi}{x} \right]_{i(u),k} 
 \equiv \frac{\pi_{i+1, k} - \pi_{i, k}}{\Delta x} \\
&& \left[\DP{\pi}{z} \right]_{i,k(w)} 
 \equiv \frac{\pi_{i, k+1} - \pi_{i, k}}{\Delta z}  \\
%
&& \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k} 
 \equiv \frac{u_{i(u), k} - u_{i-1(u), k}}{\Delta x} \\
&& \left[\DP{u}{z} \right]_{i(u),k(w)} 
 \equiv \frac{u_{i(u), k+1} - u_{i(u), k}}{\Delta z} \\
%
&& \left[\DP{w}{x} \right]_{i(u),k(w)} 
 \equiv \frac{w_{i+1, k(w)} - w_{i, k(w)}}{\Delta x} \\
&& \left[\DP{w}{z} \right]_{i,k} 
 \equiv \frac{w_{i, k(w)} - w_{i, k-1(w)}}{\Delta z} \\
%
&& \left[\DP{\phi}{x} \right]_{i,k(w)} 
 \equiv \frac{\phi_{i(u), k(w)} - \phi_{i-1(u), k(w)}}{\Delta x} \\
&& \left[\DP{\phi}{z} \right]_{i(u),k} 
 \equiv \frac{\phi_{i(u), k(w)} - \phi_{i(u), k-1(w)}}{\Delta z} 
\end{eqnarray}


\subsection{4 次精度中心差分}

2 次精度中心差分の場合と同様に, 空間微分を 4 次精度差分で離散化する際
に必要となる微分操作を以下に示す.  

%
\begin{eqnarray}
&& \left[\DP{\pi}{x} \right]_{i(u),k} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{\pi_{i+1, k} - \pi_{i, k}}{\Delta x}\right) - 
       \frac{1}{24}\left(\frac{\pi_{i+2, k} - \pi_{i-1, k}}{\Delta x}\right) \\
&& \left[\DP{\pi}{z} \right]_{i,k(w)} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{\pi_{i, k+1} - \pi_{i, k}}{\Delta x}\right) - 
       \frac{1}{24}\left(\frac{\pi_{i, k+2} - \pi_{i, k-1}}{\Delta x}\right) \\
%
&& \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{u_{i(u), k} - u_{i-1(u), k}}{\Delta x}\right) -
     \frac{1}{24}\left(\frac{u_{i(u)+1, k} - u_{i-2(u), k}}{\Delta x}\right) \\
&& \left[\DP{u}{z} \right]_{i(u),k(w)} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{u_{i(u), k+1} - u_{i(u), k}}{\Delta x}\right) -
     \frac{1}{24}\left(\frac{u_{i(u), k+2} - u_{i(u), k-1}}{\Delta x}\right) \\
%
&& \left[\DP{w}{x} \right]_{i(u),k(w)} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{w_{i+1, k(w)} - w_{i, k(w)}}{\Delta x}\right) -
     \frac{1}{24}\left(\frac{w_{i+2, k(w)} - w_{i-1, k(w)}}{\Delta x}\right) \\
&& \left[\DP{w}{z} \right]_{i,k} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(\frac{w_{i, k(w)} - w_{i, k-1(w)}}{\Delta z}\right) -
     \frac{1}{24}\left(\frac{w_{i, k+1(w)} - w_{i, k-2(w)}}{\Delta z}\right) \\
%
&& \left[\DP{\phi}{x} \right]_{i,k(w)} 
 \equiv \frac{9}{8}
        \left(\frac{\phi_{i(u), k(w)} - \phi_{i-1(u), k(w)}}{\Delta x}\right) -
  \frac{1}{24}
     \left(\frac{\phi_{i+1(u), k(w)} - \phi_{i-2(u), k(w)}}{\Delta x}\right) \\
&& \left[\DP{\phi}{z} \right]_{i(u),k} 
 \equiv \frac{9}{8}\left(
        \frac{\phi_{i(u), k(w)} - \phi_{i(u), k-1(w)}}{\Delta z}\right) -
        \frac{1}{24}\left(
        \frac{\phi_{i(u), k+1(w)} - \phi_{i(u), k-2(w)}}{\Delta z}\right)
\end{eqnarray}