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% 表題  2 次元非静力学モデル -- 離散モデル
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% 表題: 長い時間ステップでの計算
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% 履歴: 2005-01-25 杉山耕一朗
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\section{時間フィルター}

リープフロッグ法を用いたことによって生じる計算モードの増幅を抑制するた
め, Asselin (1972) の時間フィルターを長い時間刻みで 1 ステップ計算する
毎に(実際には短い時間刻みの計算を $N_{\tau}\equiv 2\Delta t/\Delta
\tau$ ステップ計算する毎に)適用する.

たとえば\Deqref{uwpi:u_sabun}を用いて $ u^{t + \Delta t}_{i(u),k}$
を計算する場合, 以下のように時間フィルターを適用する. 
\begin{eqnarray}
 u^{*}_{i(u),k}
  &=&  u^{\tau + (N_{\tau}-1)\Delta \tau}_{i(u), k} 
    -   \left[
  \bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v} \Delta \tau
  \left\{
   \DP{\pi^{\tau + (N_{\tau}-1)\Delta \tau}}{x} 
   - \DP{(\alpha Div)^{\tau + (N_{\tau}-1)\Delta \tau}}{x} 
  \right\}
 \right]_{i(u),k} \nonumber \\ 
 &&  + 
     F_{u,i(u),k}^{t} \Delta \tau, \nonumber \\
 u^{t+\Delta t}_{i(u),k} &=&
    (1-2 \gamma)u^{t}_{i(u),k} + 
    \gamma (u^{*}_{i(u),k} + u^{t -\Delta t}_{i(u),k})
  \Deqlab{uwpi:timefilter}
\end{eqnarray}

ここで $\gamma$ はフィルターの係数であり, その値は 0.05 を用い
る. \Deqref{uwpi:w_sabun}, \Deqref{uwpi:pi_sabun}の計算に対しても同様
に時間フィルターを適用する.