%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %表題 2 次元非静力学モデル -- 数理モデル % %履歴 2003-07-25 高橋 こう子 新規作成 % 2003-09-03 高橋 こう子 骨子完成 % 2003-09-08 高橋 こう子 参考文献追加 % 2003-09-09 高橋 こう子 Appendix 追加 % 2003-11-17 高橋 こう子 修正 % 2003-11-22 高橋 こう子 運動エネルギーの式修正 % 2004-07-25 小高正嗣 2 次元乾燥大気版へ再構成 % 2004-11-30 小高正嗣 % 2005-01-31 杉山耕一朗 % 2005-08-25 小高正嗣 熱力学の式に散逸加熱項を追加 % 2005-08-26 小高正嗣 熱力学の式に基本場の拡散項を追加 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{座標系} 空間座標系は 2 次元直線直交座標系を用いる. 水平方向の座標変数を $x$, 鉛直方向の座標変数を $z$ と表す. 時間方向の変数は $t$ とする. \chapter{基礎方程式系} この節では理想気体を仮定した乾燥大気に対する 2 次元準圧縮系の基礎方程式 を示す. 凝結物質を含まないことをのぞき, これらの方程式系は Klemp and Wilhelmson (1978) と同様である. \section{変数の定義} モデルの独立変数は空間方向の座標変数 $x, z$ と時間方向の変数 $t$ である. モデルの予報変数はこれらの関数として定義される \begin{center} \begin{tabular}[tb]{lll} $u$ & : & 速度の $x$ 成分 \\ $w$ & : & 速度の $z$ 成分 \\ $\Theta$ & : & 温位 \\ $\Pi$ & : & 無次元圧力関数 \end{tabular} \end{center} である. 無次元圧力関数 (エクスナー関数) $\pi$ は圧力 $p$ を用いて以下のように定義され る. \begin{equation} \Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}} \Deqlab{エクスナー関数} \end{equation} $p_{0}$ は地表面での気圧である. 温位 $\Theta$ は \begin{eqnarray} \Theta &\equiv& T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/c_{p}} \nonumber \\ &=& \frac{T}{\Pi} \Deqlab{温位} \end{eqnarray} で与えられる. ここで $T$ は温度, $c_{p}$ は 定圧比熱, $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である. %-------------------------------------------------------------------- \pagebreak \section{基礎方程式} 基礎方程式は, 基本場の静水圧の式, 運動方程式, 圧力方程式, 熱力学の式である. 基本場は水平一様な静止状態であるとし, 基本場の変数は上付きバー $(\bar{~})$ で表す. \subsection{静水圧の式} \begin{equation} \DP{\overline{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \overline{\theta}} \end{equation} 基本場の密度 $\overline{\rho}$ は理想気体の状態方程式から 以下のように与えられる. \begin{equation} \overline{\rho} = \frac{p_{0}}{R_{d}} \frac{\overline{\Pi}^{c_{v}/R_{d}}}{\overline{\theta}} \end{equation} \subsection{運動方程式} \begin{eqnarray} \DD{u_{i}}{t} = - c_{p} \overline{\theta} \DP{\pi}{x_{i}} + \delta_{i3} g \frac{\theta}{\overline{\theta}} + D_{u_{i}}. \end{eqnarray} ここで $i=1,3$ で $u_{1}=u, u_{3}=w$ である. 左辺の時間微分は以下のように表される. \begin{eqnarray} \DD{}{t} = \DP{}{t} + u_{i}\DP{}{x_{i}}. \end{eqnarray} $D_{u_{i}}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項であり, 詳細は \Dsecref{サブグリッドスケールの乱流拡散}で述べる. \subsection{圧力方程式} \begin{eqnarray} \DP{\pi}{t} + \frac{\overline{c}^{2}}{c_{p} \overline{\rho} \overline{\theta}^{2}} \DP{}{x_{j}} \left(\overline{\rho} \overline{\theta} u_{j}\right) = 0. \end{eqnarray} ここで $\overline{c}$ は基本場の音速であり, 以下のように与えられる. \begin{equation} \overline{c^{2}} = \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}} \overline{\Pi} \overline{\theta} . \end{equation} ここで $c_{v}$ は定積比熱である. \subsection{熱力学の式} \begin{eqnarray} \DD{\theta}{t} = - w\DP{\overline{\theta}}{z} + D_{\theta} + \frac{\overline{\theta}}{\overline{T}} \left( Q_{rad} + Q_{dis} \right) \Deqlab{熱力学の式} \end{eqnarray} $D_{\theta}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項, $Q_{rad}$ は放射強制項, $Q_{dis}$ は運動エネルギー散逸による加熱項である. $Q_{dis}$ の具体的な表現は\Dsecref{サブグリッドスケールの乱流拡散} に示す. %-------------------------------------------------------------------- \pagebreak \section{サブグリッドスケールの乱流拡散} \Dseclab{サブグリッドスケールの乱流拡散} \subsection{運動方程式中の拡散項} Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける. % \begin{eqnarray} D_{u_{i}} &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \nonumber \\ &=& - \DP{}{x_{j}} \left[ - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right]. \end{eqnarray} ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり, $E$ は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー \begin{eqnarray} E = \frac{1}{2} \overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}} \end{eqnarray} である. \subsection{熱力学の式の拡散項} Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける. % \begin{eqnarray} D_{\theta} &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{i}^{\prime} \theta} \nonumber \\ &=& - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{(\theta + \overline{\theta})}{x_{j}}\right) . \end{eqnarray} ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である. ただし, Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) で は, $\overline{\theta}$ の乱流拡散は考慮されていない. \subsection{乱流運動エネルギーの式} Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以 下ように書ける. % \begin{eqnarray} \DP{K_{m}}{t} &=& - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ && + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \nonumber \\ && - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2} \Deqlab{kiso:TurbE} \end{eqnarray} % ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする. \Deqref{kiso:TurbE} 式中の乱流エネルギー生成項と 乱流エネルギー消散項が釣合うとみなすことで, 乱流拡散係数を診断的に求めることができる. % \begin{eqnarray} K_{m}^{2} = - \frac{3 g}{\overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right) + 2 \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} \Deqlab{close_1} \end{eqnarray} % 但し速度の収束は零とみなした. \subsection{散逸加熱項の表現} 式\Deqref{熱力学の式}の右辺に現れる散逸加熱項 $Q_{dis}$ は, 乱流運動エ ネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える. \begin{equation} Q_{dis} = \frac{1}{\overline{c_{p}}}\frac{C_{\varepsilon}}{l} \frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}}. \end{equation} ここで $l=(\Delta x\Delta z)^{1/2}$ である. %--------------------------------------------------------------------