%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %表題 2 次元非静力学モデル -- 付録 B 乱流パラメタリゼーション % %履歴 2003-07-25 高橋 こう子 新規作成 % 2003-09-03 高橋 こう子 骨子完成 % 2003-09-08 高橋 こう子 参考文献追加 % 2003-09-09 高橋 こう子 Appendix 追加 % 2003-11-17 高橋 こう子 修正 % 2003-11-22 高橋 こう子 運動エネルギーの式修正 % 2004-07-25 小高正嗣 2 次元乾燥大気版へ再構成 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{乱流パラメタリゼーション} %---------------------------------------------------------------------- %\newpage %\subsection{レイノルズ応力方程式} %---------------------------------------------------------------------- %\newpage \section{サブグリッドスケールの運動エネルギー方程式} Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. 1.5 次のクロージャーでは, 乱流運動エネルギーの時間発展方 程式を, % \begin{eqnarray} \DD{E}{t} &=& B + S + D_{E} - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}}. \Deqlab{B:dEdt} \end{eqnarray} % とする. 但し $l$ は混合距離であり $l = \left(\Delta x \Delta z\right)^{1/2}$ とする. $B$ と $S$ は それぞれ浮力と流れの変形速度による乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エ ネルギー拡散項, 第 4 項は乱流エネルギーの消散項であり, % \begin{eqnarray} B &=& \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} , \nonumber \\ S &=& - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} , \nonumber \\ D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right) \end{eqnarray} % である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する. % \begin{eqnarray} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} &=& - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \\ \overline{u_{j}^{\prime} \theta } &=& K_{h}\DP{\theta}{x_{j}} \end{eqnarray} % ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数であり, $E$ はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数である. $K_{m}$, $K_{h}$ は $E$ を用いて以下のように与えられる. % \begin{eqnarray} K_{m} &=& C_{m} E^{\frac{1}{2}} l, \Deqlab{B:E}\\ K_{h} &=& 3 K_{m}. \end{eqnarray} % \Deqref{B:dEdt} 式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネルギー生成項は, % \begin{eqnarray} B &=& \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} , \nonumber \\ &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \overline{w^{\prime} \theta^{\prime}} , \nonumber \\ &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) \Deqlab{B} \end{eqnarray} % である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は, % \begin{eqnarray} S &=& - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} , \nonumber \\ &=& - \left\{ - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}}, \nonumber \\ &=& \left\{ K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) - \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}}, \nonumber \\ &=& \left\{ K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right) - \frac{2}{3} \delta_{1j} E \right\} \DP{u}{x_{j}} \nonumber \\ &&+ \left\{ K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right) - \frac{2}{3} \delta_{3j} E \right\} \DP{w}{x_{j}}, \nonumber \\ &=& \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{u}{x} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{u}{x} + K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right) \DP{u}{z} \nonumber \\ &&+ K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right) \DP{w}{x} + \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{w}{z} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{w}{z}, \nonumber \\ &=& 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} \nonumber \\ && - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \Deqlab{S} \end{eqnarray} % である. 乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は, % \begin{eqnarray} D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right), \nonumber \\ &=& \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) \Deqlab{De} \end{eqnarray} % である. 以上の \Deqref{B}, \Deqref{S}, \Deqref{De} 式を \Deqref{B:dEdt} 式 に代入することで以下の式を得る. % \begin{eqnarray} \DD{E}{t} &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ &&+ 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ &&+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) \nonumber \\ && - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}}. \Deqlab{B:TurbE} \end{eqnarray} % さらに \Deqref{B:TurbE} 式を \Deqref{B:E} 式を用いて $K_{m}$ に関する式 に変形する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと, % \begin{eqnarray} \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right) &+& \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\DP{}{x} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right) + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right) \Biggr\} \nonumber \\ &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP{K_{m}}{x} \DP{K_{m}^{2}}{x} + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} + \DP{K_{m}}{z} \DP{K_{m}^{2}}{z} \Biggr\} \nonumber \\ &=& \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\} \nonumber \\ \end{eqnarray} % となるので, \Deqref{B:TurbE} 式を変形すると, % \begin{eqnarray} \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \DD{K_{m}}{t} &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) + 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{2}{3} \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\} \nonumber \\ && - \frac{C_{\varepsilon}}{C_{m}^{3} {l}^{4}} K_{m}^{3} \nonumber \\ \DP{K_{m}}{t} &=& - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \frac{K_{h}}{K_{m}} \left(\DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ && + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \nonumber \\ && - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2} \nonumber \end{eqnarray} % となり, ここで $C_{m} = C_{\varepsilon} = 0.2$ と $K_{h} = 3 K_{m}$ という 関係を用いると, % \begin{eqnarray} \DP{K_{m}}{t} &=& - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ && + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \nonumber \\ && - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2} \Deqlab{close_1.5} \end{eqnarray} % となる. \Deqref{close_1.5} 式において, 乱流エネルギーは定常であり, 生成項と消散項がつりあうと仮定すると, Meller and Yamada (1974) の 1 次の クロージャーに対応するような式が求まる. 但し速度の収束を零とみなした. % \begin{eqnarray} K_{m}^{2} = - \frac{3 g}{\overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right) + 2 \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} \Deqlab{close_1} \end{eqnarray} %