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%表題   地形を考慮した雲解像モデルの開発
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%履歴   2004-01-08 高橋 こう子   新規作成
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\documentclass[a4j,12pt]{jreport}

% 使用パッケージ
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{ascmac}

% 字下げなし
\Dnoparindent

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% 分数の定義
% (分数の中に分数がある場合, 文字の大きさを揃えるため)
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\def\cfrac#1#2{\dfrac{\mathstrut #1}{#2}}
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\Dtitle[]%[非静力学対流モデルの定式化に関する再検討]
       {修士論文 \vspace*{1em} \\
        非静力学対流モデルの定式化に関する再検討:
        地形を考慮した雲解像モデルの開発へ向けて \\
	Formulation of a nonhydrostatic convection model:
        Toward a cloud resolving model with terrain-following
	coordinates}

\Dauthor[]{高橋 こう子 \\
           TAKAHASHI Koko \vspace*{1em} \\
           北海道大学大学院理学研究科 地球惑星科学専攻 \\
	   地球惑星流体科学講座 地球流体力学研究室}

\Ddate[]{2004年1月30日}

\Dfile{}

%\Dpath{/GFD\_Dennou\_Club/ftp/arch/deepconv/}

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\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

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\Dparskip

\begin{abstract}

 準圧縮モデルを開発するのに必要な知識をまとめるために,
 乾燥大気に関するモデルの定式化と離散化を行った.
 直交直線座標系における定式化を Klemp and Wilhelmson
 (1978) に従い, 地形に沿った座標系における定式化を斉藤
 (1999) に従った.
 離散化の際に計算不安定を抑
 えるため, 音波減衰項と数値粘性項を人工的に追加し, 
 Asselin (1972) の時間フィルタを用いた.
 さらに, 2 次元非静力学対流モデルを作成して数値計算を行った.
 
 
 \end{abstract}

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\newpage

\chapter{はじめに}

 最近の計算機の発達により, メソ数値モデルの構築が活発に
 行われるようになった.
 メソ数値モデルとは, 水平スケールとして 2 〜 2,000 km
 (メソスケール), 鉛直スケールとして 10 km 前後の気象現象を
 表現するための数値モデルである.
 メソ数値モデルの例として, 気象研究所の非静力学モデル
 (NHM; Ikawa and Saito, 1991), Adcanced Regional Prediction
 System (ARPS; Xue {\it et. al.}, 1995), CReSS (Cloud
 Resolving Storm Simulator; 坪木ら, 2001) などが挙げられる.
 メソスケールの現象に対しては, 鉛直方向において静水圧平衡
 が成り立つと仮定することができない.
 そのため, メソ数値モデルは非静力学モデルに分類される.

 非静力学モデルは音波を含まない非弾性系モデルと含む弾性系
 モデルに分類される.
 非静力学モデルを音波について分類するのは以下の 2 つの理由による.
 ひとつは, 大気に存在する波のうち気象学的に重要なのはロスビー波や
 重力波であり, ふつう音波には興味がないからである.
 もうひとつは, 数値計算する場合は音波によって CFL 条件が決められ,
 非常に短い時間間隔で方程式系を計算しなければならないからである.
 非静力学モデルで用いるナビエ-ストークスの運動方程式を解くと,
 解に音波が含まれる.
 音波を取り除くために, 大気の圧縮性が無視できると仮定する
 (非弾性系モデル).

 非静力学モデルは連続の式の近似方法によって
 次の 4 つに分けられる (斉藤, 1999);
 非弾性系として非圧縮モデルと非弾性モデル,
 弾性系として準圧縮モデルと完全圧縮系モデルである.
 非圧縮モデルでは, 密度が空間的時間的に一定であると仮定し,
 非圧縮性流体の連続の式を用いる.
 非弾性モデルでは基本場からの偏差が小さく,
 密度が時間変化しないと仮定する.
 連続の式は線形化され, 密度の時間変化項を含まない.
 準圧縮モデルでは, 変数が基本場からの偏差が小さいと仮定し,
 線形化を行った連続の式を用いる.
 完全圧縮系モデルでは圧縮性流体の連続の式を用いる.
 非圧縮モデルは主に基礎研究や浅い対流を数値計算する場合に
 用いられる.
 非弾性モデルは研究用シミュレーションや再現実験に使われる.
 しかし, 密度の時間変化を考慮していないため, 密度変化が
 大きいと誤差が大きくなる.
 完全圧縮系モデルは最も精度が高いものの, 方程式が複雑で
 あるため数値計算が困難である.
 準圧縮モデルの連続の式は線形化を行っているため,
 非弾性モデルのものと同じ精度である.
 しかし, 連続の式に密度の時間変化項を含むため, 密度変化が
 大きい場合にも対応できる.
 準圧縮モデルは非弾性モデルより広く研究に用いられている.

 準圧縮モデルの数値モデルには先に挙げたような NHM や
 ARPS がある.
 これらのような準圧縮モデルだけでなく, 多くのメソ数値モデルを
 開発するには非常に手間と時間がかかる.
 それは主に以下の 3 つ理由による;
 対象とする現象の理解だけでなく,  数値計算のための知識が必要である.
 メソ数値モデルは複雑であるため, プログラミング, デバッグや
 性能テストが簡単ではない.
 メソ数値モデルが開発できるようになったのは,
 計算機の性能が向上したここ数十年のことであるため,
 数値モデルを開発する研究者があまり多くない.
 このため, メソ数値モデル開発に関する研究が進んでいるとはいえない.
 数値モデルの基となる数理モデルにおいて, 乱流モデルや微物理過程でも,
 何が問題で何が適したものなのかはよくわかっていない.
 数値モデルにおいても効率がよく, 誤差が少ない数値計算法について
 の研究が十分なされていない.
 メソ数値モデルの開発にはやるべきことが多く残されている.
 

 こうした問題を解決するには多くの研究者が数値モデルを開発し,
 様々な角度から検証されなければならない.
 先に挙げたように数値モデルの開発は非常に手間がかかるため,
 研究者が別々に開発するのは効率が悪い.
 基礎となる数理モデルの定式化と離散化がまとめられていれば,
 これを基に数値モデルの開発をさらに進めることができる.
 したがって, 本研究は数値モデルの開発に必要な基礎知識の集積を
 目的とした.
 非静力学の数値モデル開発のための基礎知識となるために,
 以下の 2 点を考慮した.
 多くの準圧縮モデルは Klemp and Wilhelmson (1978) を基に
 開発されている.
 メソスケールの気象現象は地形の影響を受けやすいため,
 地形の効果を考慮する必要がある.

 本研究では Klemp and Wilhelmson (1978) を基に定式化と離散化
 について再考察する.
 2.1 節では Klemp and Wilhelmson (1978) を基に直交直線座標系に
 おける定式化と, 斉藤 (1999) を基に地形に沿った座標系における
 定式化を示す.
 2.2 節では境界条件を示し,
 2.3 節では地形に沿った座標系における基礎方程式の離散化を示す.
 第 3 章では, 具体的な値がわからない音波減衰項と数値粘性項の係数を決め,
 音波とサーマルの計算結果を示す.
 

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\newpage

\chapter{乾燥大気における準圧縮モデルの定式化と離散化}
\label{乾燥大気}

 本章では, 乾燥大気における 3 次元準圧縮モデル
 の定式化と数値計算法について述べる.
 Klemp and Wilhelmson (1978) に従って, 直交直線座標系の
 定式化を行う.
 次に, 斉藤 (1999) に従って地形に沿った座標系の定式化を行う.

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%\pagebreak

\section{準圧縮モデルの定式化}

 準圧縮モデルの定式化をまとめると以下のようになる:
 \begin{itemize}
  \item 力学過程の基礎方程式系は非静力学・準圧縮系, 3 次元の
	地形に沿った座標系.
  \item 力学過程の予報変数は速度 3 成分, 圧力, 温位.
  \item 乱流モデルは乱流運動エネルギーを予報する 1.5 次の
	クロージャモデル.
 \end{itemize}

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%\pagebreak

\subsection{変数と基本場の定義}

 変数と基礎方程式系を基本場とそこからのずれに分離する.

 力学過程の予報変数は $x, y, z$ 方向の速度 $u, v, w$ と
 無次元化した圧力 (エクスナー関数)
 $\Pi (\equiv \left(p/p_{0}\right)^{R_{d}/c_{p}})$ および温位
 $\theta (\equiv T \left(p_{0}/p\right)^{R_{d}/c_{p}})$ の 5 つである.
 これら 5 つの予報変数は空間の座標 $x, y, z$ と時間の座標 $t$ である.
 ここで $T$ は温度, $p_{0}$ は地表面での圧力, $c_{p}$ は
 定圧比熱, $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である.
 密度 $\rho$ は乾燥空気の状態方程式
 \begin{eqnarray}
  \Pi = \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}
	      \rho \theta\right)^{R_{d}/c_{v}}
  \Deqlab{乾燥:状態方程式}
 \end{eqnarray}
 から得られる.

 基本場は水平一様 ($z$ のみの関数) かつ静止している
 ($\bar{u} = \bar{v} = \bar{w} = 0$) 状態とする.
 基本場では静水圧平衡が成り立つ:
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \bar{\theta}}
  .
 \end{eqnarray}
 基本場の密度は
 \begin{eqnarray}
  \bar{\rho} = \frac{p_{0}}{R_{d}}
               \frac{\bar{\Pi}^{c_{v}/R_{d}}}{\bar{\theta}}
 \end{eqnarray}
 である.
 基本場変数を上付きバー $(\bar{~})$ で表す.

 本論文では記述の簡便のため, 本数理モデルではエクスナー
 関数 $\Pi$ のずれを $\pi$ と表す.
 
%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\subsection{直交直線座標系における基礎方程式系}

 基礎方程式は $x, y, z^{*}$ 方向の運動方程式, 熱力学の式,
 準圧縮系の圧力方程式である.

  $x, y, z^{*}$ 方向の運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} &+& c_{p} \bar{\theta} \DP{\pi}{x_{i}}
   = \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1\right]
       - \varepsilon_{i3k} f u_{k} + D_{u_{i}}
  \Deqlab{乾燥直線:運動方程式}
 \end{eqnarray}
 である.
 $i = 1, 2, 3$ で, それぞれ $x, y$ および $z$ 成分
 を表す. 
 $f$ はコリオリパラメータである.
 $D_{u_{i}}$ は 3 方向の運動方程式における
 サブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項である.
 以下では, サブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項を
 単に拡散項という.
 3 方向の運動方程式の拡散項の表現については
 \ref{乾燥:サブグリッド拡散}節で述べる.

 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
    \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
         \DP{}{x_{j}}
	 \left(\bar{\rho} \bar{\theta} u_{j}\right)
     = f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
            + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}} \DP{u_{j}}{x_{j}}
            + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta^{2}}
              \DD{\theta}{t}
  \Deqlab{乾燥直線:圧力方程式}
 \end{eqnarray}
 である.
 $c$ は音波で以下のように表される:
 \begin{eqnarray}
  c^{2} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}} \Pi \theta
  .
 \end{eqnarray}

 熱力学の式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{\theta}{t} = D_{\theta}
  \Deqlab{乾燥直線:熱力学の式}
 \end{eqnarray}
 である.
 $D_{\theta}$ は熱力学の式における拡散項であり,
 熱力学の式の拡散項の表現については
 \ref{乾燥:サブグリッド拡散}節で述べる.

 密度は乾燥空気の状態方程式\Deqref{乾燥:状態方程式}より診断的に
 得られる:
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/R_{d}}}{\theta}
  \Deqlab{乾燥:密度}
  .
 \end{eqnarray}

%--------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{サブグリッドスケールの拡散}
\label{乾燥:サブグリッド拡散}

 レイノルズ平均を用いて方程式を, グリッドスケールの平均運動と
 サブグリッドスケールの乱流運動とに分離する.
 直交直線座標系における 3 方向の運動方程式
 \Deqref{乾燥直線:運動方程式}と熱力学の式
 \Deqref{乾燥直線:熱力学の式}の拡散項 $D_{u_{j}}, D_{\theta}$ は,
 それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  D_{u_{j}} &=& - \DP{}{x_{j}}
                  \overline{u_{i}^{\prime \prime}
		  u_{j}^{\prime \prime}}
  , \\
  D_{\theta} &=& - \DP{}{x_{j}}
                 \overline{u_{j}^{\prime \prime}
		 \theta^{\prime \prime}}
  .
 \end{eqnarray}
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}},$
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} \theta
^{\prime \prime}}$
 は, それぞれ, 3 方向の運動方程式と熱力学の式のサブグリッド
 スケールの変動成分である.
 各拡散項 $D_{u_{j}}, D_{\theta}$ は導出は付録
 \ref{付録乾燥:サブグリッドスケールの拡散}節に示す.
% 連続の式に対してレイノルズ平均を行っても変動成分は出てこない.
% しかし Klemp and Wilhelmson (1978) には連続の式を変形した
% 圧力方程式にサブグリッドスケールの拡散項 $D_{\pi}$ がある.

 Klemp and Wilhelmson (1978) に従って, 変動成分を
 \begin{eqnarray}
  \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
     &=& - K_{m} \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)
         + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  , \\
  \overline{u_{j}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}}
     &=& K_{h} \DP{\theta}{x_{j}}
 \end{eqnarray}
 と仮定する.
 $K_{m}$ は運動量渦拡散係数, $K_{h}$ は熱渦拡散係数である.
 $E$ は
 \begin{eqnarray}
  E \equiv \frac{1}{2} \left(\overline{u^{\prime \prime}}
		             + \overline{v^{\prime \prime}}
			     + \overline{w^{\prime \prime}}
		       \right)
 \end{eqnarray}
 で与えられるサブグリッドスケールの乱流運動エネルギーである.

\pagebreak
 $K_{m}$ は以下の時間発展方程式から求められる:
 \begin{eqnarray}
    \DD{K_{m}}{t}
     &=& - \frac{3 g}{\bar{\theta}}
           \DP{\theta}{z}
         + 2 C_{m}^{2} l^{2} \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)^{2}
         + \frac{1}{2} \, |\varepsilon_{ijk}| C_{m}^{2} l^{2}
           \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & - \frac{1}{3} \delta_{ij} K_{m}
         \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)
         + \frac{1}{2} \delta_{ij} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}\right)
	 + \delta_{ij}
	   \left(\DP{K_{m}}{x_{j}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}\right)
                  K^{2}
  \Deqlab{乾燥直線:運動量渦拡散係数の式}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし $K_{m}$ に関する上式\Deqref{乾燥直線:運動量渦拡散係数の式}
 はサブグリッドスケールの乱流運動エネルギーの時間発展方程式から
 得られる.
 式\Deqref{乾燥直線:運動量渦拡散係数の式}の導出は付録
 \ref{付録乾燥:サブグリッドスケールの拡散}に示す.
 $E$ と $K_{m}$ の関係は
 \begin{eqnarray}
  E &=& \left(\frac{K_{m}}{C_{m} l}\right)^{2}
  \Deqlab{EとKの関係式}
  .
 \end{eqnarray}
 $K_{m}$ と $K_{h}$ の関係は
 \begin{eqnarray}
  K_{h} = 3 K_{m}
  \Deqlab{KhとKmの関係式} 
\end{eqnarray}
 とする (Deardorff, 1972).
 ここで $l$ は混合距離で
 $l = \left(\Delta x \Delta y \Delta z\right)^{1/3}$ である.
 Deardorff (1975) によると
 $ C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$ である.

 Klemp and Wilhelmson (1978) 中の離散化された運動量渦拡散係数に関する
 方程式には, \Deqref{乾燥直線:運動量渦拡散係数の式}中の右辺第 4 項と第 6 項
 \begin{eqnarray}
  \frac{1}{3} \delta_{ij} K_{m}
         \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)
  \Deqlab{ない項1}
  , \\
  \delta_{ij}
	   \left(\DP{K_{m}}{x_{j}}\right)^{2}
  \Deqlab{ない項2}
 \end{eqnarray}
 が消去されている.
 上の 2 つの項\Deqref{ない項1}と\Deqref{ない項2}が消去された理由
 については第\ref{まとめ}章で考える.


%--------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{地形に沿った座標系における基礎方程式系}

 \Dfigref{地形に沿った座標}のような地形に沿った座標
 $(x^{*}, y^{*}, z^{*})$ は以下のように定義される:
 \begin{eqnarray*}
  x^{*} &=& x
  , \\
  y^{*} &=& y
  , \\
  z^{*} &=& z^{*} (x, y, z)
 \end{eqnarray*}
 かつ,
 \begin{eqnarray}
  z^{*} &\equiv& \frac{H \left\{z - z_{s} (x^{*}, y^{*})\right\}}
               {H - z_{s} (x^{*}, y^{*})}
  \Deqlab{地形}
  .
 \end{eqnarray}
 $z_{s} (x^{*}, y^{*})$ は地表面の高さ, $H$ はモデル領域の
 高さとする.
 地形に沿った座標系における速度 $(u^{*}, v^{*}, \omega)$ は
 \begin{eqnarray}
  u^{*} &=& u
  , \\
  v^{*} &=& v
  , \\
  \omega &=& G^{13} u + G^{23} v + \frac{1}{G^{1/2}} w
 \end{eqnarray}
 である(速度の導出は付録\ref{地形に沿った座標系の定義}節参照).
 ただし
 \begin{eqnarray}
  G^{1/2} &=& \frac{H - z_{s}}{H}
  , \\
  G^{13}  &=& \frac{z^{*} - H}{H -  z_{s}}
             \DP{z_{s}}{x}
  , \\
  G^{23} &=& \frac{z^{*} - H}{H -  z_{s}}
             \DP{z_{s}}{y}
 \end{eqnarray}
 である.
 地形に沿った座標系における空間微分は付録
 \ref{地形に沿った座標系の定義}節の式\Deqref{地形:x微分}
 〜\Deqref{地形:z微分}のように定義される.
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics{./images/zsta.eps}
   \caption{直線直交座標系における速度 $(u, v, w)$ と
            地形に沿った座標系における速度
            $(u^{*}, v^{*}, \omega)$.}
   \Dfiglab{地形に沿った座標}
  \end{center}
 \end{figure}

 地形に沿った座標系の静水圧平衡の式と基礎方程式は以下のようになる.
 静水圧平衡の式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z^{*}} = - \frac{G^{1/2} g}{c_{p} \bar{\theta}}
  \Deqlab{乾燥地形:静水圧平衡の式}
  .
 \end{eqnarray}
 である.

 $x, y, z^{*}$ 方向の運動方程式はそれぞれ以下のように表される:
 \begin{eqnarray}
  \DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{u}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}
        \left(\DP{\pi}{x} + G^{13} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
   = f v + D_{u}
  \Deqlab{乾燥地形:x運動方程式}
  , \\
  \DP{v}{t} + u \DP{v}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{v}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}
        \left(\DP{\pi}{y} + G^{23} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
   = - f u + D_{v}
  \Deqlab{乾燥地形:y運動方程式}
  , \\
  \DP{w}{t} + u \DP{w}{x} + v \DP{w}{y}
     &+& \omega \DP{w}{z^{*}}
      + \frac{c_{p} \bar{\theta}}{G^{1/2}}
        \DP{\pi}{z^{*}}
     = g \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1\right]
             + D_{w}
  \Deqlab{乾燥地形:z運動方程式}
  .
 \end{eqnarray}
 上式\Deqref{乾燥地形:x運動方程式}〜\Deqref{乾燥地形:z運動方程式}
 中の拡散項 $D_{u}, D_{v}, D_{w}$ の表現については
 本節の終わりにまとめて示す.

 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	 \Biggl\{
	   \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta} u\right)}{x}
	   + \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta} v\right)}{y}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{4em}
	   + G^{13}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta} u\right)}{z^{*}}
	   + G^{23}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta} v\right)}{z^{*}}
	   + \frac{1}{G^{1/2}}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)}{z^{*}}
	 \Biggr\}
  \nonumber \\
     &=& f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u \DP{\pi}{x} - v \DP{\pi}{y}
              - \omega \DP{\pi}{z^{*}}	      
  \nonumber \\
          & & + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}}
	        \left\{\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
		      +\left(G^{13} + G^{23} + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		        \DP{w}{z^{*}}
	        \right\}
  \nonumber \\
          & & + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta^{2}}
	        \left\{\DP{\theta}{t}
		       + \DP{\theta}{x}
		       + \DP{\theta}{y}
		       + \left(G^{13} + G^{23}
		               + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		         \DP{\theta}{z^{*}}
	        \right\}
  \Deqlab{乾燥地形:圧力方程式}
  .
 \end{eqnarray}
 Klemp and Wilhelmson (1978) に従って $f_{\pi} = 0$ とする.
 $f_{\pi} = 0$ とすることは圧力方程式を線形化し, 非断熱項
 (\Deqref{乾燥地形:圧力方程式}の $\theta$ の項) を無視
 することを意味する.

 熱力学の式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\theta}{t} + u \DP{\theta}{x}
  + v \DP{\theta}{y} + \omega \DP{\theta}{z^{*}}
     = D_{\theta}
  \Deqlab{乾燥地形:熱力学の式}
 \end{eqnarray}
 である.
 上式\Deqref{乾燥地形:熱力学の式}中の拡散項 $D_{\theta}$ の
 表現は本節の終わりで示す.

 密度は, 地形に沿った座標系における乾燥大気の状態方程式から
 診断的に得られる:
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/R_{d}}}{\theta}
  .
 \end{eqnarray}

\pagebreak
 運動量渦拡散係数の時間発展方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{K_{m}}{t}
     &=& - \left(u \DP{K_{m}}{x} + v \DP{K_{m}}{y}
		 + \omega \DP{K_{m}}{z^{*}}
	   \right)
            - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{2 \bar{\theta} G^{1/2}}
	      \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
  \nonumber \\
            & & + C_{m}^{2} l^{2}
	          \Biggl\{\left(\DP{u}{x}
			        + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
		          + \left(\DP{v}{y}
			          + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
			     \right)^{2}
			  + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			          \DP{w}{z}
			    \right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2}
              	  \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
			        + \DP{u}{y} + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{6em}
		          + \left(\DP{w}{x} + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
			          + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z}
			    \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{6em}
			  + \left(\DP{w}{y} + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
			          + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z}
			    \right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & - \frac{K_{m}}{3}
		  \left(\DP{u}{x} + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
		        + \DP{v}{y} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
		        + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
	    & & + \frac{1}{2}
	          \Biggl\{\left(\DP{}{x}
			        + G^{13} \DP{}{z^{*}}
			  \right)
		          \left(\DP{K_{m}^{2}}{x}
			        + G^{13} \DP{K_{m}^{2}}{z^{*}}
			  \right)
  \nonumber \\
            & & \hspace*{5em}
			  + \left(\DP{}{y}
			          + G^{23} \DP{}{z^{*}}
			    \right)
		            \left(\DP{K_{m}^{2}}{y}
			          + G^{23} \DP{K_{m}^{2}}{z^{*}}
			    \right)
			  + \frac{1}{G^{1/2}}
			    \DP{}{z^{*}}
		 \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & + \left(\DP{K_{m}}{x}	
		        + G^{13} \DP{K_{m}}{z^{*}}
		  \right)^{2}
	        + \left(\DP{K_{m}}{y}
		        + G^{23} \DP{K_{m}}{z^{*}}
		  \right)^{2}
		+ \left(\frac{1}{G^{1/2}} \DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
  \nonumber \\
	    & & - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}
		  K_{m}^{2}
  \Deqlab{乾燥地形:運動量渦拡散係数}
 \end{eqnarray}
 である.

 地形に沿った座標系における各方程式の拡散項は以下のようになる.
 $x, y, z^{*}$ 方向の運動方程式\Deqref{乾燥地形:x運動方程式}〜
 \Deqref{乾燥地形:z運動方程式}中の拡散項は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
    D_{u} &=& 2 \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{x} + G^{13}
		         \DP{u}{z^{*}}\right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{y}
		         + \DP{v}{x}
		         + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
 \end{eqnarray}
\pagebreak
 \begin{eqnarray}
  D_{v} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	         \left(\DP{v}{x}
		       + \DP{u}{y}
		       + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		       + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		 \right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	             \left(\DP{v}{y}
		           + G^{23} \DP{v}{z^{*}}\right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{y}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		         + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  D_{w} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
                \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
 	             \left(\DP{w}{y}
		           + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		           + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		     \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left(K_{m}
	             \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}
              \right)
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  .
 \end{eqnarray}
 熱力学の式\Deqref{乾燥地形:熱力学の式}中の拡散項は
 \begin{eqnarray}
    D_{\phi} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{\theta}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{\theta}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

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\section{境界条件}

 下部境界 $(z^{*} = 0)$ と上部境界 $(z^{*} = H)$では境界を横切る
 流れがないとする.
 上下境界における境界条件はそれぞれ
 \begin{eqnarray}
  \omega &=& 0  \hspace*{7em} (z^{*} = 0)
  , \\
  \omega &=& u \DP{z_{s}}{x} + v \DP{z_{s}}{y}
  \hspace*{2em}  (z^{*} = H)
 \end{eqnarray}
 である.
 側面境界では周期境界条件を用いる.


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\section{基礎方程式系の離散化}

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\subsection{離散化の概要}

 基礎方程式の離散化は有限差分法を用いる.
 離散化された方程式系の具体的な形は付録
 \ref{乾燥大気の離散化}節に詳述した.
 本節では, 本数値モデルで用いる有限差分法について簡単に
 まとめる.

 空間微分の離散化は中心差分を用いる.
 格子構造はスタッガード格子とし, 水平方向は Arakawa C
 グリッド, 鉛直方向は Lorenz グリッドを用いる
 (付録\ref{空間微分}節参照).

 時間微分の離散化は, 音波に関係する項を短い時間間隔 $\Delta \tau$
 で解き, それ以外の項を長い時間間隔 $\Delta t$ で解く
 時間分割法を用いる (付録\ref{時間積分}節参照).
 短い時間間隔で解く方程式の離散化は前進差分を,
 長い時間間隔で解く方程式の離散化は中心差分を用いる.
 音波に関する項のうち, 水平方向を陽解法で, 鉛直方向を陰解法で解く
 (HE-VI 法).

 計算不安定を抑えるため以下の 3 点を考慮した:
 \begin{itemize}
  \item 短い時間間隔で積分する運動方程式中に音波減衰項を
	加える (\ref{音波減衰項}節).
  \item 数値粘性項を圧力方程式以外の移流項に加える
	(\ref{数値粘性項}節).
  \item 中央差分で長い時間間隔で積分する方程式を解いた解に
	Asselin の時間フィルタ (Asselin, 1972) を適用する
	(\ref{時間フィルタ}節).
 \end{itemize}
 これら 3 点について以下の 3 節で詳しく述べる.

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\subsection{音波減衰項}
\label{音波減衰項}

 Skamarock and Klemp (1992) は, 時間分割法を短い時間間隔で
 解く運動方程式に適用した場合, 不安定な音波モードが非線形項
 の計算によって励起し成長することがあると指摘した.
 不安定なモードを除去するために, 発散に重みをかけた音波減衰項
 $\alpha Div$を人工的に加える.
 具体的には運動方程式\Deqref{乾燥地形:x運動方程式}〜
 \Deqref{乾燥地形:x運動方程式}中の $\pi$ を
 $\pi - \alpha Div$ に置き換える.
 音波減衰項は
 \begin{eqnarray}
  \alpha Div = \alpha
               \left(\DP{u}{x} + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
		     + \DP{v}{y} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
		     + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}
	       \right)
 \end{eqnarray}
 で与えられる.
 Skamarock and Klemp (1992) によると,
 安定な計算のためには
 \begin{eqnarray}
  \alpha \le 5 \times 10^{-6} \times
             \frac{\Delta x^{2}}{\Delta \tau}
  \Deqlab{音波減衰係数}
 \end{eqnarray}
 でなければならない.

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\subsection{数値粘性項}
\label{数値粘性項}

 本数値モデルでは移流項を 2 次精度の中心差分で離散化する.
 この場合, 人工的な粘性項を加えないと計算不安定を起こす.
 これは以下の理由による.

 説明の簡便のため, 以下のような 1 次元の線形波動方程式を考える:
 \begin{eqnarray}
  \DP{u}{t} + c \DP{u}{x} = 0,
  \hspace*{2em} (c > 0).
  \Deqlab{波動方程式}
 \end{eqnarray}
 上式\Deqref{波動方程式}を 2 次精度の中心差分で離散化すると
 \begin{eqnarray}
  u_{i}^{t + \Delta t}
     = u_{i}^{t}
       - \frac{c}{2} \left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)
         \left(u_{i + \Delta x}^{t} - u_{i - \Delta x}^{t}\right)
  \Deqlab{離散:波動方程式}
 \end{eqnarray}
 となる.
 \Deqref{離散:波動方程式}を数値計算すると, CFL 条件を
 満たすように $\Delta t, \Delta x$ を与えても計算が破綻する.
 一方, 安定に計算できる離散化の方法として 1 次の風上差分がある.
 風上差分を用いて\Deqref{波動方程式}を離散化すると,
 \begin{eqnarray}
  u_{i}^{t + \Delta t}
      &=& u_{i}^{t}
        - c \left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)
	  \left(u_{i}^{t} - u_{i - \Delta x}^{t}\right)
  \nonumber \\
      &=& u_{i}^{t}
          - \frac{c}{2} \left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)
            \left(u_{i + \Delta x}^{t} - u_{i - \Delta x}^{t}\right)
  \nonumber \\
      & &  + \frac{c}{2} \left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)
            \left(u_{i + \Delta x}^{t}
	          - 2 u_{i}^{t}
	          + u_{i - \Delta x}^{t}
	    \right)
  \Deqlab{風上差分}
 \end{eqnarray}
 となる.
 \Deqref{離散:波動方程式}と\Deqref{風上差分}を比べると,
 \Deqref{風上差分}には右辺第 3 項が追加されている.
 この追加された右辺第 3 項は, 空間の 2 階微分
 $\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ を中心差分したもの
 に相当し, 拡散的に働く.
 したがって, 1 次の風上差分は安定に計算が出来る.
 中心差分を安定に計算させるために, 空間の 2 階微分で表される
 項を人工的な数値粘性項として移流項に加える.

 以下のような数値粘性項を, 運動方程式
 \Deqref{乾燥地形:x運動方程式}〜\Deqref{乾燥地形:z運動方程式}
 および熱力学の式\Deqref{乾燥地形:熱力学の式}の移流項に加える:
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.\phi
      = \nu_{h}
        \left[\DP[2]{\phi}{x} + \DP[2]{\phi}{y}\right]
	+ \nu_{v} \DP[2]{\phi}{z^{*}}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし $\phi = u, v, w, \theta$ とし,
 \begin{eqnarray}
  \nu_{h} &=& \alpha_{h} \frac{\Delta x \Delta y}{\Delta t}
  , \\
  \nu_{v} &=& \alpha_{v} \frac{\Delta z^{*2}}{\Delta t}
 \end{eqnarray}
 である.
 坪木ら (2001) によると, 安定な計算のためには
 \begin{eqnarray}
  \nu_{h} &\le& \frac{1}{8}
                 \frac{\Delta x \Delta y}{\Delta t}
  \Deqlab{水平数値粘性係数}
  , \\
  \nu_{v} &\le& \frac{1}{8}
                 \frac{\Delta z^{*2}}{\Delta t}
  \Deqlab{鉛直数値粘性係数}
 \end{eqnarray}
 でなければならない.


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%\newpage

\subsection{Asselin の時間フィルタ}
\label{時間フィルタ}

 Asselin (1972) は, 中央差分を用いて長い時間間隔
 で積分する場合, 微小な物理モードの擾乱で強い計算モードの
 減衰が生じることがあることを指摘した.
 計算モードを減衰させるため Asselin (1972) が示した時間フィルタ
 を用いる.
 $\partial \phi / \partial t = F$ という方程式を解く場合,
 \begin{eqnarray}
  \phi^{* t + \Delta t} &=& \phi^{t - \Delta t}
                          + 2 \Delta t F^{* t}
 \end{eqnarray}
 と離散化される.
 アスタリスク (*) 付変数はフィルタがかけられていない量とする.
 予報変数 $\phi^{t + \Delta t}$ を求めた後,
 \begin{eqnarray}
  \phi^{t} &=& \phi^{* t}
               + \mu_{a}
	         \left(\phi^{* t + \Delta t} - 2 \phi^{* t}
		       + \phi^{t - \Delta t}
		 \right)
  \Deqlab{フィルタリング}
 \end{eqnarray}
 のようにフィルタリングする.
 次の時刻 $t + \Delta t$ における値を求めるとき,
 \Deqref{フィルタリング}でフィルタリングした $\phi^{t}$ を
 $\phi^{t - \Delta t}$ として解く.
  Asselin (1972) によると, $\mu_{a}$ の条件は
 \begin{eqnarray}
  0 < \mu_{a} < \frac{1}{3}
 \end{eqnarray}
 である.
 標準的な値は $\mu_{a} = 0.1$ である (坪木ら, 2001).

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\chapter{数値実験}

 前章で示した数理モデルを基にして 2 次元非静力対流モデルを
 作成した.
 本章では, 音波減衰項と数値粘性項の各係数の具体的な値を
 決めるために行った数値実験の結果を示す.

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\section{数値実験の概要}

 作成した数値モデルは以下の点で前章で示した数理モデルと異なる:
 \begin{itemize}
  \item $x, z^{*}$ 方向の 2 次元.
  \item 地形なし.
	ただし数値コードにはマップファクターを入れてある.
  \item 運動量拡散係数は定数.
 \end{itemize}

 基本場における地表面圧力を 100,000 Pa,基本場の地表面温度を
 300 K とする.
 その他の設定は数値実験毎に異なるので各節で示す.

 ソースコードは Fortran 90 で記述した.
 圧力方程式を解く際,  Fujitsu Fortran \& C Package ver. 3 の
 科学用サブルーチンライブラリ (SSL II;Scientific Subroutine
 Library II) を使用した.
 使用した計算機の CPU は Intell Pentium III 600 Mhz,
 メモリは 256 MB である.

 行った数値実験は以下の 4 つである:
 \begin{enumerate}
  \item 音波の計算.
  \item 音波減衰項の係数を決めるのための計算.
  \item 数値粘性項の係数を決めるのための計算.
  \item サーマルの計算.
 \end{enumerate}

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\section{数値実験}

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\subsection{音波計算}

 準圧縮モデルでは解に音波が含まれる.
 HE-VI 法で音波が正しく計算できているかを確認するため,
 \begin{itemize}
  \item 音速で伝播する波が存在する (case 1-1, case 1-2).
  \item 短い時間間隔に依存して鉛直方向の音波が
	減衰される (case 1-1 と case 1-3 の比較).
 \end{itemize}
 かどうかを調べる.
 そのための数値実験として
 \begin{list}{}{}
  \item case 1-1 : $\Delta \tau = 1 \, {\rm s},$
	初期擾乱として,  $x$ 方向一様で, 中心
	$x = 1.2 \times 10^{4} \, {\rm m},$ 振幅
	$5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$
	半値幅 $1.0 \times 10^{3} \, {\rm m}$ の
	ガウス型の圧力を与える.
  \item case 1-2 : $\Delta \tau = 1 \, {\rm s},$
	初期擾乱として,  $x$ 方向一様で, 中心
	$z^{*} = 5.0 \times 10^{4} \, {\rm m},$ 振幅
	$5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$
	半値幅 $\sqrt{5.0} \times 10^{3} \, {\rm m}$ の
	ガウス型の圧力を与える.
  \item case 1-3 : $\Delta \tau = 0.1 \, {\rm s},$
	初期擾乱として,  $x$ 方向一様で, 中心
	$x = 1.2 \times 10^{4} \, {\rm m},$ 振幅
	$5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$
	半値幅 $1.0 \times 10^{3} \, {\rm m}$ の
	ガウス型の圧力を与える(case 1-1 と同じ).
 \end{list}
 を行う.
 case 1-1 〜 1-3 の数値実験を行う際の設定を\Dtabref{case1}に示す.
 ここでは音波のみを見るため, 重力加速度を 0 とし, 移流項,
 コリオリ項, 浮力項, 拡散項および音波減衰項は全て 0 とする.
 \begin{table}[htbp]
  \begin{center}
   \caption{case 1-1〜1-3 の数値実験における設定.}
   \begin{tabular}[tb]{lcl}
    \hline
    水平計算領域                & : & 2.4 $\times 10^{4}$ m \\
    鉛直計算領域                & : & 1.0 $\times 10^{4}$ m \\
    水平格子間隔 $\Delta x$     & : & 1.0 $\times 10^{3}$ m \\
    鉛直格子間隔 $\Delta z^{*}$ & : & 5.0$\times 10^{2}$ m
    ($z^{*}$ 方向に等間隔) \\
    短い時間間隔 $\Delta \tau$  & : & 1.0 s または 1.0
    $\times 10^{-1}$ s \\
    計算時間     $t$            & : & 1.0 $\times 10^{2}$ s \\
    基本場                      & : & 等温 (300 K) , 等圧大気  \\
    \hline
   \end{tabular}
   \Dtablab{case1}
  \end{center}
 \end{table}

\pagebreak
 \Dfigref{case1-1a}〜\Dfigref{case1-2b}の実験結果から,
 鉛直速度, 水平速度およびエクスナー関数の擾乱がほぼ
 音速で伝播していることがわかる.
 与えた音速は
 \begin{eqnarray}
  \bar{c} &=& \left(\frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
                    \bar{\Pi} \bar{\theta}
	      \right)^{1/2}
  \nonumber \\
              &\sim& 339 \, {\rm m/s}
 \end{eqnarray}
 である.
 ただし
 $c_{p} = 1.952 \times 10^{3} \, {\rm J \, K^{-1} \, kg^{-1}},
  c_{v} = 1.463 \times 10^{3}\, {\rm J \, K^{-1} \, kg^{-1}},
  R_{d} = 2.87 \times 10^{2}\, {\rm J \, K^{-1} \, kg^{-1}}$
 とした.
 \Dfigref{case1-1a}と\Dfigref{case1-1b}では,
 それぞれ鉛直速度の擾乱とエクスナー関数の擾乱が
 $t = 15 \, {\rm s}$  後に $z^{*} = 5.0 \times 10^{3} \, {\rm m}$ に
 達していることがわかる.
 これより見積もった音速の大きさは約 333 m/s である.
 \Dfigref{case1-2a}と\Dfigref{case1-2b}では,
 それぞれ鉛直速度とエクスナー関数の擾乱が
 共に $t = 35 \, {\rm s}$ 後に $z^{*} = 1.2  \times 10^{4} \, {\rm m}$ に
 達しているので, 音速の大きさは約 343 m/s である.

 \Dfigref{case1-3a-omg}〜\Dfigref{case1-3b-pi}の実験結果から,
 鉛直方向の音波が減衰されることが確認できる.
 短い時間間隔が 1 s である\Dfigref{case1-3a-omg}と
 \Dfigref{case1-3a-pi}の波の振幅は,
 始めの 1 波長に比べて約 $1/2$ になっている.
 これに対し, 短い時間間隔を 1/10 にした\Dfigref{case1-3b-omg}と
 \Dfigref{case1-3b-pi}の波の振幅は, ほとんど減衰が見られない.

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/omg_dt1_x.eps}
   \caption{case 1-1 における音速の計算結果 . 鉛直速度の擾乱の
            $x = 1.2 \times 10^{4}$ m における時間- $z^{*}$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case1-1a}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_dt1_x.eps}
   \caption{case 1-1 における音速の計算結果 . エクスナー関数の擾乱の
            $x = 1.2 \times 10^{4}$ m における時間- $z^{*}$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case1-1b}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/u_dt1_z.eps}
   \caption{case 1-2 における音速の計算結果 . 鉛直速度の擾乱の
            $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ m における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case1-2a}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_dt1_z.eps}
   \caption{case 1-2 における音速の計算結果 . エクスナー関数の擾乱の
            $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ m における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case1-2b}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/omg_dt1_xz.eps}
   \caption{case 1-1 における音速の計算結果.
   $(x, z^{*}) = (2.0 \times 10^{3}, 5.0 \times 10^{3})$ における
   鉛直速度の擾乱の時間変化.}
   \Dfiglab{case1-3a-omg}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_dt1_xz.eps}
   \caption{case 1-1 における音速の計算結果.
   $(x, z^{*}) = (2.0 \times 10^{3}, 5.0 \times 10^{3})$ における
   エクスナー関数の擾乱の時間変化.}
   \Dfiglab{case1-3a-pi}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/omg_dt01_xz.eps}
   \caption{case 1-3 における音速の計算結果.
   $(x, z^{*}) = (2.0 \times 10^{3}, 5.0 \times 10^{3})$ における
   鉛直速度の擾乱の時間変化.}
   \Dfiglab{case1-3b-omg}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_dt01_xz.eps}
   \caption{case 1-3 における音速の計算結果.
   $(x, z^{*}) = (2.0 \times 10^{3}, 5.0 \times 10^{3})$ における
   エクスナー関数の擾乱の時間変化.}
   \Dfiglab{case1-3b-pi}
  \end{center}
 \end{figure}

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{音波減衰項の係数}

 音波減衰項の係数 $\alpha$ の条件は\Deqref{音波減衰係数}
 で与えられる.
 \Dtabref{case2}の示す設定においては
 $\Delta x = 1.0 \times 10^{3} \, {\rm m},
 \Delta \tau = 1.0 \, {\rm s}$ なので, 音波減衰項の係数の条件は
 \begin{eqnarray}
  \alpha \le 2.5
 \end{eqnarray}
 となる.
 具体的な $\alpha$ を決めるために以下のように値を代入して
 数値計算を行う:
 \begin{list}{}{}
  \item case 2-1 : $\alpha = 0$ (音波減衰項がない場合).
  \item case 2-2 : $\alpha = 2.5 \times 10^{-2}$.
 \end{list}
 case 2-1 と 2-2 の数値実験を行う際の設定を\Dtabref{case2}に示す.
 ここでは音波のみを見るため, 重力加速度を 0 とし, 移流項,
 コリオリ項, 浮力項, 拡散項および音波減衰項は全て 0 とする.
 \begin{table}[htbp]
  \begin{center}
   \caption{case 2-1〜2-2 の数値実験における設定.}
   \begin{tabular}[tb]{lcl}
    \hline
    水平計算領域                & : & 2.4 $\times 10^{4}$ m \\
    鉛直計算領域                & : & 1.0 $\times 10^{4}$ m \\
    水平格子間隔 $\Delta x$     & : & 1.0 $\times 10^{3}$ m \\
    鉛直格子間隔 $\Delta z^{*}$ & : & 5.0 $\times 10^{2}$ m
    ($z^{*}$ 方向に等間隔) \\
    短い時間間隔 $\Delta \tau$  & : & 1 s \\
    計算時間     $t$            & : &  1.0 $\times 10^{4}s$ \\
    初期擾乱                    & : &
    中心 $(x, z^{*}) = (1.2 \times 10^{4}, 5.0 \times 10^{3}),$
    振幅 $5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$ \\
                                &   &
    半振幅 $x = \sqrt{5.0} \times 10^{3}, z^{*} = 1.0 \times 10^{3}$ の\\
                                &   & 2 次元ガウス型の圧力
                                      (\Dfigref{音波減衰初期擾乱}) \\
    基本場                      & : & 等温 (300 K) 大気, 静水圧平衡  \\
    \hline
   \end{tabular}
   \Dtablab{case2}
  \end{center}
 \end{table}

 \Dfigref{case2-1a}〜\Dfigref{case2-2b} の実験
 結果から, 音波減衰項の係数として適当な値は
 $\alpha = 2.5 \times 10^{-2}$ であることがわかる.
 音波減衰項を加えない\Dfigref{case2-1b}では
 $t =  \, {\rm s}$ あたりでエクスナー関数が急増している.
 一方, \Dfigref{case2-2b}から $t = 9100 \, {\rm s}$
 あたりでも値が安定している.

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=6cm]{./images/pi_t0.eps}
%   \includegraphics[width=6cm]{./images/pi_t0_z.eps}
   \caption{初期擾乱として与えた圧力をエクスナー関数に変換したもの.
   与えた圧力は, 中心
   $(x, z^{*}) = (1.2 \times 10^{4}, 5.0 \times 10^{3}),$
   振幅 $5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$ 半振幅
   $x = \sqrt{5.0} \times 10^{3}, z^{*} = 1.0 \times 10^{3}$ の
   2 次元ガウス型の山である.}
   \Dfiglab{音波減衰初期擾乱}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_t250_a0.eps}
   \caption{case 2-1 における音波の計算結果.
   エクスナー関数の擾乱について, 時刻 $t = 0$ 〜 250 s 間,
   $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case2-1a}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_t9250_a0.eps}
   \caption{case 2-1 における音波の計算結果.
   エクスナー関数の擾乱について, 時刻 $t = 9000$ 〜 9250 s 間,
   $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case2-1b}
  \end{center}
 \end{figure}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_t250_a0025.eps}
   \caption{case 2-2 における音波の計算結果.
   エクスナー関数の擾乱について, 時刻 $t = 0$ 〜 250 s 間,
   $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case2-2a}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/pi_t9250_a0025.eps}
   \caption{case 2-2 における音波の計算結果.
   エクスナー関数の擾乱について, 時刻 $t = 9000$ 〜 9250 s 間,
   $z^{*} = 5.0 \times 10^{3}$ における時間- $x$ 軸断面図.}
   \Dfiglab{case2-2b}
  \end{center}
 \end{figure}

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{数値粘性項の係数}

 数値粘性項の係数 $\nu_{h}, \nu_{v}$ の条件は
 \Deqref{水平数値粘性係数}と\Deqref{鉛直数値粘性係数}である.
 \Dtabref{case3}の示す設定においては
 \begin{eqnarray}
  \nu_{h} &\le& 1.25 \times 10^{5}
  , \\
  \nu_{v} &\le&  3.125 \times 10^{4}
 \end{eqnarray}
 である.
 具体的な $\nu_{h}$ と $\nu_{v}$ の値を決めるため, 
 以下のように値を代入して温位の移流項について数値計算を行う:
 \begin{list}{}{}
  \item case 3-1 : $\nu_{h} = 0, \nu_{v} = 0$ (数値粘性項がない場合).
  \item case 3-2 : $\nu_{h} = 5.0 \times 10^{3},
	            \nu_{v} = 1.25 \times 10^{3}$ .
  \item case 3-3 : $\nu_{h} = 5.0 \times 10^{2},
	            \nu_{v} = 1.25 \times 10^{2}$ .
  \item case 3-4 : $\nu_{h} = 5.0, \nu_{v} = 1.25$ .
 \end{list}
 case 3-1 〜 3-4 の数値実験を行う際の設定を\Dtabref{case3}に示す.
 ここでの数値モデルはコリオリ項,浮力項および拡散項を 0 とする.
 \begin{table}[htbp]
  \begin{center}
   \caption{case 3-1〜3-2 の数値実験における設定.}
   \begin{tabular}[tb]{lcl}
    \hline
    水平計算領域                & : & 2.4 $\times 10^{4}$ m \\
    鉛直計算領域                & : & 1.0 $\times 10^{4}$ m \\
    水平格子間隔 $\Delta x$     & : & 1.0 $\times 10^{3}$ m \\
    鉛直格子間隔 $\Delta z^{*}$ & : & 5.0$\times 10^{2}$ m
    ($z^{*}$ 方向に等間隔) \\
    長い時間間隔 $\Delta t$     & : & 1 s  \\
    計算時間     $t$            & : & 10,000 s \\
    初期擾乱                    & : &
    中心 $(x, z^{*}) = (5.0 \times 10^{3}, 5.0 \times 10^{3}),$
    振幅 $5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$ \\
                                &   &
    半振幅 $x = \sqrt{5.0} \times 10^{3},
    z^{*} = \sqrt{5.0} \times 10^{3}$ の\\
                                &   & 2 次元ガウス型の温位 \\
    水平速度                    &   & 10 m/s (一定値) \\
    鉛直速度                    &   & 0 m/s (一定値) \\
%    基本場                      & : & 必要なし \\
    \hline
   \end{tabular}
   \Dtablab{case3}
  \end{center}
 \end{table}

 \Dfigref{case3-1}〜\Dfigref{case3-4}の結果から, 数値粘性項の
 係数として $\nu_{h} = 5.0, \nu_{v} = 1.25$ が適当
 であることがわかる.
 数値粘性項を追加した\Dfigref{case3-2}〜\Dfigref{case3-4}のうち,
 もっとも安定なものは\Dfigref{case3-4}である.
 \Dfigref{case3-2}では $ t = 500$ あたりで数値計算によって
 出てきた擾乱が大きくなっている.
 \Dfigref{case3-3}では $ t = 750$ あたりで 温位擾乱の後ろに
 擾乱が出てきている.
 \Dfigref{case3-3}と\Dfigref{case3-4}を比べると, 温位擾乱の
 後ろに出ている擾乱が小さいのは\Dfigref{case3-4}である.

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_nu0.eps}
   \caption{case 3-1 における温位の計算結果. 
   左から順に時刻 $t = 0, t = 250, t = 500,
   t = 750, t = 1000$ s における温位の擾乱の時間-$z^{*}$軸断面図.}
   \Dfiglab{case3-1}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_nu5000.eps}
   \caption{case 3-2 における温位の計算結果. 
   左から順に時刻 $t = 0, t = 250, t = 500$ s における温位の
   擾乱の時間-$z^{*}$軸断面図.}
   \Dfiglab{case3-2}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_nu500.eps}
   \caption{case 3-3 における温位の計算結果. 
   左から順に時刻 $t = 0, t = 250, t = 500,
   t = 750, t = 1000$ s における温位の擾乱の時間-$z^{*}$軸断面図.}
   \Dfiglab{case3-3}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_nu5.eps}
   \caption{case 3-4 における温位の計算結果. 
   左から順に時刻 $t = 0, t = 250, t = 500,
   t = 750, t = 1000$ s における温位の擾乱の時間-$z^{*}$軸断面図.}
   \Dfiglab{case3-4}
  \end{center}
 \end{figure}

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{サーマルの計算}

 前節までに得られた安定計算に必要な音波減衰項と数値粘性項の
 係数を用いて, サーマルの数値実験を行う. 
 サーマルの計算に用いた数値モデルには拡散項が加えられている.
 運動量渦拡散係数として一定値 (10, 50, 100 ${\rm m^{2}/s}$) を
 用いる:
 \begin{list}{}{}
  \item case 4-1 : $K_{m} = 10 \, {\rm m^{2}/s}$
  \item case 4-2 : $K_{m} = 50 \, {\rm m^{2}/s}$
  \item case 4-3 : $K_{m} = 100 \, {\rm m^{2}/s}$
 \end{list}
 case 4-1 〜 4-3 の数値実験を行う際の設定を\Dtabref{case4}に示す.
 ここでの数値モデルはコリオリ項のみ 0 とする.
 \begin{table}[htbp]
  \begin{center}
   \caption{case 4-1〜4-3 の数値実験における設定.}
   \begin{tabular}[tb]{lcl}
    \hline
%    短い時間間隔 $\Delta \tau$  & : & 2 s \\
    水平計算領域                & : & 2.4 $\times 10^{4}$ m \\
    鉛直計算領域                & : & 1.0 $\times 10^{4}$ m \\
    水平格子間隔 $\Delta x$     & : & 1.0 $\times 10^{3}$ m \\
    鉛直格子間隔 $\Delta z^{*}$ & : & 5.0$\times 10^{2}$ m
    ($z^{*}$ 方向に等間隔) \\
    短い時間間隔 $\Delta \tau$  & : & 2 s \\
    長い時間間隔 $\Delta t$     & : & 10 s  \\
    計算時間     $t$            & : & 2.0 $\times 10^{3}$ s \\
    初期擾乱                    & : &
    中心 $(x, z^{*}) = (1.2 \times 10^{4}, 0.0),$
    振幅 $5.0 \times 10^{2} \, {\rm m},$ \\
                                &   &
    半振幅 $x = \sqrt{5.0} \times 10^{3},
    z^{*} = \sqrt{5.0} \times 10^{3}$ の\\
                                &   & 2 次元ガウス型の温度 \\
    基本場                      & : & $z^{*} = 5000$ m まで
    乾燥断熱減率で温度減少, \\
                                &   & $z^{*} = 5000$ m より上は
    $z^{*} = 5000$ m での温度で \\
                                &   & 等温, 静水圧平衡 \\
    音波減衰項の係数 $\alpha$   & : & $2.5 \times 10^{-2}$  \\
    水平数値粘性項の係数 $\nu_{h}$  & : & $5.0$  \\
    鉛直数値粘性項の係数 $\nu_{v}$  & : & $1.25$  \\
    \hline
   \end{tabular}
   \Dtablab{case4}
  \end{center}
 \end{table}

 \Dfigref{case4-1a}〜 \Dfigref{case4-3e}の結果から, 上昇する
 サーマルを表現できたことが確認できる.
 case 4-1 〜 4-3 のどれも $t = 500 \, {\rm s}$ あたりから
 サーマルが上昇し始めるのが確認できる.
 $t = 800 \, {\rm s}$ あたりでサーマルの先端が
 $z^{*} = 5000 \, {\rm m}$ に達する.
 $t = 800 \, {\rm s}$ あたりでサーマルが潰れて横に広がって
 いるのがわかる.

% $t = 1000 \, {\rm s}$ を比べると, 拡散項によって擾乱が
% なめらかになっていることがわかった.
% 運動量渦拡散係数のオーダが 10 である case 4-1 (e) と 4-2 (e) 
% にはあまり違いは見られない.
% case 4-3 (e) になると擾乱がなめされていることが確認できる.

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k10_t0.eps}
   \caption{case 4-1 における時刻 t = 0 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-1a}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k10_t500.eps}
   \caption{case 4-1 における時刻 t = 500 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-1b}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k10_t700.eps}
   \caption{case 4-1 における時刻 t = 700 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-1c}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k10_t800.eps}
   \caption{case 4-1 における時刻 t = 800 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-1d}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k10_t1000.eps}
   \caption{case 4-1 における時刻 t = 1000 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-1e}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k50_t0.eps}
   \caption{case 4-2 における時刻 t = 0 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-2a}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k50_t500.eps} 
   \caption{case 4-2 における時刻 t = 500 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-2b}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k50_t700.eps}
   \caption{case 4-2 における時刻 t = 700 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-2c}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k50_t800.eps} 
  \caption{case 4-2 における時刻 t = 800 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-2d}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k50_t1000.eps}
   \caption{case 4-2 における時刻 t = 1000 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-2e}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k100_t0.eps} 
   \caption{case 4-3 における時刻 t = 0 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-3a}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k100_t500.eps}
   \caption{case 4-3 における時刻 t = 500 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-3b}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k100_t700.eps}
   \caption{case 4-3 における時刻 t = 700 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-3c}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k100_t800.eps}
   \caption{case 4-3 における時刻 t = 800 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-3d}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
%   \includegraphics[width=12cm]{./images/ptemp_k100_t1000.eps}
   \caption{case 4-3 における時刻 t = 1000 s での温位の計算結果.}
   \Dfiglab{case4-3e}
  \end{center}
 \end{figure}

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\chapter{まとめ}
\label{まとめ}

 本研究では, 地形に沿った座標系における非静力学モデルを
 作成するための基礎となるべき定式化と離散化を示した.
 直交直線座標系における定式化は Klemp and Wilhelmson (1978) に
 従い, 地形に沿った座標系は斉藤 (1999) に従って定式化を示した.
 離散化では計算不安定を抑えるため, 音波減衰項と数値粘性項を
 人工的に加え, Asselin (1972) の時間フィルターを用いた.

 定式化の際, Klemp and Wilhelmson (1978) の数理モデルには
 消去されている項があることを見つけた.
 本論文中のサブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式中の
 項\Deqref{ない項1}と\Deqref{ない項2}が,
  Klemp and Wilhelmson (1978) では離散化の段階で消去されている.
 また消去されたことに関する議論はない.

 定式化と離散化を行った後, 乾燥大気について 2 次元の非静力学対流
 モデルを作成した.
 作成した数値モデルは音波と簡単なサーマルの計算ができる.
 作成した数値モデルを用いて数値実験を行った結果, 
 以下のことがわかった:
 \begin{itemize}
  \item $\Delta x = 1,000 \, {\rm m}, \Delta \tau = 1.0 \, {\rm s}$
	の場合, 音波減衰項の係数は $\alpha = 2.5 \times 10^{-2}$
	が適当である.
  \item $\Delta x = 1,000 \, {\rm m}, \Delta \tau = 1.0 \, {\rm s}$
	の場合, 数値粘性項の係数は $\nu_{h} = 5.0, \nu_{v} = 1.25$
	が適当である.
 \end{itemize}

 ここで, Klemp and Wilhelmson (1978) が項\Deqref{ない項1}と
 \Deqref{ない項2}を消去した理由について考察する.
 まず, 項\Deqref{ない項1}について考える.
 乱流運動エネルギー方程式はサブグリッドスケールでの運動を
 考えている.
 サブグリッドスケールでは密度の空間的時間的変化が小さいと
 考えると, 非圧縮性流体の連続の式を用いることができる.
 したがって, 項\Deqref{ない項1}は連続の式によって消去される.

 次に, 項\Deqref{ない項2}に関してはオーダを見る.
 代表的な長さスケールを $L,$ 代表的な運動量渦拡散係数の大きさを
 $K$ とする.
 項\Deqref{ない項2}のオーダは
 \begin{eqnarray}
  \delta_{ij} \left(\DP{K_{m}}{x_{j}}\right)^{2}
       \sim O \left(\frac{K^{2}}{L^{2}}\right)
 \end{eqnarray}
 である.
 ここで, 式\Deqref{乾燥直線:運動量渦拡散係数の式}中で
 Klemp and Wilhelmson (1978) には残されている第 5 項について,
 オーダを見積もると
 \begin{eqnarray}
  \frac{1}{2} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
    \sim O \left(\frac{K^{2}}{L^{2}}\right)
  \Deqlab{第6項のオーダ}
  .
 \end{eqnarray}
 したがって, 項\Deqref{ない項2}と残されている第 6 項
 \Deqref{第6項のオーダ}のオーダは同じである.
 オーダを見ると項\Deqref{ない項2}を消去すべきではない.

 サーマルの数値実験において, $t = 700$ s あたり
 (\Dfigref{case4-1c},\Dfigref{case4-2c}および\Dfigref{case4-3c})
 でサーマルの下から擾乱が生じている.
 $t = 1000$ s である\Dfigref{case4-1e},\Dfigref{case4-2e}および
 \Dfigref{case4-3e}では, さらに大きくなっている.
 今のところ原因はわかっていない.

 

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\chapter*{謝辞}
\addcontentsline{toc}{chapter}{謝辞}

 本研究を進めるにあたって多くの指導と助言をして頂いた方々に
 深く感謝します.

 指導教官である林祥介教授には本研究を始めるきっかけを頂き,
 研究を進める上で多くの助言を頂きました.
 九州大学理学部地球惑星科学科の中島健介助手には, 地理的距離が
 あるにもかかわらず, 定式化から離散化, プログラミングに至るまで
 様々な指導と助言を頂きました.
 北海道大学大学院地球環境科学研究科の石渡正樹助手には
 プログラミングや修論の内容等に関して様々な助言を頂きました.
 地球流体力学研究室の小高正嗣助手と同研究室博士課程の杉山
 耕一朗さんにはなかなか進まない研究に毎週のようにつき
 合って頂き, 多くの指導や助言をして頂きました.
 同研究室博士課程の小西丈予さんには定式化やプログラミングで
 詰まったとき等に助言や励ましを頂きました.
 九州大学大学院理学府地球惑星科学専攻地球流体力学研究分野
 博士課程の中野満寿男さんには修士論文を参考にさせて頂いた
 だけでなく, 定式化等に関して助言も頂きました.
 本研究の大きな支えとなった CReSS を開発された名古屋大学
 地球水循環研究センターの坪木和久さんと財団法人高度情報科学
 技術研究機構の榊原篤志さんには紙面をかりて御礼申し上げます.

 北海道大学低温科学研究所寒冷海洋圏科学部門雲科学分野の方々
 や名古屋大学地球水循環研究センター局域水循環過程研究部門
 第1研究室の院生の方々には, 本研究を始めるにあたり多くの
 助言を頂きました.
 地球流体力学研究室・惑星物理学研究室の方々には研究に関する
 議論だけでなく, 多くの励ましも頂きました.
 本当にありがとうございました.

 本研究の数値モデルを作成するにあたり, コンパイラには
 Fujitsu Fortran \& C Package ver.3 を使わせて頂きました.
 また, 作図には地球流体電脳倶楽部の
 gtool4 Fortran90 ツール・ライブラリ
 (http://www.gfd-dennou.org/arch/gtool4/)
 を利用させて頂きました.


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\appendix

\chapter{乾燥大気における準圧縮モデルの定式化}

 本章では主に第\ref{乾燥大気}章の定式化において解説していない
 ことについて述べる.
 予報変数, 基本場の設定や記号などは本文中と同じである.

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\section{直交直線座標系における基礎方程式系}

 乾燥大気の場合, 直交直線座標系における基礎方程式は
 運動方程式, 連続の式および熱力学の式である.
 本数理モデルでは連続の式の代わりに圧力方程式を用いる.
 運動方程式は\Deqref{乾燥直線:運動方程式}である.
 圧力方程式は\Deqref{乾燥直線:圧力方程式}であり,
 エクスナー関数を微分したものと圧縮性流体の連続の式
 \begin{eqnarray}
  \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_{j}} \left(\rho u_{j}\right)
      = 0
 \end{eqnarray}
 から得られる.
 熱力学の式は\Deqref{乾燥直線:熱力学の式}である.
 運動方程式と熱力学の式の拡散項 $D_{u_{j}}, D_{\theta}$ の
 詳細は\ref{付録乾燥:サブグリッドスケールの拡散}節で述べる.
 密度は乾燥大気の状態方程式\Deqref{乾燥:状態方程式}より与えられる.


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%\pagebreak

\section{地形に沿った座標系}
\label{地形に沿った座標系の定義}

 ここでは基礎方程式系を地形に沿った座標系に変換するために, 
 座標系,速度および空間微分の定義をする.

 斉藤 (1999) や CReSS (坪木ら, 2001)と同様に, 地形に沿った座標
 $(x^{*}, y^{*}, z^{*})$ を
 \begin{eqnarray*}
  x^{*} &=& x
  , \\
  y^{*} &=& y
  , \\
  z^{*} &=& z^{*} (x, y, z)
 \end{eqnarray*}
 とする. $z^{*}$ は\Deqref{地形}で定義される
 (\Dfigref{地形に沿った座標}).

 地形に沿った座標系での速度を $(u^{*}, v^{*}, \omega)$ とすると,
 直交直線座標系での速度は
 \begin{eqnarray}
  u &=& u^{*} \DP{x}{x^{*}} + v^{*} \DP{x}{y^{*}}
        + \omega \DP{x}{z^{*}}
  \Deqlab{付録直線:速度u}
  , \\
  v &=& u^{*} \DP{y}{x^{*}} + v^{*} \DP{y}{y^{*}}
        + \omega \DP{y}{z^{*}}
  \Deqlab{付録直線:速度v}
  , \\
  w &=& u^{*} \DP{z}{x^{*}} + v^{*} \DP{z}{y^{*}}
        + \omega \DP{z}{z^{*}}
  \label{付録直線:速度w}
 \end{eqnarray}
 と書ける.
 上式 \Deqref{付録直線:速度u}-(\ref{付録直線:速度w})を
 $u^{*}, v^{*}, \omega$ について解くと,
 \begin{eqnarray}
  G^{1/2} u^{*} &=& u J_{y^{*} z^{*}}^{yz} + v J_{y^{*} z^{*}}^{zx}
                + w J_{y^{*} z^{*}}^{xy}
  , \\
  G^{1/2} v^{*} &=& u J_{z^{*} x^{*}}^{yz} + v J_{z^{*} x^{*}}^{zx}
                + w J_{z^{*} x^{*}}^{xy}
  , \\
  G^{1/2} \omega &=& u J_{x^{*} y^{*}}^{yz} + v J_{x^{*} y^{*}}^{zx}
                + w J_{x^{*} y^{*}}^{xy}
 \end{eqnarray}
 を得る.
 ただし $J$ は 2 次元のヤコビアンで, 例えば
 \begin{eqnarray*}
  J_{y^{*} z^{*}}^{yz} &\equiv& \DP{(y, z)}{(y^{*}, z^{*})}
  \\
                       &=& \left|
			     \begin{array}{cc}
			      \dfrac{\partial y}{\partial y^{*}} &
			      \dfrac{\partial y}{\partial z^{*}} \\
			      \dfrac{\partial z}{\partial y^{*}} &
			      \dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} \\
			     \end{array}
			   \right|
  ,
 \end{eqnarray*}
 $G$ は 3 次元のヤコビアンで
 \begin{eqnarray*}
  G &\equiv&  \DP{(x, y, z)}{(x^{*}, y^{*},z^{*})}
  \\
    &=& \left|
	      \begin{array}{ccc}
	       \dfrac{\partial x}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial x}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial x}{\partial z^{*}} \\
	       \dfrac{\partial y}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial y}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial y}{\partial z^{*}} \\
	       \dfrac{\partial z}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial z}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} \\
	      \end{array}
       \right|
 \end{eqnarray*}
 と定義される.
 したがって\Deqref{地形}を代入して整理すると,
 地形に沿った座標系での速度は
 \begin{eqnarray}
  U &=& u
  , \\
  V &=& v
  , \\
  W &=& G^{13} u + G^{23} v + \frac{1}{G^{1/2}} w
 \end{eqnarray}
 と書ける.

 直交直線座標系から地形に沿う座標系へ変換する場合,
 ある変数 $\phi$ の空間微分は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\phi}{x} &=&\DP{\phi}{x}
           + G^{13} \DP{\phi}{z^{*}}
  \Deqlab{地形:x微分}
  , \\
  \DP{\phi}{y} &=& \DP{\phi}{y}
                      + G^{23} \DP{\phi}{z^{*}}
  , \\
  \DP{\phi}{z} &=& \frac{1}{G^{1/2}}
                      \DP{\phi}{z^{*}}
  \Deqlab{地形:z微分}
 \end{eqnarray}
 となる.


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\section{サブグリッドスケールの拡散}
\label{付録乾燥:サブグリッドスケールの拡散}

 大気中の運動には様々なスケールがある.
 これらの運動には, 数値モデルで考える格子点で表現できる
 グリッドスケールの平均運動と, 表現できない乱流運動
 (またはサブグリッドスケールの運動)がある.
 乱流状態にある場合, 同時に存在する様々な時空間スケールの
 運動が相互作用しているため, サブグリッドスケールの運動も
 無視することはできない.
 これらの運動を分離するために, 予報変数
 $A (= u,v,w,\pi,\theta,q_{v},q_{c},q_{r})$ をグリッド
 スケールで表現できる平均成分 $(\overline{A})$と
 そこからの変動成分 $(A^{\prime \prime})$に分ける:
 \begin{eqnarray*}
  A = \overline{A} + A^{\prime \prime}
  .
 \end{eqnarray*}
 平均の方法としてレイノルズ平均を用いる.
 このとき平均成分と変動成分は
 \begin{eqnarray*}
  \overline{A^{\prime \prime}} &=& 0
  , \\
  \overline{AB} &=& \overline{A} \, \overline{B}
                    + \overline{A^{\prime \prime}}
		      \overline{B^{\prime \prime}}
  , \\
  \overline{A^{\prime \prime} \overline{B}} &=& 0
 \end{eqnarray*}
 を満たす.

 直交直線座標系における運動方程式, 連続の式に対してレイノルズ
 平均操作を行うと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\overline{u}_{i}}{t}
  + \overline{u}_{j} \DP{\overline{u}_{i}}{x_{j}}
  + c_{p} \bar{\Theta}_{v}
    \DP{\overline{\pi}}{x_{i}}
   &=& \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\Theta}} - 1\right]
   \nonumber \\
    & & - \varepsilon_{i3k} f u_{k}
        - \DP{}{x_{j}}
          \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
  \Deqlab{付録乾燥平均:運動方程式}
 , \\
  \DP{\overline{\rho}}{t}
  + \DP{\overline{\rho u}_{i}}{x_{i}} &=& 0
  \Deqlab{付録乾燥平均:連続の式}
 \end{eqnarray}
 を得る.
 ただし上付バーの混同を避けるため本節のみ,
 基本場での $\theta$ を $\bar{\Theta}$ と表す.
 上式\Deqref{付録乾燥平均:運動方程式}中の右辺第3項
 $- \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}
 \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}$
 が式\Deqref{乾燥直線:運動方程式}中の $D_{u_{i}}$ である.
 Klemp and Wilhelmson (1978) では, 連続の式を変形した
 圧力方程式にサブグリッドスケールの拡散項 $D_{\pi}$ がある.

 熱力学の式に対して同様な操作を行うと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\overline{\theta}}{t}
  + \overline{u_{j}} \DP{\overline{\theta}}{x_{j}}
  = - \DP{}{x_{j}}
      \overline{u_{j}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}}
  \Deqlab{付録乾燥平均:熱力学の式}
 .
 \end{eqnarray}
 上式\Deqref{付録乾燥平均:熱力学の式}中の
 $- \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}
  \overline{u_{j}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}}$
 が, それぞれ式\Deqref{乾燥直線:熱力学の式}の拡散項 $D_{\theta}$ である.

 \Deqref{付録乾燥平均:運動方程式}の右辺第3項に
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}},$
 \Deqref{付録乾燥平均:熱力学の式}の右辺に
 $\overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}$
 があるために,
 $\overline{u}_{i}, \overline{\pi},\overline{\theta},
  \overline{q}_{v}, \overline{q}_{c}, \overline{q}_{r}$
 に関して方程式系が閉じていない.
 方程式を閉じるために, Klemp and Wilhelmson (1978) では
 乱流運動エネルギーを用いた1.5次のクロージャモデルを使っている.
 本数理モデルは  Klemp and Wilhelmson (1978) に従う.
 このとき
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}$ と
 $\overline{u_{j}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}}$ を
 以下のように仮定する:
 \begin{eqnarray}
  \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
     &=& - K_{m} \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)
         + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  , \\
  \overline{u_{j}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}}
     &=& K_{h} \DP{\theta}{x_{j}}
  .
 \end{eqnarray}

 $E, K_{m}$ および $K_{h}$ は本文中と同様にして求める.

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\section{地形に沿った座標系における基礎方程式系}

 地形に沿った座標系における静水圧平衡の式と
 基礎方程式系は以下のようである.
 静水圧平衡の式は\Deqref{乾燥地形:静水圧平衡の式}である.
 $x, y, z^{*}$ 方向の運動方程式は\Deqref{乾燥地形:x運動方程式}
 〜 \Deqref{乾燥地形:z運動方程式},
 圧力方程式は\Deqref{乾燥地形:圧力方程式},
 熱力学の式は\Deqref{乾燥地形:熱力学の式}で表される.


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\chapter{湿潤大気における準圧縮モデルの定式化}
\label{湿潤大気の定式化}

 本章では湿潤大気における 3 次元準圧縮モデルの定式化を示す.

 基礎方程式系は, 3 方向の運動方程式と熱力学の式に加え,
 水蒸気混合比の式, 雲水混合比の式および雨水混合比の式
 である.
 $x, y$ 方向の運動方程式は乾燥空気の場合と同じある.
 $z$ または $z^{*}$ 方向の運動方程式, 熱力学の式および
 サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式は
 水の効果を考えるため, 乾燥空気の方程式と形が異なる.

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\section{直交直線座標系における基礎方程式系}

 本節では直交直線座標系における基礎方程式系を導出する.


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\subsection{変数の定義}

 湿潤大気における予報変数は
  \begin{center}
   \begin{tabular}[tb]{lll}
    $u$ & : & 速度の $x$ 成分 \\
    $v$ & : & 速度の $y$ 成分 \\
    $w$ & : & 速度の $z$ 成分 \\
    $\Pi$ & : & 無次元化した圧力 (エクスナー関数) \\
    $\theta$ & : & 温位 \\
    $q_{v}$ & : & 水蒸気の混合比  \\
    $q_{c}$ & : & 雲水の混合比 \\
    $q_{r}$ & : & 雨水の混合比 \\
   \end{tabular}
  \end{center}
 であり, 空間の変数 $x, y, z$ と時間の変数 $t$ である.

 密度は湿潤空気の状態方程式
 \begin{eqnarray}
  p = \rho R_{d} T \left(1 + 0.61 q_{v}\right)
 \end{eqnarray}
 または
 \begin{eqnarray}
  \Pi  = \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}
	       \rho \theta_{v}\right)^{R_{d}/c_{v}}
 \end{eqnarray}
 から診断的に与えられる.
 ただし本章での $\rho$ は湿潤空気の密度とする.
 $\theta_{v}$ は仮温位で
 \begin{equation}
  \theta_{v} = \theta \left(1 + 0.61 q_{v}\right)
 \end{equation}
 と表される.

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\subsection{基本場の定義と分離}

 基本場も乾燥大気と同様の状態を考える.
 水平一様 ($z$ のみの関数)な静止
 ($\bar{u} = \bar{v} = \bar{w} = 0$) 状態とする.
 基本場における無次元量の圧力と温位は,乾燥大気と同様であり,
 仮温位は
 \begin{eqnarray}
  \bar{\theta}_{v} = \bar{\theta} \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)
 \end{eqnarray}
 である.
 湿潤大気における基本場の静水圧平衡の式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
 \end{eqnarray}
 である.

 乾燥大気の場合と同様に, 変数を基本場とそこからの偏差に分ける:
 \begin{eqnarray*}
  \phi = \bar{\phi} + \phi^{\prime}
  .
 \end{eqnarray*}
 ただし
 $\phi = u, v, w, \Pi, \theta, q_{v}, q_{v}, q_{r}, \theta_{v}, \rho$
 を表す.
 以下では, 記述の簡便のため $\Pi^{\prime} = \pi$ とし,
 速度のみ上付きプライム $( ^{\prime})$ を省略する.


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\subsection{基礎方程式系}

 湿潤大気の場合, 直交直線座標系における基礎方程式は, 運動方程式,
 熱力学の式, 準圧縮系の連続の式, 水蒸気混合比の式,
 雲水混合比の式および雨水混合比の式である.
 ただし連続の式の代わりに圧力方程式を用いる.

 運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} &+& c_{p} \bar{\theta}_{v} \DP{\pi}{x_{i}}
  \nonumber \\
   &=& \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
       - \varepsilon_{i3k} f u_{k} + D_{u_{i}}
  \Deqlab{直線:運動方程式}
 \end{eqnarray}
 である.
 $i = 1, 2, 3$ で, それぞれ $x, y$ および $z$ 成分
 を表す. 
 $f$ はコリオリパラメータである.
 $D_{u_{i}}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項であり
 \ref{サブグリッドスケールの拡散}節で述べる.

 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
    \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
         \DP{}{x_{j}}
	 \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u_{j}\right)
     = f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
            + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}} \DP{u_{j}}{x_{j}}
            + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
              \DD{\theta_{v}}{t}
  \Deqlab{直線:圧力方程式}
 \end{eqnarray}
 である.
 $D_{\pi}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項,
 $c$ は音波で
 \begin{eqnarray}
  c^{2} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}} \Pi \theta_{v}
 \end{eqnarray}
 と表され, $\bar{c}$ は基本場での音波である.
 圧力方程式\Deqref{直線:圧力方程式}は
 エクスナー関数を微分したものと圧縮性流体の連続の式
 \begin{eqnarray}
  \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_{j}} \left(\rho u_{j}\right)
      = 0
 \end{eqnarray}
 から得られる.

 熱力学の式, 水蒸気混合比の式, 雲水混合比の式および
 雨水混合比の式は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  \DD{\theta}{t} &=& D_{\theta} + M_{\theta}
  \Deqlab{直線:熱力学の式}
  , \\
  \DD{q_{v}}{t} &=& D_{q_{v}} + M_{q_{v}}
  , \\
  \DD{q_{c}}{t} &=& D_{q_{c}} + M_{q_{c}}
  , \\
  \DD{q_{r}}{t} &=& D_{q_{r}} + M_{q_{r}}
  \Deqlab{直線:混合比}
 \end{eqnarray}
 である.
 それぞれの方程式中の
 $M_{\theta}, M_{q_{v}}, M_{q_{c}}, M_{q_{v}}$ は微物理
 過程に伴う生成・消滅項である.
 $D_{\theta}, D_{q_{v}}, D_{q_{c}}, D_{q_{v}}$ はサブ
 グリッドスケールの乱流に伴う拡散項である.
 生成・消滅項については\ref{雲・降水の微物理過程}節で,
 拡散項については\ref{サブグリッドスケールの拡散}節で述べる.

 密度は湿潤空気の状態方程式
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/R_{d}}}{\theta_{v}}
 \end{eqnarray}
 より与えられる.

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\section{地形に沿った座標系における基礎方程式系}

 本節では, 前節で導出した直交直線座標系での方程式系を
 地形に沿う座標系に変換する.
 座標系の設定は乾燥大気の場合と同様である.

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%\pagebreak

\subsection{基礎方程式系}

 静水圧平衡の式および前節で導出した基礎方程式系
 \Deqref{直線:運動方程式}, \Deqref{直線:圧力方程式},
 \Deqref{直線:熱力学の式}〜\Deqref{直線:混合比}を,
 直交直線座標系から地形に沿った座標系に変換する.

 静水圧平衡の式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z^{*}} = - \frac{G^{1/2} g}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
 \end{eqnarray}
 となる.

 運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{u}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}_{v}
        \left(\DP{\pi}{x} + G^{13} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
   = f v + D_{u}
  \Deqlab{地形:x運動方程式}
  , \\
  \DP{v}{t} + u \DP{v}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{v}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}_{v}
        \left(\DP{\pi}{y} + G^{23} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
   = - f u + D_{v}
  \Deqlab{地形:y運動方程式}
  , \\
  \DP{w}{t} + u \DP{w}{x} + v \DP{w}{y}
     &+& \omega \DP{w}{z^{*}}
     + \frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}}{G^{1/2}}
        \DP{\pi}{z^{*}}
  \nonumber \\
   &=& g \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
             + D_{w}
  \Deqlab{地形:z運動方程式}
 \end{eqnarray}
 となる.
 拡散項 $D_{u}, D_{v}, D_{w}$ は \ref{サブグリッドスケールの拡散}
 節で述べる.

 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	 \Biggl\{
	   \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u\right)}{x}
	   + \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} v\right)}{y}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{4em}
	   + G^{13}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u\right)}{z^{*}}
	   + G^{23}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} v\right)}{z^{*}}
	   + \frac{1}{G^{1/2}}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w\right)}{z^{*}}
	 \Biggr\}
  \nonumber \\
     &=& f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u \DP{\pi}{x} - v \DP{\pi}{y}
              - \omega \DP{\pi}{z^{*}}	      
  \nonumber \\
          & & + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}}
	        \left\{\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
		      +\left(G^{13} + G^{23} + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		        \DP{w}{z^{*}}
	        \right\}
  \nonumber \\
          & & + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
	        \left\{\DP{\theta_{v}}{t}
		       + \DP{\theta_{v}}{x}
		       + \DP{\theta_{v}}{y}
		       + \left(G^{13} + G^{23}
		               + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		         \DP{\theta_{v}}{z^{*}}
	        \right\}
  \Deqlab{地形:圧力方程式}
  .
 \end{eqnarray}
 Klemp and Wilhelmson (1978) に従い $f_{\pi} = 0$ とすると,
 準圧縮モデルの圧力方程式になる.
 $f_{\pi} = 0$ とすることは線形化を行って非断熱項
 (\Deqref{地形:圧力方程式}の右辺第 3項) を無視することを意味する.
 
 熱力学の式, 水蒸気混合比の式, 雲水混合比の式および雨水
 混合比の式は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\theta}{t} + u \DP{\theta}{x}
  + v \DP{\theta}{y} + \omega \DP{\theta}{z^{*}}
     &=& M_{\theta} + D_{\theta}
  \Deqlab{地形:熱力学の式}
  , \\
  \DP{q_{v}}{t} + u \DP{q_{v}}{x}
     + v \DP{q_{v}}{y}
     + \omega \DP{q_{v}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{v}} + D_{q_{v}}
  \Deqlab{地形:水蒸気混合比}
  , \\
  \DP{q_{c}}{t} + u \DP{q_{c}}{x}
     + v \DP{q_{c}}{y}
     + \omega \DP{q_{c}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{c}} + D_{q_{c}}
  , \\ 
  \DP{q_{r}}{t} + u \DP{q_{r}}{x}
     + v \DP{q_{r}}{y}
     + \omega \DP{q_{r}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{r}} + D_{q_{r}}
  \Deqlab{地形:雨水混合比}
 \end{eqnarray}
 と書ける.
 それぞれの方程式中の
 乱流項 $D_{\theta}, D_{q_{v}}, D_{q_{c}}, D_{q_{v}}$ は
 \ref{サブグリッドスケールの拡散} 節で,
 微物理項 $M_{\theta}, M_{q_{v}}, M_{q_{c}}, M_{q_{v}}$ は
 \ref{雲・降水の微物理過程} 節で述べる.

 密度は, 湿潤空気の状態方程式
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/c_{p}}}{\theta_{v}}
 \end{eqnarray}
 から診断的に得られる.

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\section{サブグリッドスケールの拡散}
\label{サブグリッドスケールの拡散}

 乾燥大気の場合と同様に, レイノルズ平均を用いて,
 グリッドスケールの運動とサブグリッドスケールの運動に分離する.
 直交直線座標系における運動方程式, 連続の式に対してレイノルズ
 平均操作を行うと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\overline{u}_{i}}{t}
  + \overline{u}_{j} \DP{\overline{u}_{i}}{x_{j}}
  + c_{p} \bar{\Theta}_{v}
    \DP{\overline{\pi}}{x_{i}}
   &=& \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\Theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{Q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
   \nonumber \\
    & & - \varepsilon_{i3k} f u_{k}
        - \DP{}{x_{j}}
          \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
  \Deqlab{平均:運動方程式}
 , \\
  \DP{\overline{\rho}}{t}
  + \DP{\overline{\rho u}_{i}}{x_{i}} &=& 0
  \Deqlab{平均:連続の式}
 \end{eqnarray}
 を得る.
 ただし上付バーの混同を避けるため本節でのみ,
 基本場での $\theta, \theta_{v}, q_{v}$ をそれぞれ
 $\bar{\Theta}, \bar{\Theta}_{v}, \bar{Q}_{v}$ と表す.

 また, 熱力学の式, 水蒸気・雲水・雨水の混合比の式に対しても
 同様な操作を行うと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\overline{\phi}}{t}
  + \overline{u_{j}} \DP{\overline{\phi}}{x_{j}}
  = - \DP{}{x_{j}}
      \overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}
  \Deqlab{平均:熱混合比方程式}
 .
 \end{eqnarray}
 ただし $\phi = \theta, q_{v}, q_{c}, q_{r}$ である.
 上式\Deqref{平均:熱混合比方程式}中の
 $- \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}
  \overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}$
 が, それぞれ式\Deqref{直線:熱力学の式}〜\Deqref{直線:混合比}
 の拡散項 $D_{\phi}$ である.

 \Deqref{平均:運動方程式}の右辺第3項に
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}},$
 \Deqref{平均:熱混合比方程式}の右辺に
 $\overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}$
 があるために,
 $\overline{u}_{i}, \overline{\pi},\overline{\theta},
  \overline{q}_{v}, \overline{q}_{c}, \overline{q}_{r}$
 に関して方程式系が閉じていない.
 方程式を閉じるために, 本数理モデルでは乾燥大気と同様に
 Klemp and Wilhelmson (1978) に従う.
 このとき
 $\overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}$ と
 $\overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}$ を
 以下のように仮定する:
 \begin{eqnarray}
  \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
     &=& - K_{m} \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)
         + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  , \\
  \overline{u_{j}^{\prime \prime} \phi^{\prime \prime}}
     &=& K_{h} \DP{\phi}{x_{j}}
  .
 \end{eqnarray}

\pagebreak
 $E, K_{m}$ および $K_{h}$ を求める.
 $E$ は以下の時間発展方程式から求められる:
 \begin{eqnarray}
    \DD{E}{t}
     &=& g
         \left\{- A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z}
                + K_{h} \left(1 - \gamma A\right)
                  \DP{q_{v}}{z}
                + K_{h} \DP{q_{c}}{z}\right\}
  \nonumber \\
     & & + 2 K_{m} \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)^{2}
         + \frac{1}{2} \, |\varepsilon_{ijk}| K_{m}
           \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & - \frac{3}{2} \delta_{ij} E
         \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)
         + \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}}\right)
                - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
                  E^{\frac{3}{2}}
  \Deqlab{地形:乱流運動エネルギー}
  , \\
  A &=& \frac{1}{\bar{\theta}}
        \left\{\frac{1 + \dfrac{1.61
                     \varepsilon L q_{v}}{R_{d} T}}
                    {1 + \dfrac{\varepsilon L^{2} q_{v}}
                              {c_{p} R_{d} T^{2}}}\right\}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし $\theta_{e}$ は相当温位,
 $\gamma = L/\left(c_{p} \bar{\Pi}\right),$
 $\theta_{e} = \theta \left(1 + L q_v/(c_{p} T)\right)$ である.

 $E$ が得られると, $K_{m}$ は\Deqref{EとKの関係式}
 から求められる.
 Deardorff (1975) によると $ C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$ である.
 CReSS (坪木ら, 2001) では $C_{\varepsilon} = 3.9$ (最下層),
 $C_{\varepsilon} = 0.93$ (それ以外), $C_{m} = 0.1$ としている.

 式\Deqref{地形:乱流運動エネルギー}を数値計算したとき
 $E$ が負になると扱いが困る.
 数値モデルでは,
 関係式\Deqref{KhとKmの関係式}と\Deqref{EとKの関係式}を用いて
 $K_{m}$ のみにした式を用いる:
 \begin{eqnarray}
  \DD{K_{m}}{t}
      &=& 3 g \left\{- A K_{m} \DP{\theta_{e}}{z}
	             + K_{m} \left(1 - \gamma A\right)
		     \DP{q_{v}}{z}
		     + K_{m} \DP{q_{c}}{z}\right\}
  \nonumber \\
     & & + 2 C_{m}^{2} l^{2} \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)^{2}
         + \frac{1}{2} \, |\varepsilon_{ijk}| C_{m}^{2} l^{2}
           \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)^{2}
	 - \frac{1}{3} \delta_{ij} K_{m}
	   \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)
  \nonumber \\
     & & + \frac{1}{2} \delta_{ij} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}\right)
	 + \delta_{ij}
	   \left(\DP{K_{m}}{x_{j}}\right)^{2}
	 - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2}
  \Deqlab{直線:運動量渦拡散係数の式}
  .
 \end{eqnarray}

 地形に沿った座標系における各方程式の拡散項は以下のようになる.
 $x, y, z$ 方向の運動方程式の拡散項は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
    D_{u} &=& 2 \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{x} + G^{13}
		         \DP{u}{z^{*}}\right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{y}
		         + \DP{v}{x}
		         + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  , \\
  D_{v} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	         \left(\DP{v}{x}
		       + \DP{u}{y}
		       + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		       + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		 \right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	             \left(\DP{v}{y}
		           + G^{23} \DP{v}{z^{*}}\right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{y}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		         + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  , \\
  D_{w} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
                \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
 	             \left(\DP{w}{y}
		           + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		           + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		     \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left(K_{m}
	             \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}
              \right)
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
 \end{eqnarray}
 となる.

 熱力学の式, 水蒸気・雲水・雨水混合比の式中の拡散項は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
    D_{\phi} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{\phi}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{\phi}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{\phi}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{\phi}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{\phi}{z^{*}}\right)
 \end{eqnarray}
 となる.

\pagebreak
 乱流運動エネルギー方程式は
 \begin{eqnarray}
    \DP{E}{t} &+& u \DP{E}{x}
      + v \DP{E}{y} + \omega \DP{E}{z^{*}}
  \nonumber \\
     &=& \frac{g}{G^{1/2}}
         \left\{- A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
                + K_{h} \left(1 - \gamma A\right)
                  \DP{q_{v}}{z^{*}}
                + K_{h} \DP{q_{c}}{z^{*}}\right\}
  \nonumber \\
     & & + 2 K_{m}
           \left\{\left(\DP{u}{x} + G^{13} \DP{u}{z^{*}}\right)^{2}
	          + \left(\DP{v}{y} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}\right)^{2}
                  + \left(\frac{1}{G^{1/2}}\DP{w}{z^{*}}\right)^{2}
           \right\}
  \nonumber \\
     & & + K_{m}
	   \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}
		         + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		         + G^{23} \DP{u}{z^{*}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
         + \left(\DP{w}{y} + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
	         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
	   \right)^{2}
  \nonumber \\
     & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
         + \left(\DP{w}{x} + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
	         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
	   \right)^{2}
           \Biggr\}
  \nonumber \\
     & & - \frac{2}{3} E
         \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
	       + G^{13} \DP{u}{z^{*}} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
	       + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
     & & + \left(\DP{}{x}
	         + G^{13} \DP{}{z^{*}}
	   \right)
	   \left(K_{h}\DP{E}{x}
		 + K_{h} G^{13}
		 \DP{E}{z^{*}}
	   \right)
  \nonumber \\
     & & + \left(\DP{}{y}
                 + G^{23} \DP{}{z^{*}}
	   \right)
           \left(K_{h}\DP{E}{y}
	        + K_{h} G^{23}
		  \DP{E}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
     & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
           \left(\frac{K_{m}}{G^{1/2}}
	         \DP{E}{z^{*}}\right)
         - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	   E^{\frac{3}{2}}
 \end{eqnarray}
 である.
\pagebreak
 運動量渦拡散係数に関する方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{K_{m}}{t}
     &=& - \left(u \DP{K_{m}}{x} + v \DP{K_{m}}{y}
		 + \omega \DP{K_{m}}{z^{*}}
	   \right)
            + \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{2 G^{1/2}}
	      \left(- A \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
	            + \DP{q_{l}}{z^{*}}
		  \right)
  \nonumber \\
            & & + C_{m}^{2} l^{2}
	          \Biggl\{\left(\DP{u}{x}
			        + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
		          + \left(\DP{v}{y}
			          + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
			     \right)^{2}
			  + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			          \DP{w}{z}
			    \right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2}
              	  \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
			        + \DP{u}{y} + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{6em}
		          + \left(\DP{w}{x} + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
			          + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z}
			    \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{6em}
			  + \left(\DP{w}{y} + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
			          + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z}
			    \right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & - \frac{K_{m}}{3}
		  \left(\DP{u}{x} + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
		        + \DP{v}{y} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
		        + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
	    & & + \frac{1}{2}
	          \Biggl\{\left(\DP{}{x}
			        + G^{13} \DP{}{z^{*}}
			  \right)
		          \left(\DP{K_{m}^{2}}{x}
			        + G^{13} \DP{K_{m}^{2}}{z^{*}}
			  \right)
  \nonumber \\
            & & \hspace*{5em}
			  + \left(\DP{}{y}
			          + G^{23} \DP{}{z^{*}}
			    \right)
		            \left(\DP{K_{m}^{2}}{y}
			          + G^{23} \DP{K_{m}^{2}}{z^{*}}
			    \right)
			  + \frac{1}{G^{1/2}}
			    \DP{}{z^{*}}
		 \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & + \left(\DP{K_{m}}{x}	
		        + G^{13} \DP{K_{m}}{z^{*}}
		  \right)^{2}
	        + \left(\DP{K_{m}}{y}
		        + G^{23} \DP{K_{m}}{z^{*}}
		  \right)^{2}
		+ \left(\frac{1}{G^{1/2}} \DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
  \nonumber \\
	    & & - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}
		  K_{m}^{2}
  \Deqlab{地形:運動量渦拡散係数}
 \end{eqnarray}
 となる.

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\section{雲・降水の微物理過程}
\label{雲・降水の微物理過程}

 水蒸気を含む空気塊が上昇すると, 水蒸気から雲水になり雲が
 形成され, さらに降水粒子へと成長すると降水が起こる.
 降水過程には暖かい雨と冷たい雨の 2 種類がある.
 暖かい雨は氷相過程を含まない降水過程である.
 このような雨をもらたす雲は全領域が $0^{\circ}{\rm C}$ 以上にあり,
 暖かい雲といわれる.
 冷たい雨は氷相過程を含む降水過程である.
 このような雨をもたらす雲は,全領域または一部が $0^{\circ}{\rm C}$ 
 以下にあり, 冷たい雲といわれる.
 氷相過程が含まれると方程式系が非常に複雑になるので, 
 本モデルでは暖かい雨のみを考える.

 暖かい雲のモデル化にはバルク法のパラメタリゼーションを用いる.
 このようなバルク法では, 水物質に関する予報変数として
 水蒸気混合比 $q_{v}$, 雲水混合比 $q_{c}$ および雨水混合比
 $q_{r}$ の 3 つを用いる.
 雲・降水の微物理過程が関係するのはこれら 3 つの混合比の式
 \Deqref{地形:水蒸気混合比}〜 \Deqref{地形:雨水混合比},
 および熱力学の式 \Deqref{地形:熱力学の式}である.
 直交直線座標系における方程式の雲・降水微物理過程に
 伴う生成・消滅項は, 以下のように記述される:
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta} &=& - \gamma
                 \left(\DD{q_{vs}}{t} + E_{r}\right)
  , \\
  M_{q_{v}} &=& \DD{q_{vs}}{t} + E_{r}
  , \\
  M_{q_{c}} &=& - \DD{q_{vs}}{t} - A_{r} - C_{r}
  , \\
  M_{q_{r}} &=& F_{r}
	      - E_{r} + A_{r} + C_{r}
  .
 \end{eqnarray}
 $q_{vs}, E_{r}, A_{r}, C_{r},F_{r}$ は以下で述べる.


 本モデルで考慮する雲・降水の微物理過程は以下の通りである
 (\Dfigref{微物理過程}).
 水蒸気が直接雨水になる凝結する過程は無視する.
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics{./images/bibutsuri.eps}
   \caption{考慮する微物理過程:
   凝結または蒸発による水蒸気から雲水間の変換,
   蒸発による雨水から水蒸気への変換,
   雲水から雨水への変換, 雨水の鉛直フラックスである.}
   \Dfiglab{微物理過程}
  \end{center}
 \end{figure}
 \begin{itemize}
  \item 凝結または蒸発による水蒸気から雲水間の変換:
	$\dfrac{d q_{vs}}{d t}$

	この変換を計算するときは, Soong and Ogura (1973) の
	湿潤飽和調節法 (\ref{湿潤飽和調節法}節参照) を用いる.
	$q_{vs}$ は飽和混合比であり, Tetens の公式を用いて,
	\begin{eqnarray}
	 q_{vs} = \frac{3.8}{\bar{p}}
	           \exp
		   \left(17.27
		   \frac{\bar{\Pi} \theta -273}
		        {\bar{\Pi} \theta -36}\right)
	\end{eqnarray}
	と表される.
  \item 蒸発による雨水から水蒸気への変換: $E_{r}$

	この変換は Ogura and Takahashi (1971) と同様に
	\begin{eqnarray}
	 E_{r} = \frac{1}{\bar{\rho}}
	         \frac{\left(1 - \dfrac{q_{v}}{q_{vs}}\right)
		 C \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.525}}
		 {5.4 \times 10^{5}
		 + \dfrac{2.55 \times 10^{6}}{\bar{p} q_{vs}}}
	\end{eqnarray}
	と表される.
	ただし $C$ は ventilation factor で
	 $C = 1.6
	     + 124.9 \left(\bar{\rho}q_{r}\right)^{0.2046}$
	である.
  \item 雲水から雨水への変換: $A_{r}, C_{r}$

	併合成長による変換 $A_{r}$ と衝突併合による変換 $C_{r}$
	は, Kessler (1969) のパラメタリゼーションを用いて
	\begin{eqnarray}
	 A_{r} &=& k_{1} \left(q_{c} - a\right)
	 , \\
	 C_{r} &=& k_{2} q_{c} q_{r}^{0.875}
	\end{eqnarray}
	と書ける.
	ただし $k_{1} = 0.001 ~ {\rm s^{-1}},$
	$ a = 0.001 ~ {\rm kg \, kg^{-1}},$
	$k_{2} = 2.2 ~ {\rm s^{-1}}$ である.
  \item 雨水の鉛直フラックス:  $F_{r}$
	\begin{eqnarray}
	 F_{r} = \frac{1}{\bar{\rho}}
	  \DP{}{z}
	  \left(\bar{\rho} V q_{r}\right)
	  .
	\end{eqnarray}
	$V$ は雨水の終端速度である.
	Soong and Ogura (1973) の終端速度に密度の変化を加えて
	\begin{eqnarray}
	 V = 36.34 \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.1346}
	  \left(\frac{\bar{\rho}}{\rho_{0}}\right)^{-\frac{1}{2}}
	\end{eqnarray}
	のように与えられる.
	ただし $\rho_{0}$ は基本場の地表面での密度である.
 \end{itemize}

 地形に沿った座標系における生成・消滅項は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta} &=& - \gamma
                 \left\{\DP{q_{vs}}{t} + u \DP{q_{vs}}{x}
		       + v \DP{q_{vs}}{y}
		       + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}
		       + E_{r}\right\}
  , \\
  M_{q_{v}} &=& \DP{q_{vs}}{t} + u \DP{q_{vs}}{x}
		       + v \DP{q_{vs}}{y}
		       + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}
		       + E_{r}
  , \\
  M_{q_{c}} &=& - \left(\DP{q_{vs}}{t}
		         + u \DP{q_{vs}}{x}
		         + v \DP{q_{vs}}{y}
                         + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}\right)
		- A_{r} - C_{r}
  , \\
  M_{q_{r}} &=& F_{r} - E_{r} + A_{r} +C_{r}
 \end{eqnarray}
 である.

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\newpage

\chapter{数値計算法}

 本章では空間微分と時間積分および計算不安定を抑える方法と,
 乾燥大気と湿潤大気における基礎方程式系の離散化について述べる.
 本数値モデルの数値計算法は以下のとおりである:
 \begin{itemize}
  \item 空間微分は有限差分法で,スタッガード格子.
  \item 時間微分は, 音波に関係する項を短い時間間隔で解き,
	それ以外の項を長い時間間隔で解く時間分割法.
	水平方向の運動方程式は陽解法, 鉛直方向の運動方程式と
	圧力方程式は陰解法.
  \item 移流項は 2 次精度の中心差分, 前進差分の数値粘性項を追加.
  \item 上下境界条件は $w = 0,$ 側面境界は周期境界条件.
 \end{itemize}

 
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\section{空間微分}
\label{空間微分}

 本モデルでは空間の表現を格子点法を用いる.
 空間微分は中心差分で離散化する.
 ただし後で述べる数値粘性項は前進差分で離散化する.

 格子点の構造と変数の配置を\Dfigref{変数の配置}と
 \Dfigref{全領域の変数の配置}に示す.
 変数はスタッガードに配置され, 水平方向を Arakawa C グリッド,
 鉛直方向を Lorenz グリッドとした.
 このとき, すべてのスカラー量 (気圧, 温位, 水蒸気混合比,
 雲水混合比, 雨水混合比) は格子ボックスの中心に配置される.
 ベクトル量の水平成分 (速度 $u, v$) は, 鉛直方向をスカラー量
 と同じレベルにして, $u$ を $x$ 負方向に半格子ずらし,
 $v$ を $y$ 負方向に半格子ずらす.
 ベクトル量の鉛直成分 $w$ は, 水平方向をスカラー量と同じ
 レベルにして, $z$ 負方向に半格子ずらす.
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics{./images/grid.eps}
   \caption{$(i,j,k)$ 番目の格子における変数のスタッガードな配置図.
   ベクトル量は半格子ずれ, スカラー量は格子の中心に配置される.}
   \Dfiglab{変数の配置}
  \end{center}
 \end{figure}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=14cm]{./images/allgrid.eps}
   \caption{全計算領域における変数の配置図.
   黒丸は半格子ずらしたベクトル量, ×印はスカラー量の位置を表す.
   計算領域の外の格子は境界における微分で必要な格子である.}
   \Dfiglab{全領域の変数の配置}
  \end{center}
 \end{figure}

 また, 座標変換に伴うヤコビアン $G^{1/2}$ および
 $G^{13}, G^{23}$ は以下のように配置される.
 $G^{1/2}$ は格子ボックスの中心に配置される.
 $G^{13}$ は, $u$ の定義点から $z$ 負方向に半格子ずらした
 点に配置される.
 $G^{23}$ は, $v$ の定義点からさらに $z$ 負方向に半格子
 ずらした点に配置される.
 座標 $x, y, z^{*}$ についても半格子ずらし, ベクトル量
 と同じ位置に配置される.

 このようなスタッガード格子を用いる場合, ある位置 $(i,j,k)$での
 値を求めるためには平均操作が必要である.
 この平均化のオペレータを以下のように定義する.

 任意のスカラー量の変数 $\phi$ を空間の $x$ 方向 (または $y, z^{*}$方向)
 に平均する.
 2 次精度の中心差分に現れる 2 点の平均は, 例えば,
 \begin{eqnarray}
  \overline{\phi}_{i, j, k}^{x}
     \equiv \frac{1}{2}
            \left(\phi_{i - \frac{1}{2}, j, k}
	          + \phi_{i + \frac{1}{2}, j, k}
	    \right)
 \end{eqnarray}
 とする.
 ただし下付添字 $i, j, k$ は側面からそれぞれ $x, y, z$ 方向に
 $i, j, k$ 番目の格子点であることを表す.

 平均化の添字が 2 つある場合, 例えば $x, z^{*}$ 方向の平均化は
 \begin{eqnarray}
  \overline{\phi}_{i, j, k}^{xz^{*}}
     \equiv \frac{1}{4}
            \left(\phi_{i - \frac{1}{2}, j, k - \frac{1}{2}}
	          + \phi_{i + \frac{1}{2}, j, k - \frac{1}{2}}
	          + \phi_{i - \frac{1}{2}, j, k + \frac{1}{2}}
	          + \phi_{i + \frac{1}{2}, j, k + \frac{1}{2}}
	    \right)
 \end{eqnarray}
 とする.

 微分オペレータは
 \begin{eqnarray}
  \left(\partial_{x} \phi\right)_{i, j, k}
     \equiv \frac{1}{\Delta x}
            \left(\phi_{i + \frac{\Delta x}{2}, j, k}
                   - \phi_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
	    \right)
 \end{eqnarray}
 と定義する.
 平均化オペレータと同様に, 下付添字 $i$ は側面から $i$ 番目
 の格子点であることを表し, ある方向 $x$の格子間隔を
 $\Delta x$ とする.

 2 階の微分オペレータは以下のように定義する:
 \begin{eqnarray}
  \left(\partial_{x}^{2} \phi\right)_{i, j, k}
      &\equiv& \frac{1}{\Delta x}
               \left(\frac{\phi_{i + \Delta x, j, k}
	                   - \phi_{i, j, k}}
		          {\Delta x}
		     - \frac{\phi_{i, j, k}
	                     - \phi_{i - \Delta x, j, k}}
		            {\Delta x}
	       \right)
  \nonumber \\
      &=& \frac{1}{\Delta x^{2}}
          \left(\phi_{i + \Delta x, j, k}
	        - 2 \phi_{i, j, k}
	        + \phi_{i - \Delta x, j, k}
          \right)
  .
 \end{eqnarray}

 直交直線座標での鉛直速度 $w$ と地形に沿う座標系における
 鉛直速度 $\omega$ を同じ点で定義する:
 \begin{eqnarray}
  \omega = \overline{\overline{u}^{z^{*}} G^{13}}^{x}
           + \overline{\overline{v}^{z^{*}} G^{23}}^{y}
	   + \frac{w}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
  .
 \end{eqnarray}


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%\newpage

\section{時間積分}
\label{時間積分}

 大気中には音波, 内部重力波やロスビー波が存在する.
 普通, 音波は気象学的に興味がない.
 数値計算を行う際音波が CFL 条件を決めるため, 時間間隔
 を非常に小さくしなければならないという問題が生じる.
 このような音波による問題を回避するために, 音波に関する
 項をとそれ以外の項を別の時間間隔で解く時間分割法
 (またはモード分離時間積分法) で解く.
 さらに音波に関する項は鉛直方向のみ陰解法 (鉛直陰解法)
 で解く.

 時間分割法 (\Dfigref{時間分割法})では, 音波に関係する
 項 $(u, v, w, \pi)$ を短い時間間隔 $\Delta \tau$ で解き,
 それ以外の項を長い時間間隔 $\Delta t$ で解く.
 ただし $\Delta t$ を $n$ 分割したものを $\Delta \tau$ とする:
 \begin{eqnarray}
  \Delta t = n \Delta \tau
  .
 \end{eqnarray}
 また, 音波を含む方程式中の音波に関係しない項を長い時間
 間隔で解き, $t$ から $t + \Delta t$ までは $t$ での値
 (一定値) を用いる.
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=12cm]{./images/timestep.eps}
   \caption{時間分割法の概念図.
   音波に関係しない量を長い時間間隔で, 音波に関係する量を
   短い時間間隔で解く.
   短い時間間隔で解いているとき, 音波に関係しない量は一定値である.}
   \Dfiglab{時間分割法}
  \end{center}
 \end{figure}


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%\newpage

\section{乾燥大気における基礎方程式系の離散化}
\label{乾燥大気の離散化}

 予報変数の $\tau + \Delta \tau, t + \Delta t$ に
 おける値を数値的に求めるために, 第\ref{乾燥大気}章に
 示した基礎方程式系を離散化する.
 \ref{音波減衰項}節と\ref{数値粘性項}節で述べたように,
 基礎方程式には計算不安定を抑えるために音波減衰項と数値粘性項を
 加えてある.

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%\pagebreak

\subsection{水平方向運動方程式}

 $(i, j, k)$  番目の格子について, 水平方向の運動方程式
 \Deqref{乾燥地形:x運動方程式}と\Deqref{乾燥地形:y運動方程式}を
 陽解法で離散化する.
 これら方程式中の音波に関係する項を短い時間間隔
 $\Delta \tau$ で, その他の項を長い時間間隔 $\Delta t$ で
 離散化する.

 式\Deqref{乾燥地形:x運動方程式}と\Deqref{乾燥地形:y運動方程式}は,
 それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
      - u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{4em}
        = - c_{p} \bar{\theta}
            \Biggl[\left\{\left(\partial_{x}\pi\right)
		          _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
			  - \alpha
			    \left(\partial_{x} Div\right)
			    _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
		   \right\}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  \hspace*{5em}
                  + \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		    \left\{
		           \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{\pi}^{xz^{*}}
			   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
			   - \alpha
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{Div}^{xz^{*}}
			     \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
		    \right\}^{\tau}
	    \Biggr]
  \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
          - {\rm Adv}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
          + {\rm Cori}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
	  + \left(D_{u}\right)
	    _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
	    ^{t - \Delta t}
  \Deqlab{乾燥:離散水平運動u}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{\tau + \Delta \tau}
        - v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
  \nonumber \\
  & & \hspace*{4em}
        = - c_{p} \bar{\theta}
            \Biggl[\left\{
		         \left(\partial_{y}\pi\right)
			 _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
			 - \alpha
			 \left(\partial_{x} Div\right)
			 _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
	          \right\}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  \hspace*{5em}
                  + \overline{G^{23}}^{z^{*}}
		    \left\{
		           \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{\pi}^{yz^{*}}
			   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
			   - \alpha
			   \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{Div}^{yz^{*}}
			   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
		    \right\}^{\tau}	
    \Biggr]
  \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
          - {\rm Adv}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
          + {\rm Cori}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
	  + \left(D_{v}\right)
	    _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
	    ^{t - \Delta t}
  \Deqlab{乾燥:離散水平運動v}
 \end{eqnarray}
 と離散化される.
 ただし
 \begin{eqnarray}
  Div_{i, j, k} &=& \left(\partial_{x} u\right)_{i, j, k}
                    + \left(\partial_{y} v\right)_{i, j, k}
          + \overline{G^{13}}_{i, j, k}^{xz^{*}}
	    \left(\partial_{z^{*}}
	          \overline{u}^{xz^{*}}
	    \right)_{i, j, k}
  \nonumber \\
      & & + \overline{G^{23}}_{i, j, k}^{yz^{*}}
	    \left(\partial_{z^{*}}
	          \overline{v}^{xz^{*}}
	    \right)_{i, j, k}
          + \frac{1}{G_{i, j, k}^{1/2}}
	    \left(\partial_{z^{*}} w\right)_{i, j, k}
 \end{eqnarray}
 であり, スカラー量と同じ位置にある.

 水平方向の運動方程式 \Deqref{乾燥:離散水平運動u}と
 \Deqref{乾燥:離散水平運動v}をそれぞれ数値計算すると,
 $u^{\tau + \Delta \tau}$ と $ v^{\tau + \Delta \tau}$ が得られる.

 長い時間間隔 $t$ で計算する項を離散化したものは
 以下のようになる.
 前述したように, これらの項は $t$ から $t + \Delta t$ まで
 の間, $t$ における値 (一定値)を用いて計算される.
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.u^{t}_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
     &=& \left(u \partial_{x}
	       \overline{u}^{x}
	 \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
         + \left(\overline{v}^{xy}
	         \partial_{y} \overline{u}^{y}
	   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\overline{\omega}^{xz^{*}}
	         \partial_{z^{*}} \overline{u}^{z^{*}}
	   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
         + {\rm Diff}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Adv}.v^{t}_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
     &=& \left(\overline{u}^{xy}
	       \partial_{x} \overline{v}^{x}
	 \right)_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
         + \left(v \partial_{y}
	         \overline{v}^{y}
	   \right)_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\overline{\omega}^{yz^{*}}
	         \partial_{z^{*}} \overline{v}^{z^{*}}
	   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
         + {\rm Diff}.v_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} u
	        + \partial_{y}^{2} u
	  \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
	  + \nu_{2v} 
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} u
	    \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Diff}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} v
	       + \partial_{y}^{2} v
	  \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
	  + \nu_{2v} 
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} v
	    \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 コリオリ項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Cori}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
      &=& \left[\overline{f \overline{v}^{y}}^{x}
	  \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Cori}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
      &=& \left[\overline{f \overline{u}^{x}}^{y}
	  \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 拡散項 (右辺の下付添字と上付添字 $t - \Delta t$ は省略した)は
 \begin{eqnarray}
  D_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
   &=& 2 \partial_{x}
            \left\{K_{m}
	         \left(\partial_{x} u\right)
	          + K_{m} \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		    \overline{u}^{z^{*}}\right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + \partial_{y}
              \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xy}
	            \left(\partial_{y} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xy}
		      \left(\partial_{x} v\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xy}
		                \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{u}^{yz{*}}
		      \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{4em}
	    + \overline{K_{m}}^{xy}
	      \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{xz^{*}}
		      \right)
	      \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \overline{G^{13}}^{z^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
              \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	            \left(\partial_{x}
		    \overline{u}^{xz^{*}}\right)
	          + \overline{K_{m}}^{xz^{*}} G^{13}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          u\right)
            \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{23}}^{xyz^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
              \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	             \left(\partial_{y}
		           \overline{u}^{yz^{*}}
		     \right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \partial_{x} \overline{v}^{yz^{*}}
  \nonumber \\
	& & \hspace*{7em}
	 + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \overline{G^{23}}^{xy}
		      \left(\partial_{z^{*}} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{xy}
		      \right)
		   \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{x}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	             \left(\partial_{x} w\right)
		    + \frac{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}}
		           {\overline{G^{1/2}}^{xz^{*}}}
		      \left(\partial_{z^{*}} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      G^{13}
		      \partial_{z^{*}} \overline{w}^{xz^{*}}
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x} K_{m}^{2}\right)
	             + \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
	             + \left(\partial_{y}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xy}
		       \right)
		     + \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{x}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
              \Biggr\}
  ,
 \end{eqnarray}
\pagebreak
 \begin{eqnarray} 
  D_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
       &=& \partial_{x}
	    \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xy}
	          \left(\partial_{x} v\right)
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \left(\partial_{y} u\right)
  \nonumber \\
       & & \hspace*{4em}
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{yz^{*}}
		    \right)
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		    \partial_{z^{*}}
		    \left(\overline{v}^{xz^{*}}\right)
	    \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \partial_{y}
	      \left\{K_{m} \left(\partial_{y} v\right)
	            + K_{m} \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{yz^{*}}\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{13}}^{xyz^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \Biggl\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	              \left(\overline{\partial_{x} v}^{xz^{*}}\right)
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{y} \overline{u}^{xz^{*}}\right)
  \nonumber \\
        & & \hspace*{8em}
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      G^{23} \left(\partial_{z^{*}}\right)
		      \overline{u}^{xy}
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      \overline{G^{13}}^{xy}
		      \left(\partial_{z^{*}} v\right)
	      \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \overline{G^{23}}^{z^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \left\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	              \left(\partial_{y} \overline{v}^{yz^{*}}\right)
	              + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		        G^{23} \left(\partial_{z^{*}} v\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xy}
		       \right)
	             + \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
	             + \left(\partial_{y} K_{m}^{2}\right)
		     + \overline{G^{23}}^{z^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{y}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
              \Biggr\}
  .
 \end{eqnarray}


%--------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{鉛直方向運動方程式と圧力方程式}

 鉛直方向の運動方程式\Deqref{乾燥地形:z運動方程式}と
 圧力方程式\Deqref{乾燥地形:圧力方程式}を陰解法で離散化する.
 これら方程式中の音波に関係する項を短い時間間隔
 $\Delta \tau$ で, その他の項を長い時間間隔 $\Delta t$ で
 離散化する.
 陰解法で離散化するために, $w, \pi$ は重み $\beta (\ne 0)$ を
 つけて $\tau$ と $\tau + \Delta \tau$ で平均をしたものを用いる. 
 本数値モデルでは $\beta = 1$ とする.

 鉛直方向の運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
         ^{\tau + \Delta \tau}
        - w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}}
       {\Delta \tau}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{2em}
     = \alpha
           \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}}
	              {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	   \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{3em}
	   - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}}
	                 {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	      \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	    \Biggl[\beta
	                  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
			  _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
			  ^{\tau + \Delta \tau}
		 + \left(1 - \beta\right)
	                  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
			  _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}
	    \Biggr]
  \nonumber \\
     & & \hspace*{3em}
         - {\rm Adv}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	 + {\rm Buoy}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	 + \left(D_{w}\right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	                     ^{t - \Delta t}
  ,
  \Deqlab{乾燥:離散鉛直運動}
 \end{eqnarray}
\pagebreak
 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{\pi_{i, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
      - \pi_{i, j, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
      &+& \frac{1}{G^{1/2}}
          \frac{\bar{c}^{2}}
               {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \Biggl\{\beta
	          \left(\partial_{z^{*}}
		       \bar{\rho} \bar{\theta} w
		  \right)_{i, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \bar{\rho} \bar{\theta} w
		    \right)_{i, j, k}^{\tau}
	  \Biggr\}
  \nonumber \\
     &=& - \frac{\bar{c}^{2}}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{i, j, k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{i, j, k}
	          + \overline{G^{13}}_{i, j, k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{i, j, k}
  \nonumber \\
     & & 
     \hspace*{11em}
		  + \overline{G^{23}}_{i, j, k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{i, j, k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \Deqlab{乾燥:離散圧力}
 \end{eqnarray}
 となる.

 長い時間間隔 $t$ で計算する項について離散化したものを書き下す.
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.w^{t}_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
     &=& \left(\overline{u}^{xz^{*}}
               \partial_{x} \overline{w}^{x}
	 \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
         + \left(\overline{v}^{yz^{*}}
	         \partial_{y} \overline{w}^{y}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\omega \partial_{z^{*}}
	        \overline{w}^{z^{*}}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
         + {\rm Diff}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} w
	        + \partial_{y}^{2} w
	  \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	  + \nu_{2v}
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} w
	    \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 浮力項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Buoy}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
     = g \left[\overline{\frac{\theta}
	                {\bar{\theta}}}^{z^{*}}
	       - 1
	  \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 拡散項 (右辺の下付添字と上付添字 $t - \Delta t$ は省略) は
 \begin{eqnarray}
  D_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
        &=& \partial_{x}
            \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	           \left(\partial_{x} w\right)
	           + \frac{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}}
		          {\overline{G^{1/2}}^{xz^{*}}}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{u}^{xz^{*}}
		     \right)
		   + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		     G^{13}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{w}^{xz^{*}}
		     \right)
	    \right\}
  \nonumber \\
	& & + \partial_{y}
 	      \left\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	             \left(\partial_{y} w\right)
		     + \frac{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}}
		            {\overline{G^{1/2}}^{yz^{*}}}
		       \left(\partial_{z^{*}} v\right)
		     + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		       G^{23}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{w}^{yz^{*}}
		       \right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{13}}^{x}
	      \partial_{z^{*}}
            \left\{K_{m}
	           \left(\partial_{x}
		         \overline{w}^{xz^{*}}
		   \right)
	           + \frac{K_{m}}{G^{1/2}}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{u}^{xz^{*}}
		     \right)
		   + K_{m} \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
		     \left(\partial_{z^{*}} w\right)
	    \right\}
  \nonumber \\
	& & + \overline{G^{23}}^{y}
	      \partial_{z^{*}}
 	      \left\{K_{m}
	             \left(\partial_{y}
		           \overline{w}^{yz^{*}}
		     \right)
		     + \frac{K_{m}}{G^{1/2}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{v}^{yz^{*}}
		       \right)
		     + K_{m} \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}} w\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{2}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	      \partial_{z^{*}}
              \left\{\frac{K_{m}}{G^{1/2}}
	            \left(\partial_{z^{*}} w\right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
	             + \overline{G^{13}}^{x}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{4em}
	             + \left(\partial_{y}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
		     + \overline{G^{23}}^{y}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
              \Biggr\}
  .
  \end{eqnarray}

 式\Deqref{乾燥:離散鉛直運動}と\Deqref{乾燥:離散圧力}から直接
 $w^{\tau + \Delta \tau}, \pi^{\tau + \Delta \tau}$ を
 求めることはできない.
 これら 2 式を連立して $w^{\tau + \Delta \tau}$を消去し,
 $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ を求め, 式\Deqref{乾燥:離散鉛直運動}
 から $w^{\tau + \Delta \tau}$ を求める.

 以下で具体的に連立する.
 ここからは予報変数毎に格子番号をつけ,  $i,j$ を省略する.
 また $w$ と同じ位置にある $(i,j,k)$ 番目の変数を
 $w_{w(k)}$ などと表す.
 離散化した鉛直方向の運動方程式式\Deqref{乾燥:離散鉛直運動}より,
 \begin{eqnarray}
  w_{w(k)}^{\tau + \Delta \tau}
     &=& w_{w(k)}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)_{w(k)}
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	          _{w(k)}^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
		  _{w(k)}^{\tau}
	   \right\}
  \nonumber \\
       & & + F.w_{w(k)}^{t} \Delta \tau
	   - \beta
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
	              {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)_{w(k)}
	   \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	   _{w(k)}
	   ^{\tau + \Delta \tau}
 \Deqlab{乾燥:離散鉛直運動2}
  , \\
  F.w_{w(k)}^{t}
        &=& - {\rm Adv}.w_{w(k)}^{t}
            + {\rm Buoy}.w_{w(k)}^{t}
	    + \left(D_{w}\right)_{w(k)}
	      ^{t - \Delta t}
  .
 \end{eqnarray}
 離散化した圧力方程式\Deqref{離散圧力}より, 
 \begin{eqnarray}
  \pi_{k}^{\tau + \Delta \tau}
      &+& \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{k}^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      &=& \pi_{k}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{k}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{k}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{6em}
	          + \overline{G^{13}}_{k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{k}
		  + \overline{G^{23}}_{k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
 \end{eqnarray}
 である.

 \Deqref{乾燥:離散鉛直運動2}を代入して $w^{\tau + \Delta \tau}$ を
 消去すると, 
 \begin{eqnarray}
  \pi_{k}^{\tau + \Delta \tau}
      &-& \beta^{2}
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left[\partial_{z^{*}}
	        \left\{\left(\frac{\bar{\rho}
			           \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
			\right)
		        \left(\partial_{z^{*}} \pi\right)
		\right\}
	  \right]_{k}^{\tau + \Delta \tau} 
 \nonumber \\
      &=& \pi_{k}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{k}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{k}
	          + \overline{G^{13}}_{k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{k}
		  + \overline{G^{23}}_{k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{14em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{w(k)}
  \Deqlab{乾燥:圧力の式}
  .
 \end{eqnarray}
 左辺について $z^{*}$ 方向の微分をオペレータなしで書き下すと,
 \begin{eqnarray}
  {\rm (左辺)} &=& \pi_{k}^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
         & & - \beta^{2}
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{1em}
	   \times
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	  \Biggl[\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                   {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
	        \frac{1}{\Delta z^{*}}
		\left(\pi_{k+1} - \pi_{k}\right)
  \nonumber \\
       & & \hspace*{6em}
		- \left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                      {G^{1/2}}
		  \right)_{w(k)}
	          \frac{1}{\Delta z^{*}}
		  \left(\pi_{k} - \pi_{k-1}\right)
	  \Biggr]^{\tau + \Delta \tau} 
  \nonumber \\
        &=& \pi_{k}^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
         & & - \beta^{2}
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	   \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{1em}
	   \times
	  \Biggl[\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                   {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
	        \pi_{k+1}
		- \left\{\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                   {G^{1/2}}
		       \right)_{w(k+1)}
		       + \left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                            {G^{1/2}}
			 \right)_{w(k)}
		\right\}
		\pi_{k}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{8em}
		+ \left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                      {G^{1/2}}
		  \right)_{w(k)}
		  \pi_{k-1}
	  \Biggr]^{\tau + \Delta \tau} 
  .
 \end{eqnarray}
 
 本数値モデルにおける上部と下部の境界条件は, それぞれ
 \begin{eqnarray}
  \omega &=& 0 \hspace{7em} (z^{*} = H; k = km + 1)
  , \\
  \omega &=& u \DP{z_{s}}{x} + v \DP{z_{s}}{y}
    \hspace{2em} (z^{*} = 0; k = 0)
 \end{eqnarray}
 とする.
 上部境界における鉛直方向の運動方程式を離散化したものは
 \begin{eqnarray}
	   \beta
	   \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	   _{w(km+1)}
	   ^{\tau + \Delta \tau}
     &=& \alpha
         \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	 _{w(km+1)}^{\tau}
	 - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	   _{w(km+1)}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(km+1)}
  .
 \end{eqnarray}
 このときの圧力方程式は
 \begin{eqnarray*}
  {\rm (左辺)} &=& \pi_{km}^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
         & & + \beta^{2}
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km}
	   \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
	  \Biggl[\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                      {G^{1/2}}
		  \right)_{w(km)}
		  \left(\pi_{km} - \pi_{km-1}\right)
	  \Biggr]^{\tau + \Delta \tau} 
 \end{eqnarray*}
\pagebreak
 \begin{eqnarray}
  {\rm (右辺)} &=& \pi_{km}^{\tau}
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{km}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{km}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{km}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{km}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{km}
		  + \overline{G^{23}}_{km}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{km}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{km}
  \nonumber \\
         & & + \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(km+1)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(km+1)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(km+1)}^{\tau}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{12em}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(km+1)}
	   \Biggr\}
 \end{eqnarray}
 である.
 また, 下部境界における鉛直方向の運動方程式を離散化したものは
 \begin{eqnarray}
	   \beta
	   \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	   _{w(0)}
	   ^{\tau + \Delta \tau}
     &=& \alpha
         \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	 _{w(0)}^{\tau}
	 - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	   _{w(0)}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(0)}
  .
 \end{eqnarray}
 このときの圧力方程式は
 \begin{eqnarray*}
  {\rm (左辺)} &=& \pi_{0}^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
         & & - \beta^{2}
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
	   \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
	  \Biggl[\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                      {G^{1/2}}
		  \right)_{w(1)}
	  \left(\pi_{1} - \pi_{0}\right)
	  \Biggr]^{\tau + \Delta \tau} 
 \end{eqnarray*}
\pagebreak
 \begin{eqnarray}
  {\rm (右辺)} &=& \pi_{0}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{0}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{0}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{0}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{1}
		  + \overline{G^{23}}_{0}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{0}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{0}
  \nonumber \\
         & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{1}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(0)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(0)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(0)}^{\tau}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(0)}
	   \Biggr\}
 \end{eqnarray}
 である.

 これらの式は以下のように行列を用いてまとめて書くことができる:
 \begin{eqnarray}
  \left(\begin{array}{cccc}
          A_{0} & B_{0}  &        &   0      \\ 
	  C_{0} & \ddots & \ddots &          \\
	        & \ddots & \ddots & B_{km-1}   \\
	    0   &        & C_{km-1} & A_{km} \\
	\end{array}
  \right)
  \left(\begin{array}{cccc}
          \pi_{0} & \pi_{0}  & \cdots & \pi_{0} \\
	  \pi_{1} & \ddots    & \ddots & \vdots        \\
	  \vdots   &           & \ddots & \vdots        \\
	  \pi_{km} & \cdots & \cdots & \pi_{km} \\
	\end{array}
  \right)^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
  = 
  \left(\begin{array}{cccc}
          D_{0} & D_{0}  & \cdots & D_{0} \\
	  D_{1} & \ddots    & \ddots & \vdots        \\
	  \vdots   &           & \ddots & \vdots        \\
	  D_{km} & \cdots & \cdots & D_{km} \\
	\end{array}
  \right)^{\tau}
  .
 \end{eqnarray}
 この連立 1 次方程式の係数行列は 3 項行列なので, LU 分解を
 行って計算すると大幅に計算量を減らすことができる.
 こうして求められた $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ と鉛直方向の
 運動方程式\Deqref{乾燥:離散鉛直運動}から
 $w^{\tau + \Delta \tau}$ を求める.
 ただし
 \begin{eqnarray}
  A_{k} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
		\right)_{k}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left\{\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		       \right)_{w(k+1)}
		       + \left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                            {G^{1/2}}
			 \right)_{w(k)}
		\right\}
  , \nonumber \\
        & & \hspace*{4em} (k = 1,3, \cdots, km-1)
  , \nonumber \\
  A_{0} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
		\right)_{0}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(1)}
  , \nonumber \\
  A_{km} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
		\right)_{km}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(km)}
  , \nonumber \\
  B_{k} &=& - \beta^{2}
            \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	          \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
	               {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	    \right)_{k}
	    \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
  , \nonumber \\
  C_{k} &=& - \beta^{2}
            \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	          \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
	               {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	    \right)_{k+1}
	    \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  D_{k}       &=& \pi_{k}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{k}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{k}
	          + \overline{G^{13}}_{k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{k}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{14em}
		  + \overline{G^{23}}_{k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{k}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{k}
  , \nonumber \\
        & & \hspace*{4em} (k = 1,3, \cdots, km-3)
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  D_{0} &=& \pi_{0}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{0}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{0}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{0}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{0}
		  + \overline{G^{23}}_{1}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{0}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{0}
  \nonumber \\
         & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{0}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(0)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(0)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(0)}^{\tau}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(0)}
	   \Biggr\}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  D_{km-2} &=& \pi_{km-2}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km-2}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta} w\right)
	  \right\}_{km-2}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{km-2}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{km-2}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{km}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{km-2}
		  + \overline{G^{23}}_{km}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{km-2}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km-2}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{km-2}
  \nonumber \\
         & & + \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}^{2}}
	  \right)_{km-2}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(km-1)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(km-1)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(km-1)}^{\tau}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{12em}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(km-1)}
	   \Biggr\}
 \end{eqnarray}


%--------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{熱力学の式}

 熱力学の式\Deqref{乾燥地形:熱力学の式}を
 中心差分で離散化する.
 時間間隔は長い時間間隔 $\Delta t$ である.
 本節では変数の下付添字 $i, j, k$ を省略する.

 熱力学の式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{\theta^{t + \Delta t}
      - \theta^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
      = - {\rm Adv}.\theta^{t}
        + D_{\theta}^{t - \Delta t}
  \Deqlab{乾燥離散:熱力学の式}
  .
 \end{eqnarray}

 となる.

 前節までに求めた  $u^{\tau + \Delta \tau},$
 $v^{\tau + \Delta \tau}, w^{\tau + \Delta \tau}$
 および $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ を用いると
 $\theta^{\tau + \Delta \tau}$ を求めることができる.
 \ref{時間フィルタ}節で述べたような計算不安定モードを
 抑えるため, Asselin (1972) の時間フィルタ を用いる.

 上式\Deqref{乾燥離散:熱力学の式}中の各項は以下のように
 離散化される;
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.\theta^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} \theta}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} \theta}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  \theta}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	  + {\rm Diff}.\theta^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.\theta^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} \theta
	        + \partial_{y}^{2} \theta
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} \theta\right]^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 拡散項は
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta}^{t - \Delta t} &=& 3 \partial_{x}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{x}
		        \left(\partial_{x} \theta\right)
		        + \overline{K_{m}}^{x}
			  \overline{G^{13}}^{z^{*}}
			  \left(\partial_{z^{*}}
			        \overline{\theta}^{xz^{*}}
			  \right)
	         \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \partial_{y}
                     \left\{\overline{K_{m}}^{y}
		            \left(\partial_{y} \theta\right)
		           + \overline{K_{m}}^{y}
			     \overline{G^{23}}^{z^{*}}
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{\theta}^{yz^{*}}
			     \right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		        \left(\partial_{x}
			      \overline{\theta}^{xz^{*}}
		        \right)
		       + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		         \overline{G^{13}}^{x}
			 \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		 \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
		   \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		          \left(\partial_{y}
			        \overline{\theta}^{yz^{*}}
			  \right)
		          + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			    \overline{G^{23}}^{y}
			    \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + \frac{3}{G^{1/2}} \partial_{z^{*}}
	           \left\{\frac{K_{m}}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		          \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		   \right\}^{t - \Delta t}
 \end{eqnarray}
 となる.

%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\subsection{サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式}

 サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式を
 運動量渦拡散係数で書き換えた式\Deqref{地形:運動量渦拡散係数}は
 長い時間間隔 $t$ で計算される.
 ここでは変数の下付添字 $i, j, k$ は省略する.

\pagebreak
 \begin{eqnarray}
  \frac{K_{m}^{t + \Delta t} - K_{m}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     &=& - {\rm Adv}.K_{m}^{t}
            + \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{2 G^{1/2} \bar{\theta}}
		  \left(- \partial_{z^{*}}
		          \overline{\theta}^{z^{*}}
		    \right)^{t}
  \nonumber \\
            & & + C_{m}^{2} l^{2}
	          \Bigg\{\left(\partial_{x} u
			        + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			   \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			   + \left(\partial_{y} v
			           + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				     \partial_{z^{*}}
				     \overline{v}^{yz^{*}}
			     \right)^{2}
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \partial_{z^{*}} w
			     \right)^{2}
		   \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
            & & + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2}
	            \Biggl\{\left(\partial_{x}
			          \overline{v}^{xy}
			        + \partial_{y}
			          \overline{u}^{xy}
				+ \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{v}^{yz^{*}}
				+ \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			+ \left(\partial_{x} w
				+ \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}} w
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			+ \left(\partial_{y}
			        \overline{w}^{yz^{*}}
				+ \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				  \partial_{z^{*}} w
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{v}^{yz^{*}}
			  \right)^{2}
	        \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
	    & & + \frac{1}{2}
                   \Biggl\{\partial_{x}^{2} K_{m}^{2}
                          + \partial_{x}
                            \left(\overline{G^{13}}^{z^{*}}
                                  \partial_{z^{*}}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{6em}
                          + \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{13}}^{x}
                                  \partial_{x}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
                            \right)
                          + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{13}}^{x}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{4em}
                          + \partial_{y}^{2} K_{m}^{2}
                          + \partial_{y}
                            \left(\overline{G^{23}}^{z^{*}}
                                  \partial_{z^{*}}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{6em}
                          + \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{23}}^{y}
                                  \partial_{y}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
                            \right)
                          + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{23}}^{y}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
  \nonumber \\
        & & \hspace*{4em}
                          + \frac{1}{G^{1/2}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{\frac{1}{G^{1/2}}}^{*}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
             \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
          & & + \Biggl\{\left(\partial_{x}
		             \overline{K_{m}}^{x}
			     + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
			       \partial_{z^{*}}
			       \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		       \right)^{2}
  \nonumber \\
           & & \hspace*{6em}
	               + \left(\partial_{y}
		               \overline{K_{m}}^{y}
			       + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
			         \partial_{z^{*}}
				 \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			 \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{12em}
	                + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			        \partial_{z^{*}}
				\overline{K_{m}}^{z^{*}}
			  \right)^{2}
		\Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
	    & & - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}
		  K_{m}^{2}
 \end{eqnarray}
 となる.
 移流項と数値粘性項はそれぞれ以下のようになる:
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.K_{m}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} K_{m}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} K_{m}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  K_{m}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	  + {\rm Diff}.K_{m}^{t}
  , \\
    {\rm Diff}.K_{m}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} K_{m}
	        + \partial_{y}^{2} K_{m}
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} K_{m}\right]^{t}
  .
 \end{eqnarray}


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\section{湿潤大気における基礎方程式系の離散化}

 予報変数の $\tau + \Delta \tau, t + \Delta t$ での
 値を求めるために, 付録\ref{湿潤大気の定式化}章で求めた
 湿潤大気における基礎方程式系を離散化する.
 \ref{音波減衰項}節と\ref{数値粘性項}節で述べたように,
 基礎方程式には計算不安定を抑えるために音波減衰項と数値粘性項を
 加えてある.

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\subsection{水平方向運動方程式}

 $(i, j, k)$  番目の格子について, 水平方向の運動方程式
 \Deqref{地形:x運動方程式}と\Deqref{地形:y運動方程式}を
 陽解法で離散化する.
 これら方程式中の音波に関係する項は,
 短い時間間隔 $\Delta \tau$ で離散化される.

 式\Deqref{地形:x運動方程式}と\Deqref{地形:y運動方程式}は,
 それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
      - u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
  \nonumber \\
     & & \hspace*{4em}
        = - c_{p} \bar{\theta}_{v}
            \Biggl[\left\{\left(\partial_{x}\pi\right)
		          _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
			  - \alpha
			    \left(\partial_{x} Div\right)
			    _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
		   \right\}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  \hspace*{5em}
                  + \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		    \left\{
		           \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{\pi}^{xz^{*}}
			   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
			   - \alpha
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{Div}^{xz^{*}}
			     \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
		    \right\}^{\tau}
	    \Biggr]
  \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
          - {\rm Adv}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
          + {\rm Cori}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
	  + \left(D_{u}\right)
	    _{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
	    ^{t - \Delta t}
  \Deqlab{離散水平運動u}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{\tau + \Delta \tau}
        - v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
  \nonumber \\
  & & \hspace*{4em}
        = - c_{p} \bar{\theta}_{v}
            \Biggl[\left\{
		         \left(\partial_{y}\pi\right)
			 _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
			 - \alpha
			 \left(\partial_{x} Div\right)
			 _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
	          \right\}^{\tau}
  \nonumber \\
      & &  \hspace*{5em}
                  + \overline{G^{23}}^{z^{*}}
		    \left\{
		           \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{\pi}^{yz^{*}}
			   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
			   - \alpha
			   \left(\partial_{z^{*}}
			         \overline{Div}^{yz^{*}}
			   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
		    \right\}^{\tau}	
    \Biggr]
  \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
          - {\rm Adv}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
          + {\rm Cori}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
	  + \left(D_{v}\right)
	    _{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
	    ^{t - \Delta t}
  \Deqlab{離散水平運動v}
 \end{eqnarray}
 と離散化される.
 ただし
 \begin{eqnarray}
  Div_{i, j, k} &=& \left(\partial_{x} u\right)_{i, j, k}
                    + \left(\partial_{y} v\right)_{i, j, k}
          + \overline{G^{13}}_{i, j, k}^{xz^{*}}
	    \left(\partial_{z^{*}}
	          \overline{u}^{xz^{*}}
	    \right)_{i, j, k}
  \nonumber \\
      & & + \overline{G^{23}}_{i, j, k}^{yz^{*}}
	    \left(\partial_{z^{*}}
	          \overline{v}^{xz^{*}}
	    \right)_{i, j, k}
          + \frac{1}{G_{i, j, k}^{1/2}}
	    \left(\partial_{z^{*}} w\right)_{i, j, k}
 \end{eqnarray}
 であり, スカラー量と同じ位置にある.

 水平方向の運動方程式 \Deqref{離散水平運動u}と
 \Deqref{離散水平運動v}を計算すると,
 $u^{\tau + \Delta \tau}$ と $ v^{\tau + \Delta \tau}$ が得られる.

 長い時間間隔 $t$ で計算する項を離散化したものは
 以下のようになる.
 前述したように, これらの項は $t$ から $t + \Delta t$ まで
 の間, $t$ における値 (一定値)を用いて計算される.
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.u^{t}_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
     &=& \left(u \partial_{x}
	       \overline{u}^{x}
	 \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
         + \left(\overline{v}^{xy}
	         \partial_{y} \overline{u}^{y}
	   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\overline{\omega}^{xz^{*}}
	         \partial_{z^{*}} \overline{u}^{z^{*}}
	   \right)_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
         + {\rm Diff}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Adv}.v^{t}_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
     &=& \left(\overline{u}^{xy}
	       \partial_{x} \overline{v}^{x}
	 \right)_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
         + \left(v \partial_{y}
	         \overline{v}^{y}
	   \right)_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\overline{\omega}^{yz^{*}}
	         \partial_{z^{*}} \overline{v}^{z^{*}}
	   \right)_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
         + {\rm Diff}.v_{i, j - \frac{\Delta x}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} u
	        + \partial_{y}^{2} u
	  \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
	  + \nu_{2v} 
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} u
	    \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Diff}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} v
	       + \partial_{y}^{2} v
	  \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
	  + \nu_{2v} 
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} v
	    \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 コリオリ項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Cori}.u_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
      &=& \left[\overline{f \overline{v}^{y}}^{x}
	  \right]_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}^{t}
  , \\
  {\rm Cori}.v_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
      &=& \left[\overline{f \overline{u}^{x}}^{y}
	  \right]_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
\pagebreak
 拡散項 (右辺の下付添字と上付添字 $t - \Delta t$ は省略した)は
 \begin{eqnarray}
  D_{i - \frac{\Delta x}{2}, j, k}
   &=& 2 \partial_{x}
            \left\{K_{m}
	         \left(\partial_{x} u\right)
	          + K_{m} \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		    \overline{u}^{z^{*}}\right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + \partial_{y}
              \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xy}
	            \left(\partial_{y} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xy}
		      \left(\partial_{x} v\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xy}
		                \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{u}^{yz{*}}
		      \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{4em}
	    + \overline{K_{m}}^{xy}
	      \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{xz^{*}}
		      \right)
	      \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \overline{G^{13}}^{z^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
              \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	            \left(\partial_{x}
		    \overline{u}^{xz^{*}}\right)
	          + \overline{K_{m}}^{xz^{*}} G^{13}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          u\right)
            \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{23}}^{xyz^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
              \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	             \left(\partial_{y}
		           \overline{u}^{yz^{*}}
		     \right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \partial_{x} \overline{v}^{yz^{*}}
  \nonumber \\
	& & \hspace*{7em}
	 + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \overline{G^{23}}^{xy}
		      \left(\partial_{z^{*}} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{xy}
		      \right)
		   \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{x}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	             \left(\partial_{x} w\right)
		    + \frac{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}}
		           {\overline{G^{1/2}}^{xz^{*}}}
		      \left(\partial_{z^{*}} u\right)
		    + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		      G^{13}
		      \partial_{z^{*}} \overline{w}^{xz^{*}}
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x} K_{m}^{2}\right)
	             + \overline{G^{13}}^{z^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
	             + \left(\partial_{y}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xy}
		       \right)
		     + \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{x}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
              \Biggr\}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray} 
  D_{i, j - \frac{\Delta y}{2}, k}
       &=& \partial_{x}
	    \Biggl\{\overline{K_{m}}^{xy}
	          \left(\partial_{x} v\right)
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \left(\partial_{y} u\right)
  \nonumber \\
       & & \hspace*{4em}
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \overline{G^{23}}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{yz^{*}}
		    \right)
		  + \overline{K_{m}}^{xy}
		    \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		    \partial_{z^{*}}
		    \left(\overline{v}^{xz^{*}}\right)
	    \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \partial_{y}
	      \left\{K_{m} \left(\partial_{y} v\right)
	            + K_{m} \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{z^{*}}
		            \overline{v}^{yz^{*}}\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{13}}^{xyz^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \Biggl\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	              \left(\overline{\partial_{x} v}^{xz^{*}}\right)
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      \left(\partial_{y} \overline{u}^{xz^{*}}\right)
  \nonumber \\
        & & \hspace*{8em}
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      G^{23} \left(\partial_{z^{*}}\right)
		      \overline{u}^{xy}
		    + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		      \overline{G^{13}}^{xy}
		      \left(\partial_{z^{*}} v\right)
	      \Biggr\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \overline{G^{23}}^{z^{*}}
	      \partial_{z^{*}}
	      \left\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	              \left(\partial_{y} \overline{v}^{yz^{*}}\right)
	              + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		        G^{23} \left(\partial_{z^{*}} v\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xy}
		       \right)
	             + \overline{G^{13}}^{yz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
	             + \left(\partial_{y} K_{m}^{2}\right)
		     + \overline{G^{23}}^{z^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{6em}
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{y}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
              \Biggr\}
  .
 \end{eqnarray}


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\subsection{鉛直方向運動方程式と圧力方程式}

 鉛直方向の運動方程式\Deqref{地形:z運動方程式}と
 圧力方程式\Deqref{地形:圧力方程式}を陰解法で離散化する.
 これら方程式は短い時間間隔 $\Delta \tau$ で離散化される.
 鉛直陰解法では $w, \pi$ は重み $\beta (\ne 0)$ をつけて
 $\tau$ と $\tau + \Delta \tau$ で平均をしたものを用いる. 

 鉛直方向の運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  & & \frac{w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
         ^{\tau + \Delta \tau}
        - w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}}
       {\Delta \tau}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{2em}
     = \alpha
           \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	              {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	   \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}
  \nonumber \\
       & & \hspace*{3em}
	   - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	                 {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	      \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	    \Biggl[\beta
	                  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
			  _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
			  ^{\tau + \Delta \tau}
		 + \left(1 - \beta\right)
	                  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
			  _{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{\tau}
	    \Biggr]
  \nonumber \\
     & & \hspace*{3em}
         - {\rm Adv}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	 + {\rm Buoy}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	 + \left(D_{w}\right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
	                     ^{t - \Delta t}
  ,
  \Deqlab{離散鉛直運動}
 \end{eqnarray}
 圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{\pi_{i, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
      - \pi_{i, j, k}^{\tau}}{\Delta \tau}
      &+& \frac{1}{G^{1/2}}
          \frac{\bar{c}^{2}}
               {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \Biggl\{\beta
	          \left(\partial_{z^{*}}
		       \bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w
		  \right)_{i, j, k}^{\tau + \Delta \tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w
		    \right)_{i, j, k}^{\tau}
	  \Biggr\}
  \nonumber \\
     &=& - \frac{\bar{c}^{2}}
	        {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{i, j, k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{i, j, k}
	          + \overline{G^{13}}_{i, j, k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{i, j, k}
  \nonumber \\
     & & 
     \hspace*{11em}
		  + \overline{G^{23}}_{i, j, k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{i, j, k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \Deqlab{離散圧力}
 \end{eqnarray}
 となる.

 長い時間間隔 $t$ で計算する項について離散化したものを書き下す.
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.w^{t}_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
     &=& \left(\overline{u}^{xz^{*}}
               \partial_{x} \overline{w}^{x}
	 \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
         + \left(\overline{v}^{yz^{*}}
	         \partial_{y} \overline{w}^{y}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  \nonumber \\
     & & + \left(\omega \partial_{z^{*}}
	        \overline{w}^{z^{*}}
	   \right)_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
         + {\rm Diff}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} w
	        + \partial_{y}^{2} w
	  \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
	  + \nu_{2v}
	    \left[\partial_{z^{*}}^{2} w
	    \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 浮力項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Buoy}.w_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
     = g \left[\overline{\frac{\theta}
	                {\bar{\theta}}}^{z^{*}}
	       - 1 + 0.61
	       \left(\overline{q_{v}}^{z^{*}}
		- \overline{\bar{q}_{v}}^{z^{*}}\right)
	       - \overline{q_{c}}^{z^{*}}
	       - \overline{q_{r}}^{z^{*}}
	  \right]_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 拡散項 (右辺の下付添字と上付添字 $t - \Delta t$ は省略) は
 \begin{eqnarray}
  D_{i, j, k - \frac{\Delta z^{*}}{2}}
        &=& \partial_{x}
            \left\{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}
	           \left(\partial_{x} w\right)
	           + \frac{\overline{K_{m}}^{xz^{*}}}
		          {\overline{G^{1/2}}^{xz^{*}}}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{u}^{xz^{*}}
		     \right)
		   + \overline{K_{m}}^{xz^{*}}
		     G^{13}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{w}^{xz^{*}}
		     \right)
	    \right\}
  \nonumber \\
	& & + \partial_{y}
 	      \left\{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}
	             \left(\partial_{y} w\right)
		     + \frac{\overline{K_{m}}^{yz^{*}}}
		            {\overline{G^{1/2}}^{yz^{*}}}
		       \left(\partial_{z^{*}} v\right)
		     + \overline{K_{m}}^{yz^{*}}
		       G^{23}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{w}^{yz^{*}}
		       \right)
	      \right\}
  \nonumber \\
        & & + \overline{G^{13}}^{x}
	      \partial_{z^{*}}
            \left\{K_{m}
	           \left(\partial_{x}
		         \overline{w}^{xz^{*}}
		   \right)
	           + \frac{K_{m}}{G^{1/2}}
		     \left(\partial_{z^{*}}
		           \overline{u}^{xz^{*}}
		     \right)
		   + K_{m} \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
		     \left(\partial_{z^{*}} w\right)
	    \right\}
  \nonumber \\
	& & + \overline{G^{23}}^{y}
	      \partial_{z^{*}}
 	      \left\{K_{m}
	             \left(\partial_{y}
		           \overline{w}^{yz^{*}}
		     \right)
		     + \frac{K_{m}}{G^{1/2}}
		       \left(\partial_{z^{*}}
			     \overline{v}^{yz^{*}}
		       \right)
		     + K_{m} \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
		       \left(\partial_{z^{*}} w\right)
	      \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{2}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	      \partial_{z^{*}}
              \left\{\frac{K_{m}}{G^{1/2}}
	            \left(\partial_{z^{*}} w\right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	      \Biggl\{\left(\partial_{x}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
		       \right)
	             + \overline{G^{13}}^{x}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
  \nonumber \\
	& & \hspace*{4em}
	             + \left(\partial_{y}
			     \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
		       \right)
		     + \overline{G^{23}}^{y}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
		     + \frac{1}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		       \left(\partial_{z^{*}} K_{m}^{2}\right)
              \Biggr\}
  .
  \end{eqnarray}

 式\Deqref{離散鉛直運動}と\Deqref{離散圧力}から直接
 $w^{\tau + \Delta \tau}, \pi^{\tau + \Delta \tau}$ を
 求めることはできない.
 これらの式を連立して $w^{\tau + \Delta \tau}$を消去し,
 $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ を求める.
 次に式\Deqref{離散鉛直運動}から $w^{\tau + \Delta \tau}$ を
 求める.
 連立の方法は乾燥大気の場合と同様なので省略する.
 圧力に関する行列は以下のようになる:
 \begin{eqnarray}
  \left(\begin{array}{cccc}
          A_{0} & B_{0}  &        &   0      \\ 
	  C_{0} & \ddots & \ddots &          \\
	        & \ddots & \ddots & B_{km-1}   \\
	    0   &        & C_{km-1} & A_{km} \\
	\end{array}
  \right)
  \left(\begin{array}{cccc}
          \pi_{0} & \pi_{0}  & \cdots & \pi_{0} \\
	  \pi_{1} & \ddots    & \ddots & \vdots        \\
	  \vdots   &           & \ddots & \vdots        \\
	  \pi_{km} & \cdots & \cdots & \pi_{km} \\
	\end{array}
  \right)^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
  = 
  \left(\begin{array}{cccc}
          D_{0} & D_{0}  & \cdots & D_{0} \\
	  D_{1} & \ddots    & \ddots & \vdots        \\
	  \vdots   &           & \ddots & \vdots        \\
	  D_{km} & \cdots & \cdots & D_{km} \\
	\end{array}
  \right)^{\tau}
  .
 \end{eqnarray}
 この連立 1 次方程式の係数行列は 3 項行列なので, LU 分解を
 行って計算すると大幅に計算量を減らすことができる.
 こうして求められた $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ と鉛直方向の
 運動方程式\Deqref{離散鉛直運動}から
 $w^{\tau + \Delta \tau}$ を求める.
 $A_{n}, B_{n}, C_{n} (n = 0, 1, \cdots, n)$ は以下のようである:
 \begin{eqnarray}
  A_{k} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
		\right)_{k}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left\{\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		       \right)_{w(k+1)}
		       + \left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                            {G^{1/2}}
			 \right)_{w(k)}
		\right\}
  , \\
        & & \hspace*{4em} (k = 1,3, \cdots, km-1)
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  A_{0} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
		\right)_{0}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(1)}
  , \\
  A_{km} &=& 1 + \beta^{2}
                \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	              \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		           {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
		\right)_{km}
		\frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(km)}
  , \\
  B_{k} &=& - \beta^{2}
            \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	          \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
	               {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	    \right)_{k}
	    \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
  , \\
  C_{k} &=& - \beta^{2}
            \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	          \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
	               {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	    \right)_{k+1}
	    \frac{1}{\Delta z^{* 2}}
		\left(\frac{\bar{\rho} \overline{\theta}_{v}^{2}}
	                          {G^{1/2}}
		\right)_{w(k+1)}
  , \\
  D_{k}       &=& \pi_{k}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{k}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w\right)
	  \right\}_{k}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{k}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{k}
	          + \overline{G^{13}}_{k}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{k}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{14em}
		  + \overline{G^{23}}_{k}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{k}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{k}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{k}
  , \nonumber \\
        & & \hspace*{4em} (k = 1,3, \cdots, km-3)
  , 
 \end{eqnarray}
\pagebreak
 \begin{eqnarray}
  D_{0} &=& \pi_{0}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{0}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w\right)
	  \right\}_{0}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{0}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{0}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{0}
		  + \overline{G^{23}}_{1}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{0}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{0}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{0}
  \nonumber \\
         & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{0}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(0)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(0)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(0)}^{\tau}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(0)}
	   \Biggr\}
  ,
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  D_{km-2} &=& \pi_{km-2}^{\tau} 
         - \left(1 - \beta\right)
	   \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{km-2}
	  \left\{\partial_{z^{*}}
	         \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w\right)
	  \right\}_{km-2}^{\tau}
  \nonumber \\
     & & - \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
	        {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	   \Biggl[\left(\partial_{x} u\right)_{km-2}
		  + \left(\partial_{y}v\right)_{km-2}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{5em}
	          + \overline{G^{13}}_{km}^{xz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{u}^{x z^{*}}
		    \right)_{km-2}
		  + \overline{G^{23}}_{km}^{yz^{*}}
		    \left(\partial_{z^{*}}
		          \overline{v}^{y z^{*}}
		    \right)_{km-2}
	   \Biggr]^{\tau + \Delta \tau}
  \nonumber \\
      & & - \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau}
		     {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{km-2}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	  \Biggl[\partial_{z^{*}}
	        \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}
	        \Biggl\{
	        w^{\tau}
         - \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v} \Delta \tau}
		      {\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
	   \right)
	   \left\{- \alpha
	          \left(\partial_{z^{*}} Div \right)^{\tau}
		  + \left(1 - \beta\right)
		  \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)^{\tau}
	   \right\}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{16em}
		- F.w^{t} \Delta \tau
		  \Biggr\}
	  \Biggr]_{km-2}
  \nonumber \\
         & & + \beta
          \left(\frac{1}{G^{1/2}}
	        \frac{\bar{c}^{2} \Delta \tau^{2}}
		     {\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  \right)_{km-2}
	   \frac{1}{\Delta z^{*}}
	   \left(\frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}^{2}}{G^{1/2}}
	   \right)_{w(km-1)}
  \nonumber \\
      & & \hspace*{.5em}
          \times
	   \Biggl\{\alpha
           \left(\partial_{z^{*}} Div \right)
	   _{w(km-1)}^{\tau}
	   - \left(1 - \beta\right)
	     \left(\partial_{z^{*}} \pi \right)
	     _{w(km-1)}^{\tau}
 \nonumber \\
      & & \hspace*{12em}
          + \left(\frac{G^{1/2}}
	                {c_{p} \bar{\theta}_{v}}
			F.w^{t}
	     \right)_{w(km-1)}
	   \Biggr\}
 \end{eqnarray}


%--------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{熱力学の式と混合比の方程式}

 熱力学の式\Deqref{地形:熱力学の式}と
 水蒸気・雲水および雨水の混合比の方程式
 \Deqref{地形:水蒸気混合比}〜\Deqref{地形:雨水混合比}を
 中央差分で離散化する.
 時間間隔は長い時間間隔 $\Delta t$ である.
 本節では変数の下付添字 $i, j, k$ を省略する.

 熱力学の式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{\theta^{t + \Delta t}
      - \theta^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
      = - {\rm Adv}.\theta^{t}
        + M_{\theta}^{t}
        + D_{\theta}^{t - \Delta t}
  \Deqlab{離散:熱力学の式}
  .
 \end{eqnarray}

 水蒸気混合比の方程式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{q_{v}^{t + \Delta t}
      - q_{v}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
      = - {\rm Adv}.q_{v}^{t}
        + M_{q_{v}}^{t}
	+ D_{q_{v}}^{t - \Delta t}
  .
 \end{eqnarray}
 本モデルでは過飽和がない場合を考える.
 求めた水蒸気の混合比と飽和混合比の値が
 $q_{v}^{t + \Delta t} > q_{vs}^{t + \Delta t}$  となった場合,
 湿潤飽和調節法(\ref{湿潤飽和調節法}参照)を用いる.

 雲水混合比の方程式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{q_{c}^{t + \Delta t}
      - q_{c}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
      = - {\rm Adv}.q_{c}^{t}
        + M_{q_{c}}^{t}
	+ D_{q_{c}}^{t - \Delta t}
  ,
 \end{eqnarray}
 雨水混合比の方程式は
 \begin{eqnarray}
  \frac{q_{r}^{t + \Delta t}
      - q_{r}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
      = - {\rm Adv}.q_{r}^{t}
        + M_{q_{r}}^{t}
	+ D_{q_{r}}^{t - \Delta t}
  \Deqlab{離散:雨水混合比}
 \end{eqnarray}
 となる.

 これまでに求めた  $u^{\tau + \Delta \tau},$
 $v^{\tau + \Delta \tau}, w^{\tau + \Delta \tau}$
 および $\pi^{\tau + \Delta \tau}$ を用いて
 $\theta^{\tau + \Delta \tau}, q_{v}^{\tau + \Delta \tau},
  q_{c}^{\tau + \Delta \tau}, q_{r}^{\tau + \Delta \tau}$
 を順に求める.
 ただし, 計算の際, 長い時間間隔における中央差分での
 計算モードを抑えるため, Asselin (1972) の時間フィルタ
 (\ref{時間フィルタ}節参照) を用いる.

 上式\Deqref{離散:熱力学の式}〜  \Deqref{離散:雨水混合比}中
 の各項はそれぞれ以下のようになる;
 移流項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.\theta^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} \theta}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} \theta}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  \theta}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	  + {\rm Diff}.\theta^{t}
  , \\
  {\rm Adv}.q_{v}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} q_{v}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} q_{v}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  q_{v}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	  + {\rm Diff}.q_{v}^{t}
  , \\
  {\rm Adv}.q_{c}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} q_{c}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} q_{c}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  q_{c}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
          + {\rm Diff}.q_{c}^{t}
  , \\
  {\rm Adv}.q_{r}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} q_{r}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} q_{r}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  q_{r}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
          + {\rm Diff}.q_{r}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 数値粘性項は
 \begin{eqnarray}
  {\rm Diff}.\theta^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} \theta
	        + \partial_{y}^{2} \theta
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} \theta\right]^{t}
  , \\
  {\rm Diff}.q_{v}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} q_{v}
	        + \partial_{y}^{2} q_{v}
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} q_{v}\right]^{t}
  , \\
  {\rm Diff}.q_{c}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} q_{c}
	        + \partial_{y}^{2} q_{c}
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} q_{c}\right]^{t}
  , \\
  {\rm Diff}.q_{r}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} q_{r}
	        + \partial_{y}^{2} q_{r}
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} q_{r}\right]^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 生成・消滅項は
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta}^{t} &=& - \gamma
                    \left(\frac{q_{vs}^{t + \Delta t}
	                  - q_{vs}^{t - \Delta t}}
			  {2 \Delta t}
			  + {\rm Adv}.q_{vs}^{t}
			  + E_{r}^{t}
		    \right)
  , \\
  M_{q_{v}}^{t} &=& \frac{q_{vs}^{t + \Delta t}
		          - q_{vs}^{t - \Delta t}}
			 {2 \Delta t}
		    + {\rm Adv}.q_{vs}^{t - \Delta t}
		    + E_{r}^{t}
  , \\
  M_{q_{c}}^{t} &=& - \frac{q_{vs}^{t + \Delta t}
		            - q_{vs}^{t - \Delta t}}
			   {2 \Delta t}
		    - {\rm Adv}.q_{vs}^{t}
		    - A_{r}^{t}
		    - C_{r}^{t}
  , \\
  M_{q_{r}}^{t} &=& F_{r}^{t}
                    - E_{r}^{t}
                    + A_{r}^{t}
		    + C_{r}^{t}
  .
 \end{eqnarray}
 また,
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.q_{vs}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} q_{vs}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} q_{vs}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		q_{vs}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	+ {\rm Diff}.q_{vs}^{t}
  , \\
  q_{vs} &=& \frac{3.8}{\bar{p}}
           \exp
	   \left(17.27
	    \frac{\bar{\Pi} \theta -273}
	    {\bar{\Pi} \theta -36}\right)
  \nonumber \\ 
	 &\simeq& q_{vs}^{*}
	          \left[1
		        + \frac{4093 a \bar{\Pi}}
			       {\left(\bar{\Pi} \theta^{*}
				- 36\right)^{2}}
			  \left(\theta^{t + \Delta t}
			        - \theta^{*}
			  \right)
		  \right]
  \Deqlab{飽和混合比}
  , \\
  F_{r}^{t}
       &=& \left[\frac{1}{G^{1/2} \bar{\rho}}
	         \partial_{z^{*}}
		 \left(\bar{\rho} V q_{r}\right)
	   \right]^{t}
  , \\
  V &=& 36.34 \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.1346}
        \left(\frac{\bar{\rho}}{\rho_{0}}\right)^{-\frac{1}{2}}
 \end{eqnarray}
 である.
 ただし $q_{vs}^{*}$ は $\theta = \theta^{*}$ のときの
 $q_{vs}$ の値である.
 式\Deqref{飽和混合比} の近似は Tetens の式より
 $\theta = \theta^{*}$ について線形化を行った.

\pagebreak
 拡散項は以下のようになる:
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta}^{t - \Delta t} &=& 3 \partial_{x}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{x}
		        \left(\partial_{x} \theta\right)
		        + \overline{K_{m}}^{x}
			  \overline{G^{13}}^{z^{*}}
			  \left(\partial_{z^{*}}
			        \overline{\theta}^{xz^{*}}
			  \right)
	         \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \partial_{y}
                     \left\{\overline{K_{m}}^{y}
		            \left(\partial_{y} \theta\right)
		           + \overline{K_{m}}^{y}
			     \overline{G^{23}}^{z^{*}}
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{\theta}^{yz^{*}}
			     \right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		        \left(\partial_{x}
			      \overline{\theta}^{xz^{*}}
		        \right)
		       + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		         \overline{G^{13}}^{x}
			 \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		 \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
		   \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		          \left(\partial_{y}
			        \overline{\theta}^{yz^{*}}
			  \right)
		          + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			    \overline{G^{23}}^{y}
			    \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + \frac{3}{G^{1/2}} \partial_{z^{*}}
	           \left\{\frac{K_{m}}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		          \left(\partial_{z^{*}} \theta\right)
		   \right\}^{t - \Delta t}
  , \\
  D_{q_{v}}^{t - \Delta t} &=& 3 \partial_{x}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{x}
		        \left(\partial_{x} q_{v}\right)
		        + \overline{K_{m}}^{x}
			  \overline{G^{13}}^{z^{*}}
			  \left(\partial_{z^{*}}
			        \overline{q_{v}}^{xz^{*}}
			  \right)
	         \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \partial_{y}
                     \left\{\overline{K_{m}}^{y}
		            \left(\partial_{y} q_{v}\right)
		           + \overline{K_{m}}^{y}
			     \overline{G^{23}}^{z^{*}}
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{q_{v}}^{yz^{*}}
			     \right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		        \left(\partial_{x}
			      \overline{q_{v}}^{xz^{*}}
		        \right)
		       + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		         \overline{G^{13}}^{x}
			 \left(\partial_{z^{*}} q_{v}\right)
		 \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
		   \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		          \left(\partial_{y}
			        \overline{q_{v}}^{yz^{*}}
			  \right)
		          + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			    \overline{G^{23}}^{y}
			    \left(\partial_{z^{*}} q_{v}\right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + \frac{3}{G^{1/2}} \partial_{z^{*}}
	           \left\{\frac{K_{m}}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		          \left(\partial_{z^{*}} q_{v}\right)
		   \right\}^{t - \Delta t}
  , \\
  D_{q_{c}}^{t - \Delta t} &=& 3 \partial_{x}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{x}
		        \left(\partial_{x} q_{c}\right)
		        + \overline{K_{m}}^{x}
			  \overline{G^{13}}^{z^{*}}
			  \left(\partial_{z^{*}}
			        \overline{q_{c}}^{xz^{*}}
			  \right)
	         \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \partial_{y}
                     \left\{\overline{K_{m}}^{y}
		            \left(\partial_{y} q_{c}\right)
		           + \overline{K_{m}}^{y}
			     \overline{G^{23}}^{z^{*}}
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{q_{v}}^{yz^{*}}
			     \right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		        \left(\partial_{x}
			      \overline{q_{c}}^{xz^{*}}
		        \right)
		       + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		         \overline{G^{13}}^{x}
			 \left(\partial_{z^{*}} q_{c}\right)
		 \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
		   \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		          \left(\partial_{y}
			        \overline{q_{c}}^{yz^{*}}
			  \right)
		          + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			    \overline{G^{23}}^{y}
			    \left(\partial_{z^{*}} q_{c}\right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + \frac{3}{G^{1/2}} \partial_{z^{*}}
	           \left\{\frac{K_{m}}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		          \left(\partial_{z^{*}} q_{c}\right)
		   \right\}^{t - \Delta t}
  , \\
  D_{q_{r}}^{t - \Delta t} &=& 3 \partial_{x}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{x}
		        \left(\partial_{x} q_{r}\right)
		        + \overline{K_{m}}^{x}
			  \overline{G^{13}}^{z^{*}}
			  \left(\partial_{z^{*}}
			        \overline{q_{r}}^{xz^{*}}
			  \right)
	         \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \partial_{y}
                     \left\{\overline{K_{m}}^{y}
		            \left(\partial_{y} q_{r}\right)
		           + \overline{K_{m}}^{y}
			     \overline{G^{23}}^{z^{*}}
			     \left(\partial_{z^{*}}
			           \overline{q_{r}}^{yz^{*}}
			     \right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
                 \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		        \left(\partial_{x}
			      \overline{q_{r}}^{xz^{*}}
		        \right)
		       + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		         \overline{G^{13}}^{x}
			 \left(\partial_{z^{*}} q_{r}\right)
		 \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + 3 \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
	           \partial_{z^{*}}
		   \left\{\overline{K_{m}}^{z^{*}}
		          \left(\partial_{y}
			        \overline{q_{r}}^{yz^{*}}
			  \right)
		          + \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			    \overline{G^{23}}^{y}
			    \left(\partial_{z^{*}} q_{r}\right)
		     \right\}^{t - \Delta t}
  \nonumber \\
             & & + \frac{3}{G^{1/2}} \partial_{z^{*}}
	           \left\{\frac{K_{m}}{\overline{G^{1/2}}^{z^{*}}}
		          \left(\partial_{z^{*}} q_{r}\right)
		   \right\}^{t - \Delta t}
  .
 \end{eqnarray}

%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\subsection{サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式}

 サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー方程式を
 運動量渦拡散係数で書き換えた式\Deqref{地形:運動量渦拡散係数}は
 長い時間間隔 $t$ で計算される.
 ここでは変数の下付添字 $i, j, k$ は省略する.
 \begin{eqnarray}
  \frac{K_{m}^{t + \Delta t} - K_{m}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     &=& - {\rm Adv}.K_{m}^{t}
            + \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{2 G^{1/2}}
		  \left(- A \partial_{z^{*}}
		          \overline{\theta_{e}}^{z^{*}}
		         + \partial_{z^{*}}
			   \overline{q_{l}}^{z^{*}}
		    \right)^{t}
  \nonumber \\
            & & + C_{m}^{2} l^{2}
	          \Bigg\{\left(\partial_{x} u
			        + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			   \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			   + \left(\partial_{y} v
			           + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				     \partial_{z^{*}}
				     \overline{v}^{yz^{*}}
			     \right)^{2}
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \partial_{z^{*}} w
			     \right)^{2}
		   \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
            & & + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2}
	            \Biggl\{\left(\partial_{x}
			          \overline{v}^{xy}
			        + \partial_{y}
			          \overline{u}^{xy}
				+ \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{v}^{yz^{*}}
				+ \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			+ \left(\partial_{x} w
				+ \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
				  \partial_{z^{*}} w
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{u}^{xz^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			+ \left(\partial_{y}
			        \overline{w}^{yz^{*}}
				+ \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
				  \partial_{z^{*}} w
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \partial_{z^{*}}
				  \overline{v}^{yz^{*}}
			  \right)^{2}
	        \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
	    & & + \frac{1}{2}
                   \Biggl\{\partial_{x}^{2} K_{m}^{2}
                          + \partial_{x}
                            \left(\overline{G^{13}}^{z^{*}}
                                  \partial_{z^{*}}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{6em}
                          + \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{13}}^{x}
                                  \partial_{x}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{xz^{*}}
                            \right)
                          + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{13}}^{x}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{4em}
                          + \partial_{y}^{2} K_{m}^{2}
                          + \partial_{y}
                            \left(\overline{G^{23}}^{z^{*}}
                                  \partial_{z^{*}}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
                            \right)
  \nonumber \\
         & & \hspace*{6em}
                          + \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{23}}^{y}
                                  \partial_{y}
                                  \overline{K_{m}^{2}}^{yz^{*}}
                            \right)
                          + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{G^{23}}^{y}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
  \nonumber \\
        & & \hspace*{4em}
                          + \frac{1}{G^{1/2}}
                            \partial_{z^{*}}
                            \left(\overline{\frac{1}{G^{1/2}}}^{*}
                                  \partial_{z^{*}} K_{m}^{2}
                            \right)
             \Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
          & & + \Biggl\{\left(\partial_{x}
		             \overline{K_{m}}^{x}
			     + \overline{G^{13}}^{xz^{*}}
			       \partial_{z^{*}}
			       \overline{K_{m}}^{z^{*}}
		       \right)^{2}
  \nonumber \\
           & & \hspace*{6em}
	               + \left(\partial_{y}
		               \overline{K_{m}}^{y}
			       + \overline{G^{23}}^{yz^{*}}
			         \partial_{z^{*}}
				 \overline{K_{m}}^{z^{*}}
			 \right)^{2}
  \nonumber \\
            & & \hspace*{12em}
	                + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			        \partial_{z^{*}}
				\overline{K_{m}}^{z^{*}}
			  \right)^{2}
		\Biggr\}^{t}
  \nonumber \\
	    & & - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}
		  K_{m}^{2}
 \end{eqnarray}
 となる.
 移流項と数値粘性項はそれぞれ以下のようになる:
 \begin{eqnarray}
  {\rm Adv}.K_{m}^{t}
      &=& \left[\overline{u \partial_{x} K_{m}}^{x} 
	        + \overline{v \partial_{y} K_{m}}^{y}
		+ \overline{\omega \partial_{z^{*}}
		  K_{m}}^{z^{*}}
	  \right]^{t}
	  + {\rm Diff}.K_{m}^{t}
  , \\
    {\rm Diff}.K_{m}^{t}
      &=& \nu_{2h}
          \left[\partial_{x}^{2} K_{m}
	        + \partial_{y}^{2} K_{m}
	  \right]^{t}
	  + \nu_{2v}
	     \left[\partial_{z^{*}}^{2} K_{m}\right]^{t}
  .
 \end{eqnarray}

%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\section{湿潤飽和調節法}
\label{湿潤飽和調節法}

 本モデルでは過飽和なしの場合を考える.
 過飽和しないように温位と混合比を計算するために,
 湿潤飽和調節法 (Soong and Ogura, 1973) を用いる.
 以下でその方法について述べる.

 先に示したように, 温位, 水蒸気と雲水の混合比の方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{\phi}{t} &=& M_{\phi} + D_{\phi}
  \Deqlab{予報方程式}
 \end{eqnarray}
 と書ける.
 ただし $\phi = \theta, q_{v}, q_{c}$ であり, $D_{\phi}$ は
 拡散項, 微物理過程の生成・消滅項は
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta} &=& - \gamma
                   \left\{\DD{q_{vs}}{t} + E_{r}\right\}
  , \\
  M_{q_{v}} &=& \DD{q_{vs}}{t} + E_{r}
  , \\
  M_{q_{c}} &=& - \DD{q_{vs}}{t} - A_{r} - C_{r}
  , \\
  q_{vs} &=& \frac{3.8}{\bar{p}}
           \exp
	   \left(17.27
	    \frac{\bar{\Pi} \theta -273}
	    {\bar{\Pi} \theta -36}\right)
 \end{eqnarray}
 である.

 ここで湿潤調節法に必要な方程式を求める.
 (温位式)$+ \gamma \times$(水蒸気混合比の式) より
 \begin{eqnarray}
  \DD{\theta}{t} + \gamma \DD{q_{v}}{t}
      = D_{\theta} + D_{q_{v}}
  \Deqlab{温位水蒸気}
 ,
 \end{eqnarray}
 (水蒸気混合比の式)+(雲水混合比の式)より
 \begin{eqnarray}
  \DD{q_{v}}{t} + \DD{q_{c}}{t}
      = D_{q_{v}} + D_{q_{c}}
        + E_{r} - A_{r} - C_{r}
  \Deqlab{水蒸気雲水}
 \end{eqnarray}
 である.

 予報方程式\Deqref{予報方程式}から計算された $t + \Delta t$ で
 の各値を仮に $\theta^{*}, q_{v}^{*}, q_{c}^{*}$ と表す.
 ここでは過飽和しないという条件で考えているので,
 $q_{v}^{*} > q_{vs}^{*}$ ならば
 湿潤飽和調節を行って $t + \Delta t$ での各値を求める.
 $q_{v}^{*} \le q_{vs}^{*}$ ならば予報方程式から得られた値を
 用いる.
 以下で湿潤飽和調節法を解説する.

 式 \Deqref{温位水蒸気} から
 \begin{eqnarray}
  \frac{\theta^{t + \Delta t} - \theta^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     + \gamma
       \frac{q_{v}^{t + \Delta t} - q_{v}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     &=& D_{\theta}^{t - \Delta t} + D_{q_{v}}^{t - \Delta t}
  , \\
  \frac{\theta^{*} - \theta^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     + \gamma
       \frac{q_{v}^{*} - q_{v}^{t - \Delta t}}{2 \Delta t}
     &=& D_{\theta}^{t - \Delta t} + D_{q_{v}}^{t - \Delta t}
  .
 \end{eqnarray}
 辺々引くと
 \begin{eqnarray}
  \theta^{t + \Delta t} + \gamma q_{v}^{t + \Delta t}
     = \theta^{*} + \gamma q_{v}^{*}
  \Deqlab{温位水蒸気2}
 \end{eqnarray}
 が成り立つ.

 過飽和しないので, 飽和に達した後の $t + \Delta t$ における
 水蒸気の混合比と飽和混合比は等しくなければならない:
 \begin{eqnarray}
  q_{v}^{t + \Delta t}
      &=& q_{vs}^{t + \Delta t}
  \nonumber \\
      &=& b \exp \left[\frac{a \left(\bar{\Pi}
				     \theta^{t + \Delta t} - 273
			       \right)}
                            {\bar{\Pi} \theta^{t + \Delta t} - 36}
		 \right]
  \nonumber \\
     &\approx& q_{vs}^{*}
               \left\{1 + \frac{273 a \bar{\Pi}}
		               {\left(\bar{\Pi}
				      \theta^{*} - 36
				 \right)^{2}}
		      \left(\theta^{t + \Delta t} - \theta^{*}\right)
	       \right\}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし $a = 7.5 \ln 10, b = 3.8 / \bar{p}$ である.
 したがって, 式\Deqref{温位水蒸気2}は
 \begin{eqnarray}
  \theta^{t + \Delta t}
     &=& \theta^{*}
         + \gamma \left(q_{v}^{*} - q_{vs}^{t + \Delta t}\right)
  \nonumber \\
     &=& \theta^{*}
         + \gamma r_{1} \left(q_{v}^{*} - q_{vs}^{*}\right)
  \Deqlab{調節温位}
 \end{eqnarray}
 となる.
 ただし
 \begin{eqnarray}
    r_{1} &=& \left[1 + \gamma q_{vs}^{*}
	              \frac{273 a \bar{\Pi}}
		           {\left(\bar{\Pi} \theta^{*} - 36\right)^{2}}
	    \right]^{-1}
  .
 \end{eqnarray}

 式\Deqref{温位水蒸気2} と \Deqref{調節温位}から
 \begin{eqnarray}
  q_{v}^{t + \Delta t}
      = q_{v}^{*}
        + \frac{1}{\gamma}
	  \left(\theta^{*} - \theta^{t + \Delta t}\right)
  \Deqlab{調節水蒸気}
 \end{eqnarray}

 また, \Deqref{温位水蒸気2}を求めたのと同様に,
 \Deqref{水蒸気雲水}より
 \begin{eqnarray}
  q_{v}^{t + \Delta t} + q_{c}^{t + \Delta t}
   = q_{v}^{*} + q_{c}^{*}
  \Deqlab{調節雲水}
 \end{eqnarray}
 が得られる.
 式\Deqref{調節温位}, \Deqref{調節水蒸気}, \Deqref{調節雲水}より
 暫定的に $\theta, q_{v}, q_{c}$ の値を求める.

 $q_{c}^{t + \Delta t} > 0,$ つまり雲水ができる場合,
 式\Deqref{調節温位}, \Deqref{調節水蒸気}, \Deqref{調節雲水}を
 繰り返し用いて値が収束するまで計算する
 \footnote{凝結して周りの温度が上がるため, 蒸発が起こるのを繰り返す.
	   この状態が落ち着くまで計算する.}

 $q_{c}^{t + \Delta t} \le 0,$ つまり雲水ができない場合,
 \begin{eqnarray}
  q_{c}^{t + \Delta t} &=& 0
  , \\
  q_{v}^{t + \Delta t} &=& q_{v}^{*} + q_{c}^{*}
  \Deqlab{調節水蒸気2}
  , \\
  \theta^{t + \Delta t} &=& \theta^{*} - \gamma q_{c}^{*}
  \Deqlab{調節雲水2}
 \end{eqnarray}
 を用いる.
 ここで式\Deqref{調節水蒸気2}は式\Deqref{調節雲水}から,
 式\Deqref{調節雲水2}は\Deqref{調節水蒸気}と
 \Deqref{調節水蒸気2}から求められる.


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\chapter*{参考文献}
\addcontentsline{toc}{chapter}{参考文献}

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 \end{description}

\vspace{2em}


%======================================================================
\end{document}
