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: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献


A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 温度 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合 の方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. またガスは理想気体であるとみなす.

A.1.1 元となる方程式系

3 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる A.1.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{x} + D_u$ (A.1)
    $\displaystyle \DD{v}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{y} + D_v$ (A.2)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{z} -g + D_w$ (A.3)

熱の式
 
$\displaystyle c_{pt} \DD{T}{t} - \Dinv{\rho} \DD{p}{t}
= c_{pt} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)$     (A.4)

状態方程式
 
$\displaystyle p_d$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_d R_d T,$ (A.5)
$\displaystyle p_v$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_v R_v T.$ (A.6)

密度の時間発展方程式
 
$\displaystyle \DP{\rho_d}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_d u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{\rho_d},$ (A.7)
$\displaystyle \DP{\rho_v}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_v u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_v) +
D_{\rho_v},$ (A.8)
$\displaystyle \DP{\rho_c}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_c u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_c) +
D_{\rho_c},$ (A.9)
$\displaystyle \DP{\rho_r}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_r u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_r) +
M_{fall}(\rho_r) + D_{\rho_r}$ (A.10)

ここで $c_{pt}$ は凝結物も含んだ単位質量の気塊の定圧比熱, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は比湿, $q_{c}$ は雲水比湿, $q_{r}$ は雨水比湿である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝結成分の数だけ存在する. $D_{\ast}$, $M_{src}$, $M_{fall}$ はそれぞれ 乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. 以下では, 温位 $\theta$, エクスナー関数 $\Pi$, 風速 $u, v, w$ を予報変数と する場合の基礎方程式系を導出する.

A.1.2 状態方程式の書き換え

(A.5), (A.6) より

$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle p_d + \sum p_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d R_d + \sum \rho_v R_v \right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\left( \frac{\rho_d}{\rho} R_d + \sum \frac{\rho_v}{\rho} R_v \right)
T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \left( q_d R_d + \sum q_v R_v \right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho R T$  

すなわち
\begin{displaymath}
\rho = \frac{p}{R T}
\end{displaymath} (A.11)

となる. ここで
$\displaystyle R$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle q_d R_d + \sum q_v R_v$ (A.12)

である. $R$ は気体定数の比湿の重みつき平均であり, 本文書では平均気体定数と呼ぶこ とにする.

A.1.3 密度の時間発展方程式の書き換え - 比湿の時間発展方程式の導出 -

$D_{\rho_d} + D_{\rho_v} + D_{\rho_c} + D_{\rho_r} = 0$ となると仮定して (A.7) - (A.10) の和をとると,

\begin{displaymath}
\DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} (\rho u_j) = \sum M_{fall} (\rho_r)
\end{displaymath} (A.13)

が得られる. 但し $M_{src} (\rho_v) + M_{src} (\rho_c) + M_{src} (\rho_r) = 0$ となる ことを用いた. (A.7) - (A.10) 及び (A.13) より
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_d}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
..._r) \right]
+ \Dinv{\rho}
\left[ - \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) + D_{\rho_d} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)
- \frac{\rho_d}{\rho^2} \sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_d},$ (A.14)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_v}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_v
u_j) + M_{src} (\rho_v) + D_{\rho_v} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...\sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_v},$ (A.15)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_c}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_c
u_j) + M_{src} (\rho_c) + D_{\rho_c} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...\sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_c)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_c},$ (A.16)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_r}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_r u_j) + M_{src} (\rho_r)
+ M_{fall} (\rho_r) + D_{\rho_r} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
...rho}
M_{src} (\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} D_{\rho_r}.$  

ここで
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_d},$ (A.17)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_v},$ (A.18)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_c},$ (A.19)
$\displaystyle \Dinv{\rho} D_{\rho_r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{q_r}$ (A.20)

と置くと,
$\displaystyle \DD{q_{d}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{d}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ D_{q_d},$ (A.21)
$\displaystyle \DD{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v},$ (A.22)
$\displaystyle \DD{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c},$ (A.23)
$\displaystyle \DD{q_r}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}.$ (A.24)

を得る. 但し, $q_d + \sum q_v + \sum q_c + \sum q_r = 1$ の関係が成り立つので, $q_d$ については時間発展方程式を解かずに, 診断的に求めることとする.

A.1.4 熱の式の導出

Satoh(2004)に従って, 熱の式を導出する. 熱の式を導出する上で, 雨粒または氷粒の存在を無視する. 比内部エネルギー $U$ の時間発展方程式は
\begin{displaymath}
\rho \DD{U}{t}
+ \DP{F_i^{rad}}{x_i}
+ \DP{F_i^{therm}}{x_i}
=
- p \DP{u_i}{x_i}
+ \varepsilon
\end{displaymath} (A.25)

と表される. ここで $F_i^{rad}$, $F_i^{therm}$, $\varepsilon$ はそれぞれ放射フラック ス, 熱拡散フラックス, 消散率である. $U$ は比エンタルピー $h$ を用いて
\begin{displaymath}
U = h - \frac{p}{\rho}
\end{displaymath} (A.26)

と表される. (A.27) を (A.26) に代入すると,
    $\displaystyle \rho \DD{h}{t}
+ \frac{p}{\rho} \DD{\rho}{t}
- \DD{p}{t}
+ \DP{F_i^{rad}}{x_i}
+ \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ p \DP{u_i}{x_i}
- \varepsilon$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \DD{h}{t}
- p \DP{u_i}{x_i}
- \DD{p}{t}
+ \DP{F_i^{rad}}{x_i}
+ \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ p \DP{u_i}{x_i}
- \varepsilon$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \DD{h}{t}
- \DD{p}{t}
+ \DP{F_i^{rad}}{x_i}
+ \DP{F_i^{therm}}{x_i}
- \varepsilon$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (A.27)

となる. 比エンタルピーを各カテゴリーの比エンタルピーの和で表現すると
$\displaystyle h$ $\textstyle =$ $\displaystyle q_d h_d + \sum q_v h_v + \sum q_c h_c$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle q_d c_{pd} T + \sum q_v \left( c_{pv} T + L_{00} \right)
+ \sum q_c c_{pc} T$ (A.28)

となる. 但し $L_{00}$ は潜熱 $L(T)$ の定数部分であり,
\begin{displaymath}
L_{00} = L(T) - (c_{pv} - c_{pc}) T
\end{displaymath} (A.29)

である. (A.29) のラグランジュ微分をとると,
$\displaystyle \DD{h}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left(q_d c_{pd} + \sum q_v c_{pv} + \sum q_c c_{pc} \right) \DD{T}{t}$  
    $\displaystyle + \left(
c_{pd} \DD{q_d}{t} + \sum c_{pv} \DD{q_v}{t} + \sum c_{pc} \DD{q_c}{t}
\right) T$  
    $\displaystyle + \sum L_{00} \DD{q_v}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle c_{pt} \DD{T}{t}
+ \left(
c_{pd} \DD{q_d}{t} + \sum c_{pv} \DD{q_v}{t} + \sum c_{pc} \DD{q_c}{t}
\right) T$  
    $\displaystyle + \sum L_{00} \DD{q_v}{t}$ (A.30)

となる. 但し
\begin{displaymath}
c_{pt}
= q_d c_{pd} + \sum q_v c_{pv} + \sum q_c c_{pc}
\end{displaymath} (A.31)

と置いた. (A.28) を (A.31) に代入すると,
$\displaystyle c_{pt} \DD{T}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\rho}
\left(
\DD{p}{t}
- \DP{F_i^{rad}}{x_i}
- \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ \varepsilon
\right)$  
    $\displaystyle - \left(
c_{pd} \DD{q_d}{t} + \sum c_{pv} \DD{q_v}{t} + \sum c_{pc} \DD{q_c}{t}
\right) T
- \sum L_{00} \DD{q_v}{t}$ (A.32)

雲粒落下が存在しないことに注意して (A.22), (A.23), (A.24) を (A.33) に代入すると,
$\displaystyle c_{pt} \DD{T}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\rho}
\left(
\DD{p}{t}
- \DP{F_i^{rad}}{x_i}
- \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ \varepsilon
\right)$  
    $\displaystyle - \left[
c_{pd} D_{q_d}
+ \sum c_{pv} \left( \Dinv{\rho} M_{src} ...
...+ \sum c_{pc} \left( - \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v) + D_{q_c} \right)
\right] T$  
    $\displaystyle - \sum L_{00} \left( \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v) + D_{q_v} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\rho}
\left(
\DD{p}{t}
- \DP{F_i^{rad}}{x_i}
- \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ \varepsilon
\right)$  
    $\displaystyle - c_{pd} D_{q_d}
- \sum \left( c_{pv} + L_{00} \right) D_{q_v}
- \sum c_{pc} D_{q_c}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\rho}
\sum \left[ L_{00} + (c_{pv} - c_{pc}) T \right]
M_{src} (\rho_v)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\rho}
\left(
\DD{p}{t}
- \DP{F_i^{rad}}{x_i}
- \DP{F_i^{therm}}{x_i}
+ \varepsilon
\right)$  
    $\displaystyle - c_{pd} D_{q_d}
- \sum \left( c_{pv} + L_{00} \right) D_{q_v}
- \sum c_{pc} D_{q_c}
- \Dinv{\rho}
\sum L M_{src} (\rho_v)$ (A.33)

となる. ここで
$\displaystyle - \Dinv{\rho c_{pt}} \DP{F_i^{rad}}{x_i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle Q_{rad},$ (A.34)
$\displaystyle \Dinv{\rho c_{pt}} \left( - \DP{F_i^{therm}}{x_i} + \varepsilon \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle Q_{dis},$ (A.35)
$\displaystyle - \Dinv{\rho c_{pt}} L M_{src} (\rho_v)$ $\textstyle =$ $\displaystyle Q_{cond},$ (A.36)
$\displaystyle - c_{pd} D_{q_d}
- \sum \left( c_{pv} + L_{00} \right) D_{q_v}
- \sum c_{pc} D_{q_c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle c_{pt} D_{T}$ (A.37)

と置くと,
\begin{displaymath}
c_{pt} \DD{T}{t} - \Dinv{\rho} \DD{p}{t}
=
c_{pt} \left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ c_{pt} D_{T}
\end{displaymath} (A.38)

が得られる.

A.1.5 圧力方程式の導出

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. (A.11) のラグランジュ微分をとると,

$\displaystyle \DD{\rho}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DD{}{t} \left( \frac{p}{R T} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{R T} \DD{p}{t}
- \frac{p}{R^2 T} \DD{R}{t}
- \frac{p}{R T^2} \DD{T}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\left(
\Dinv{p} \DD{p}{t}
- \Dinv{R} \DD{R}{t}
- \Dinv{T} \DD{T}{t}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\left[
\Dinv{p} \DD{p}{t}
- \Dinv{R} \left( R_d \DD{q_d}{t} + \sum R_v \DD{q_v}{t} \right)
- \Dinv{T} \DD{T}{t}
\right]$ (A.39)

となる. (A.40) に (A.13), (A.22), (A.23), (A.39) を適用すると,
    $\displaystyle - \rho \DP{u_i}{x_i} + \sum M_{fall} (\rho_r)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\Bigg\{
\Dinv{p} \DD{p}{t}
+ \frac{R_d q_d}{R \rho} \sum M_{...
...- \frac{q_v}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v)
\Bigg]$  
    $\displaystyle - \Dinv{c_{pt} T}
\left[
\Dinv{\rho} \DD{p}{t}
+ c_{pt} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]
\Bigg\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\Bigg\{
\left( \Dinv{p} - \Dinv{c_{pt} \rho T} \right) \DD{p}{t}
+ \Dinv{R \rho}
\left( R_d q_d + \sum R_v q_v \right) \sum M_{fall} (\rho_r)$  
    $\displaystyle - \Dinv{R \rho} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
- \Dinv{c_{pt} T}
\left[
+ c_{pt} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]
\Bigg\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho
\Bigg\{
\left( \Dinv{p} - \Dinv{c_{pt} \rho T} \right) \DD{p}{t}
+ \Dinv{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r)$  
    $\displaystyle - \Dinv{R \rho} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
- \Dinv{c_{pt} T}
\left[
+ c_{pt} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]
\Bigg\}$ (A.40)

となる. (A.41) を $dp/dt$ について整理すると,
$\displaystyle \DD{p}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{R}{c_{pt}} \right)^{-1}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}...
... M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$  

となり, 圧力方程式が得られる. また (A.42) を用いて熱の式を書き換えると,
$\displaystyle \DD{T}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R T}{c_{pt} - R}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}
+ \frac{T}{p} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$  
    $\displaystyle + \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{T}$ (A.41)

となる.

A.1.6 温度 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合の方程式系

以上より, 3 次元大気の状態を 温度 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程 式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{x} + D_u$ (A.42)
    $\displaystyle \DD{v}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{y} + D_v$ (A.43)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{z} -g + D_w$ (A.44)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DD{p}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{R}{c_{pt}} \right)^{-1}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}...
... M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$  

状態方程式
 
$\displaystyle \rho
= \frac{p}{R T}$     (A.45)

熱の式
 
$\displaystyle \DD{T}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R T}{c_{pt} - R}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}
+ \frac{T}{p} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$  
    $\displaystyle + \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{T}$ (A.46)

凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
 
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t}
= - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v}$ (A.47)
    $\displaystyle \DD{q_{c}}{t}
= - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c}$ (A.48)
    $\displaystyle \DD{q_r}{t}
= - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}$ (A.49)

A.2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

$\displaystyle u (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle u^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle v^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle w (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle w^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle T (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{T} (z) + T^{\prime} (x,z,t)$  
$\displaystyle p (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{p} (z) + p^{\prime} (x,z,t)$  
$\displaystyle q_d (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_d} (z) +
{q_d}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_v} (z) +
{q_v}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_c (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_c}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_r (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_r}^{\prime} (x,z,t).$  

ここで基本場の風速 $w$ と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場では静水圧平衡
$\displaystyle \DP{\overline{p}}{z} = - \overline{\rho} g$     (A.50)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
u^{'} \DP{u^{'}}{x}
+ v^{'} \DP{u^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{u^{'}}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho} + \rho^{\prime}}
\DP{(\overline{p} + p~{'})}{x}
+ D_{u^{'}}$  
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
u^{'} \DP{v^{'}}{x}
+ v^{'} \DP{v^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{v^{'}}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho} + \rho^{\prime}}
\DP{(\overline{p} + p~{'})}{y}
+ D_{v^{'}}.$  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は水平方向に 変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
-...
...eft(1 - \frac{\rho^{\prime}}{\overline{\rho}} \right)
\DP{p^{'}}{x}
+ D_{u^{'}}$  
  $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z}
- \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{'}}{x}
+ D_{u^{'}}$ (A.51)
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
-...
...left(1 - \frac{\rho^{\prime}}{\overline{\rho}}\right)
\DP{p^{'}}{y}
+ D_{v^{'}}$  
  $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{v^{\prime}}{z}
- \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{'}}{y}
+ D_{v^{'}}.$ (A.52)

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ v^{'} \DP{w^{'}}{y}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right]$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho} + \rho^{\prime}}
\DP{(\overline{p} + p~{'})}{z}
- g
+ D_{w^{'}}$  

上式において静水圧の式
$\displaystyle \DP{\overline{p}}{z} = - \overline{\rho} g$     (A.53)

を適用し, 移流項以外の 2 次の微小項を消去すると, 以下のようになる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{'} \DP{w^{'}}{x}
- v^{'} \DP{w^{'}}{y}
- w^{'} \DP{w^{'}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}}
\left(1 - \frac{\rho^{\prime}}{\overline{\rho}} \right)
\DP{(\overline{p} + p^{'})}{z}
- g
+ D_{w^{'}}$  
  $\textstyle \simeq$ $\displaystyle - u^{'} \DP{w^{'}}{x}
- v^{'} \DP{w^{'}}{y}
- w^{'} \DP{w^{'}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}}
\DP{p^{'}}{z}
- \frac{\rho^{'}}{\overline{\rho}} g
+ D_{w^{'}} .$  

状態方程式を基本場成分と擾乱成分に分けると,
$\displaystyle \overline{\rho} + \rho^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(\overline{p} + p^{\prime})}
{ (\overline{R} + R^{\prime})(\overline{T} + T^{\prime})}$  
  $\textstyle \simeq$ $\displaystyle (\overline{p} + p^{\prime})
\left( \Dinv{\overline{R}} - \frac{R^...
... \right)
\left( \Dinv{\overline{T}} - \frac{T^{\prime}}{\overline{T}^2} \right)$  
  $\textstyle \simeq$ $\displaystyle \frac{\overline{p}}{\overline{R} \overline{T}}
+ \frac{p^{\prime}...
...ne{T}} R^{\prime}
- \frac{\overline{p}}{\overline{R} \overline{T}^2} T^{\prime}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho}
+ \frac{p^{\prime}}{\overline{R} \overline{T}}
- ...
...ne{T}} R^{\prime}
- \frac{\overline{p}}{\overline{R} \overline{T}^2} T^{\prime}$ (A.54)

となるので, 浮力項は
$\displaystyle - \frac{\rho^{\prime}}{\overline{\rho}} g
=
\left(
\frac{p^{\prim...
...}
- \frac{R^{\prime}}{\overline{R}}
- \frac{T^{\prime}}{\overline{T}}
\right) g$     (A.55)

と書き換えられる. ここで
$\displaystyle \overline{q_d} + \sum \overline{q_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1,$ (A.56)
$\displaystyle q_d^{\prime} + \sum q_v^{\prime} + \sum q_c^{\prime} + \sum q_r^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (A.57)

が成り立つことに着目すると,
$\displaystyle \overline{R}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_d} R_d + \sum \overline{q_v} R_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle R_d + \sum (R_v - R_d) \overline{q_v},$ (A.58)
$\displaystyle R^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle q_d^{\prime} R_d + \sum q_v^{\prime} R_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \sum R_d (q_c^{\prime} + q_r^{\prime})
+ \sum (R_v - R_d) q_v^{\prime},$ (A.59)
$\displaystyle \frac{R^{\prime}}{\overline{R}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{
\sum \left(1 - \frac{R_v}{R_d} \right) q_v^{\prime}
- \s...
...^{\prime} \right)
}{ \sum \left(1 - \frac{R_v}{R_d} \right) \overline{q_v} - 1}$ (A.60)

となる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{\prime}}{z}
+ \left(
\frac{p^{\pr...
...me}}{\overline{R}}
- \frac{T^{\prime}}{\overline{T}}
\right) g
+ D_{w^{\prime}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{\prime}}{z}
+ \left[
\frac{p^{\pr...
...overline{q_v} - 1}
- \frac{T^{\prime}}{\overline{T}}
\right] g
+ D_{w^{\prime}}$ (A.61)

となる.

A.2.4 圧力方程式の線形化

簡単の為, 凝結物の比熱を無視すると,

\begin{displaymath}
c_{pt} = c_p = c_{pd} q_d + \sum c_{pv} q_v
\end{displaymath} (A.62)

となる. このとき
$\displaystyle c_{pt} - R$ $\textstyle =$ $\displaystyle c_p - R$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle (c_{pd} - R_d) q_d + \sum (c_{pv} - R_v) q_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle c_{vd} q_d + \sum c_{vv} q_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle c_v$ (A.63)

となる. 従って (A.42) は
$\displaystyle \DD{p}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p c_p}{c_v}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}
+ \frac{T}{p} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$ (A.64)

となる. (A.67) を線形化すると,
$\displaystyle \DP{p^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{p^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{p^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{p^{\prime}}{z}
+ w^{\prime} \overline{\rho} g$  
    $\displaystyle - \frac{\overline{p} \overline{c_p}}{\overline{c_v}}
\DP{u_i^{\pr...
...e{c_p}}{\overline{T} \overline{c_v}}
\left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)$ (A.65)

となる. ここで音速の二乗 $\overline{c_s^2}$
\begin{displaymath}
\overline{c_s^2}
= \frac{\overline{c_p}}{\overline{c_v}}
\overline{R} \overline{T}
\end{displaymath} (A.66)

と定義すると,
$\displaystyle \DP{p^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{p^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{p^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{p^{\prime}}{z}
+ w^{\prime} \overline{\rho} g$  
    $\displaystyle - \overline{\rho} \overline{c_s^2}
\DP{u_i^{\prime}}{x_i}
+ \frac...
...rho}}{\overline{T}} \overline{c_s^2}
\left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)$ (A.67)

となる.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式においても凝結物の比熱を無視すると,

$\displaystyle \DD{T}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R T}{c_v}
\left[
- \DP{u_i}{x_i}
+ \frac{T}{p} \sum R_v M_{src} (\rho_v)
+ \Dinv{T} \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
\right]$  
    $\displaystyle + \left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{T}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{c_p \rho} \DD{p}{t}
+ Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}
+ D_{T}$ (A.68)

となる. 熱の式を平均成分と擾乱成分に分離すると,
$\displaystyle \DP{T^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{T^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{T^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{T^{\prime}}{z}
- w^{\prime} \DP{\overline{T}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{c_p} \overline{\rho}}
\left[
\DP{p^{\prime}}{t} + u_i^{\prime} \DP{p^{\prime}}{x_i}
- w^{\prime} \overline{\rho} g
\right]$  
    $\displaystyle + Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}
+ D_{\overline{T}}
+ D_{T^{\prime}}$ (A.69)

となる.

A.2.6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに 等しい.

$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{z}
- w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}$  
    $\displaystyle - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\...
...rline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.70)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.71)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_r^{\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.72)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.2.7 エネルギー方程式の導出

準圧縮方程式系におけるエネルギー方程式を導出する.

(A.54), (A.55), (A.64) にそれぞれ $\overline{\rho} u^{\prime}$, $\overline{\rho} v^{\prime}$, $\overline{\rho} w^{\prime}$ を掛けて足し合わせると

$\displaystyle \DP{ (\overline{\rho} K ) }{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \nabla K
- \langle c_p \rangle
...
...\Dvect{u} \cdot \nabla \Pi^{\prime}
+ \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D}$  
    $\displaystyle + g \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} w^{...
... /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v}
\overline{\rho} w^{\prime}$ (A.73)

となる. 但し $\Dvect{u} = (u^{\prime}, v^{\prime},
w^{\prime})$, $\Dvect{D} = (D_u, D_v, D_w)$, $K = [{u^{\prime}}^2 + {v^{\prime}}^2 + {w^{\prime}}^2 ]/2$ と置いた. 連続の式
\begin{displaymath}
\DP{\rho_d^{\prime}}{t}
+ \DP{}{x} \left( u^{\prime} \overl...
... + \DP{}{z} \left( w^{\prime} \overline{\rho_d} \right)
= 0,
\end{displaymath} (A.74)


\begin{displaymath}
\DP{\rho_v^{\prime}}{t}
+ \DP{}{x} \left( u^{\prime} \overl...
...prime} \overline{\rho_v} \right)
= M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.75)

より
\begin{displaymath}
\DP{}{t} \left( \rho_d^{\prime} + \sum \rho_v^{\prime} \righ...
... (\overline{\rho} \Dvect{u})
= \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.76)

となる. 但し $\overline{\rho} = \overline{\rho_d} + \sum \overline{\rho_v}$ であ ることを用いた. (A.79) を用いると, (A.76) の右辺第 1 項は
$\displaystyle - \overline{\rho} \Dvect{u} \cdot \nabla K$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot ( \overline{\rho} K \Dvect{u} )
+ K \nabla \cdot (\overline{\rho} \Dvect{u})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot ( \overline{\rho} K \Dvect{u} )
- K \DP{}{t} \left( \rho_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
+ K M_{src} (\rho_v^{\prime})$ (A.77)

となる. また (A.70) を用いて (A.76) の右辺第 2 項を書き換えると
$\displaystyle - \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Dvect{u}
\cdot \nabla \Pi^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\t...
...ngle \Pi^{\prime} \nabla \cdot (\overline{\rho}
\overline{\theta_v} \Dvect{u} )$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v}
\Pi^{\prime} \Dvect{u} ]$  
    $\displaystyle + \langle c_p \rangle \Pi^{\prime}
\left[
\frac{ \langle c_p \ran...
... \rangle}^2 } }
{\langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \Phi }
\right)
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \nabla \cdot [ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\t...
...e{\theta_v} \Pi^{\prime} }
{ \langle \overline{c_s} \rangle }
\right)^2
\right]$  
    $\displaystyle - \DP{}{x}
\left[
\frac{\overline{\rho} \overline{u}}{2}
\left(
\...
...ht]
+ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Phi
\Pi^{\prime}$ (A.78)

となる. 但し
$\displaystyle \Phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
\Dinv{ \bar{\theta...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
...}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}$ (A.79)

である. (A.79) より任意のスカラー量 $\phi$ について
\begin{displaymath}
\overline{\rho} \DD{\phi}{t}
= \DP{}{t} \left( \overline{\rh...
...\rho_v^{\prime} \right)
- \phi \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\end{displaymath} (A.80)

が成り立つ. ([*]) 及び (A.83) を用いて (A.76) の右辺第 4 項, 第 5 項を書き換えると,
$\displaystyle \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} \overline{\rho} \DD{z}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\overline{\rho}}{\overline{\theta}} \theta^{\prime} \DD{}{t...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\overline{\rho}}{\overline{\theta}} \DD{}{t}
(\theta^{\prim...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\overline{\theta}} \DP{}{t} \left( \overline{\rho} \theta^{...
...o_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
- \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\overline{\theta}} \DP{}{t} \left( \overline{\rho} \theta^{...
...eta^{\prime} g z w^{\prime}}
{ {\overline{\theta}}^2}
\DP{\overline{\theta}}{z}$  
    $\displaystyle + \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\left[
\DP{}{t} \...
...o_d^{\prime} + \rho_v^{\prime} \right)
- \sum M_{src} (\rho_v^{\prime})
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...verline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
- D_{\theta}
\right],$ (A.81)


$\displaystyle g \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} \overline{\Omega_d} q_d^{\prime}
\DD{}{t} (g z)
+...
...erline{q_d}}{\overline{\rho}}
\sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) - D_{q_d}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{t} (\overline{\rho} \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} g z)
+...
...{u} )
- \overline{\rho} q_d^{\prime} g z w^{\prime}
\DP{\overline{\Omega_d}}{z}$  
    $\displaystyle + \overline{\Omega_d} q_d^{\prime} g z
\left[ \DP{}{t} (\rho_d^\p...
...erline{q_d}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime}) - D_{q_d}
\right]$  


$\displaystyle g \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} \overline{\rho} w^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\rho} \overline{\Omega_v} q_v^{\prime}
\DD{}{t} (g z)
+...
...erline{q_v}}{\overline{\rho}}
\sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) - D_{q_v}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{t} (\overline{\rho} \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} g z)
+...
...{u} )
- \overline{\rho} q_v^{\prime} g z w^{\prime}
\DP{\overline{\Omega_v}}{z}$  
    $\displaystyle + \overline{\Omega_v} q_v^{\prime} g z
\left[ \DP{}{t} (\rho_v^\prime + \rho_v^{\prime}) \right]$  
    $\displaystyle + \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
w^{\prime} \DP{\...
...{\prime}) - \Dinv{\overline{\rho}} M_{src}
(\rho_r^{\prime})
- D_{q_v}
\right].$  

但し
$\displaystyle \overline{\Omega_d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle M \rangle /M_d }{\overline{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v},$ (A.82)
$\displaystyle \overline{\Omega_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{
\langle M \rangle / M_v }{\overline{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v}$ (A.83)

である. (A.80), (A.81), (A.84), (A.85), (A.86) より (A.76) は以下のように書き換えられる.
    $\displaystyle \DP{}{t}
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{\prim...
... \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \Pi^{\prime} \right)
\Dvect{u} \right]$  
    $\displaystyle - \DP{}{x}
\left[
\frac{\overline{\rho} \overline{u}}{2}
\left(
\...
...e{\theta_v} \Pi^{\prime} }
{ \langle \overline{c_s} \rangle }
\right)^2
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g z
\r...
...e})
+ \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \Phi
\Pi^{\prime}$  
    $\displaystyle + \frac{ \overline{\rho} \theta^{\prime} g z w^{\prime}}
{ {\over...
...
- \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src} (\rho_v^{\prime})$  
    $\displaystyle + \frac{\overline{\rho} g z}{\overline{\theta}}
\left[ w^{\prime}...
...overline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right) - D_{\theta} \right]$  
    $\displaystyle - \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{\overline{\rho}} M_{src}
(\rho_r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right]$  
    $\displaystyle + g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime})
- \overline{\rho} g z w^{\p...
...DP{\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right)$  

計算領域として矩形領域を想定し, 鉛直方向の境界からの流出は無く, 水平境界 の両端では周期的であるとすると, 計算領域境界面でのフラックスはゼロとなる. 従って (A.89) を全計算領域にわたって積分すると,
    $\displaystyle \DP{}{t} \int
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{...
...v} \Pi^{\prime}}
{\overline{\langle c_s \rangle}}
\right)^2
\right] \right\} dV$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g...
...erline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D} dV
+ \int K M_{src} (\rho_v^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle + \int \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \P...
...\left( \theta^{\prime} + \overline{\theta} \right)
\DP{\overline{\theta}}{z} dV$  
    $\displaystyle - \int \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src}...
...rline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{\theta}
\right] dV$  
    $\displaystyle - \int \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{...
..._r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right] dV
+ \int g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle - \int \overline{\rho} g z w^{\prime}
\left(
q_d^{\prime} \DP{\ov...
...\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right) dV$  

となり, 準圧縮方程式に関するエネルギー方程式が得られる.

(A.90) の左辺は全エネルギーの時間変化を表している. 左辺の被積分関数の第 1 項, 第 2 項, 第 3 項はそれぞれ運動エネルギー, 浮 力による位置エネルギー, 弾性エネルギー(熱エネルギー)を表す. 右辺第 1 項は準圧縮近似によって現れる項であり, 一般にゼロとなることはな い. 非断熱加熱や乱流拡散や基本場の空間変化が存在しなかったとしても, 右辺がゼ ロとなることは無い. 即ち, 準圧縮方程式では全エネルギーが保存されることはない.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

運動方程式
 
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{'}}{x}
+ D_{u}$ (A.84)
$\displaystyle \DP{v^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{v^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{'}}{y}
+ D_{v}.$ (A.85)
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle - \Dinv{\overline{\rho}} \DP{p^{\prime}}{z}
+ \left[
\frac{p^{\pr...
...overline{q_v} - 1}
- \frac{T^{\prime}}{\overline{T}}
\right] g
+ D_{w^{\prime}}$  

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{p^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{p^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{p^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{p^{\prime}}{z}
+ w^{\prime} \overline{\rho} g$  
    $\displaystyle - \overline{\rho} \overline{c_s^2}
\DP{u_i^{\prime}}{x_i}
+ \frac...
...rho}}{\overline{T}} \overline{c_s^2}
\left(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)$  

熱の式
 
$\displaystyle \DP{T^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{T^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{T^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{T^{\prime}}{z}
- w^{\prime} \DP{\overline{T}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{c_p} \overline{\rho}}
\left[
\DP{p^{\prime}}{t} + u_i^{\prime} \DP{p^{\prime}}{x_i}
- w^{\prime} \overline{\rho} g
\right]$  
    $\displaystyle + Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}
+ D_{\overline{T}}
+ D_{T^{\prime}}$ (A.86)

比湿の保存式
 
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{z}
- w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}$  
    $\displaystyle - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\...
...rline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.87)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.88)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{y}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_r^{\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.89)

エネルギー方程式
 
    $\displaystyle \DP{}{t} \int
\left\{
\overline{\rho}
\left[
K
- \frac{\theta_v^{...
...v} \Pi^{\prime}}
{\overline{\langle c_s \rangle}}
\right)^2
\right] \right\} dV$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int \left(
- K + \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g...
...erline{\rho} \Dvect{u} \cdot \Dvect{D} dV
+ \int K M_{src} (\rho_v^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle + \int \langle c_p \rangle \overline{\rho} \overline{\theta_v} \P...
...\left( \theta^{\prime} + \overline{\theta} \right)
\DP{\overline{\theta}}{z} dV$  
    $\displaystyle - \int \frac{\theta^{\prime} g z}{\overline{\theta}}
\sum M_{src}...
...rline{\Pi}}
\left( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} \right)
+ D_{\theta}
\right] dV$  
    $\displaystyle - \int \sum \overline{\rho} \overline{\Omega_v} g z
\left[
\Dinv{...
..._r^{\prime})
+ D_{q_v}
\right] dV
+ \int g z \sum M_{fall} (\rho_r^{\prime}) dV$  
    $\displaystyle - \int \overline{\rho} g z w^{\prime}
\left(
q_d^{\prime} \DP{\ov...
...\overline{q_d}}{z}
+ \sum \overline{\Omega_v} \DP{\overline{q_v}}{z}
\right) dV$  



... 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになるA.1
本モデルは水平鉛直 2 次元であるが, 将来のモデルの開発計画を見据え, 本付 録においては 3 次元の方程式系を導く.

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: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献
Yamashita Tatsuya 平成22年3月19日