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C. 雲微物理過程

Kessler(1969) に基づく雲微物理パラメタリゼーションの, 終端速度 $V_D$, 雲 水の衝突併合による雨水比湿の変化率 $CL_{cr}$, 平均終端速度 $V_{term}$, 蒸発による雨水比湿の変化率 $EV_{rv}$ について解説する C.1.

C.1 雨粒の終端速度

Newton の抵抗法則より球体の抵抗力 $F_D$

$\displaystyle F_D = \Dinv{8} \rho V_D^2 C_D D^2$     (C.1)

と表される. ここで $C_D$ は抵力係数であり, 一般にレイノルズ数の関数である. 雨滴の落下のようにレイノルズ数が大きい現象の場合, レイノルズ数の定義によ り, 粘性力は流れ場にほとんど寄与しなくなる. このとき $C_D$ はレイノルズ数に依存しない定数となる. 抵抗力と重力の釣合いを考えると
$\displaystyle \Dinv{6} \pi \rho_w D^3 g = \Dinv{8} \rho V_D^2 C_D D^2$     (C.2)

となる. (C.2) を $V_D$ について解くと,
$\displaystyle V_D
= \left( \frac{ 4 \rho_w g D}{3 C_D \rho} \right)^{1/2}$     (C.3)

となる. Kessler(1969) では $\rho_w = 10^3$[kg/m$^3$], $g = 9.8$[m/s$^2$], $\rho_0 = 1.2$ [kg/m$^3$], $C_D = 0.644$ として
$\displaystyle V_D
= 130 \left( \frac{\rho_0}{\rho} \right)^{0.5} D^{0.5}$     (C.4)

としているC.2. 但し $\rho_0$ は地表面での大気密度である. 他の惑星大気においても $C_D = 0.644$ であるとみなすと,
\begin{displaymath}
V_D
= 1.4389 \left( \frac{\rho_w g D}{\rho} \right)^{1/2}
\end{displaymath} (C.5)

が得られる.

C.2 雲水の衝突併合

雲水の衝突併合による雨水混合比の変化率 $CL_{cr}$ は, 直径 $D$ の単一の 雨粒の衝突併合による質量変化率 $(dm(D)/dt)_{cr}$$D$ から $D+dD$ の 範囲の直径を持つ雨粒の数 $N_{D}$ を用いて

\begin{displaymath}
CL_{cr} = \Dinv{\rho}\int_{0}^{\infty}\left(\DD{m}{t}\right)_{cr}
N_{D}\Dd D
\end{displaymath} (C.6)

と表される. $(dm(D)/dt)_{cr}$ は,
\begin{displaymath}
\left(\DD{m}{t}\right)_{cr} = \frac{\pi}{4}D^{2} V_D E \rho q_{c}
\end{displaymath} (C.7)

と表される. ここで $V_D$ は雨粒の落下速度, $E$ は雨粒と衝突した雲粒 のうち雨粒に併合される割合を表す係数(捕捉係数)である.

雨粒のサイズ分布関数と雨粒の落下速度 $V_D$ を以下のように仮定する.

$\displaystyle N_{D}$ $\textstyle =$ $\displaystyle N_{0}\exp (-\lambda D),$ (C.8)
$\displaystyle V_D$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1.4389 \left( \frac{\rho_w g D}{\rho} \right)^{1/2}.$ (C.9)

ここで $N_{0}, \lambda $ はパラメータである. 式([*])の分布は一般にマーシャル・パルマー型分布 (Marshall and Palmer, 1948) と呼ばれる. Kessler (1969) では $N_{0}=10^{7}$ とする. これを式(C.6)に代入すると,
$\displaystyle CL_{cr}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \pi}{4} \left( \frac{\rho_w g D}{\rho}
\right)^{1/2} E N_{0} q_{c}
\int_{0}^{\infty}D^{2.5}\exp(-\lambda D)\Dd D$ (C.10)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \pi}{4}
\left( \frac{\rho_w g D}{\rho} \right)^{1/2} E N_{0} q_{c}
\frac{3.75}{\lambda ^{3}}\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 3.75 \pi^{3/2}}{8}
\left( \frac{\rho_w g D}{\rho} \right)^{1/2}
E N_{0} q_{c} \lambda ^{-3.5}$ (C.11)

を得る. ここで $E$$D$ によらないと仮定した. Kessler (1969) では $E=1$ とする.

雨粒のサイズ分布曲線の傾きを表すパラメータ $\lambda$ は, 以下の式を用 いて雨水比湿 $q_{r}$ で置き換える.

$\displaystyle q_{r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\rho}\int _{0}^{\infty} \rho_{w}
\frac{\pi}{6} D^{3}
N_{D}\Dd D$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\pi N_{0}\rho_{w}}{6 \rho}\int _{0}^{\infty}
D^{3}\exp(-\lambda D)\Dd D$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\pi N_{0}\rho_{w}}{6 \rho}\frac{6}{\lambda ^{4}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\pi N_{0}\rho_{w}}{\rho}\lambda ^{-4}.$ (C.12)

ここで $\rho_{w}$ は液相の密度である. これを $\lambda$ について解き, 式(C.11)に代入すると,
$\displaystyle CL_{cr}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 3.75 \pi^{3/2}}{8}
\left( \frac{\rho_w g D}{\...
...ght)^{1/2}
E N_{0} q_{c}
\left( \frac{\rho q_r}{\pi N_0 \rho_w} \right)^{0.875}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 3.75 \pi^{5/8}}{8}
E N_{0}^{1/8}
g^{1/2} \left( \frac{\rho}{\rho_w} \right)^{0.375}
q_{c} q_r^{0.875}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 10.344
g^{1/2} \left( \frac{\rho}{\rho_w} \right)^{0.375}
q_{c} q_r^{0.875}$ (C.13)

となる. 最後の式変形では, $N_{0}=10^{7}, E=1$ を代入した.

C.3 平均終端速度

平均終端速度 $V_{term}$ は雨滴の鉛直フラックス $F_r$, 雨滴密度 $\rho_r$ により

$\displaystyle V_{term} = \frac{F_r}{\rho_r}$     (C.14)

と表される. $\rho_r$, $F_r$ はそれぞれ以下のように表される.
$\displaystyle \rho_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} N_D m dD,$ (C.15)
$\displaystyle F_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} N_D m V_D dD.$ (C.16)

ここで $m$ は直径 $D$ の雨滴の質量であり,
$\displaystyle m = \frac{\pi}{6} D^3 \rho_w$     (C.17)

と書ける. (C.8), ([*]), (C.17) を (C.15), (C.16) に 適用すると,
$\displaystyle \rho_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} N_0 \exp(- \lambda D) \frac{\pi}{6} \rho_w
D^3 dD$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\pi \rho_w N_0}{\lambda^4}$ (C.18)
$\displaystyle F_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} N_0 \exp(- \lambda D) \frac{\pi}{6} \rho_w
D^3 1.4389 \left( \frac{\rho_w g D}{\rho} \right)^{1/2} dD$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 105 \pi^{3/2}}{96}
\rho_w^{3/2} g^{1/2} \rho^{-1/2} N_0 \lambda^{- 9/2}$ (C.19)

となる. (C.18) を (C.19) に代入して $\lambda$ を消去すると,
$\displaystyle F_r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 105 \pi^{3/2}}{96}
\rho_w^{3/2} g^{1/2} \rho^{-1/2} N_0
\left( \frac{\rho_r}{\pi N_0 \rho_w} \right)^{9/8}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 105 \pi^{3/8}}{96}
\rho_w^{3/8} g^{1/2} \rho^{-1/2} N_0^{-1/8} \rho_r^{9/8}$ (C.20)

となる. (C.14) に (C.20) を代入すると
$\displaystyle V_{term}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.4389 \times 105 \pi^{3/8}}{96}
\rho_w^{3/8} g^{1/2} \rho^{-1/2} N_0^{-1/8} \rho_r^{1/8}$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle 0.3224 g^{1/2} \left( \frac{\rho_w}{\rho} \right)^{0.375}
q_r^{0.125}$ (C.21)

が得られる.

C.4 雨水の蒸発

蒸発による雨水混合比の変化率 $EV_{rv}$ は, 式([*]) と同様に

\begin{displaymath}
EV_{rv} = \frac{1}{\rho_{d}}\int _{0}^{\infty}\left(\DD{m}{t}\right)_{ev}
N_{D}\Dd D
\end{displaymath} (C.22)

と表される. ここで $(dm(D)/dt)_{ev}$ は直径 $D$ の単一の雨粒の蒸発によ る質量変化率である.

雨水の蒸発は雨粒の表面からの水蒸気の拡散によって律速されると仮定する. 雨粒周囲の水蒸気フラックスを $F$ とすると, 雨粒の質量の変化率は

\begin{displaymath}
\left(\DD{m}{t}\right)_{ev} = - 4\pi r_{d}^{2}F(r_{d})
\end{displaymath} (C.23)

と表される. ここで $r$ は雨粒中心からの距離, $r_{d}$ は雨粒の半径で, $F$

\begin{displaymath}
F = - K_{d}\DD{\rho_{v}}{r}
\end{displaymath}

と表される. $\rho_{v}$ は水蒸気の密度, $K_{d}$ は水蒸気の拡散係数であ る. 雨粒の周囲では水蒸気フラックスの収束発散はないと仮定すると,

\begin{displaymath}
\frac{1}{r^{2}}\DP{}{r}\left(r^{2}F\right) = 0
\end{displaymath}

が成り立つ. これを積分し

\begin{displaymath}
\rho _{v} = -\frac{C_{1}}{r} + C_{2}
\end{displaymath}

境界条件 $r=r_{d}$ $\rho_{v} = \rho_{v,s}$, $r=\infty$ $\rho_{v}=\rho_{v,\infty}$ を適用すると,

\begin{displaymath}
C_{1} = (\rho _{v,\infty}-\rho_{v,s})r_{d},
\quad C_{2} = \rho _{v,\infty}
\end{displaymath}

これより, 雨粒表面での拡散による水蒸気フラックスは
$\displaystyle F(r_{d})$ $\textstyle =$ $\displaystyle - K_{d}\left.\DD{\rho_{v}}{r}\right\vert _{r=r_{d}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle K_{d}\frac{\rho_{v,s} - \rho _{v,\infty}}{r_{d}}$ (C.24)

よって,
\begin{displaymath}
\left(\DD{m}{t}\right)_{ev} = - 4\pi r_{d}K_{d}(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty})
\end{displaymath} (C.25)

と表される. 雨粒が落下しながら蒸発する場合には, $K_{d}$ に補正項のついた
\begin{displaymath}
\left(\DD{m}{t}\right)_{ev} = - 4\pi r_{d}\left(1+\frac{Fr}{s}\right)
K_{d}(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty})
\end{displaymath} (C.26)

が用いられる. ここで $F$ は換気因子, $s$ は雨粒表面でのクヌーセン層の 厚さであるC.3.

Kessler (1969) では, (C.26)の右辺の項を 以下のように近似する.

\begin{eqnarray*}
4\pi r_{d}\left(1+\frac{Fr}{s}\right) &\sim& 2.24\times 10^{3...
...} - \rho_{v,\infty}) &\sim& 10^{-5}(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty}).
\end{eqnarray*}

このとき(C.26)は
\begin{displaymath}
\left(\DD{m}{t}\right)_{ev} \sim
- 2.24\times 10^{-2}(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty})D^{1.6}
\end{displaymath} (C.27)

となる. これを式(C.22)に代入し, 雨粒のサイズ分布として(C.8)を 仮定すると,
$\displaystyle EV_{rv}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{\rho_{d}}2.24\times 10^{-2}(q_{v,s} -q_{v,\infty})\int _{0}^{\infty}
D^{1.6}N_{D}\Dd D,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - 2.24\times 10^{-2}(q_{v,s} -q_{v,\infty})\int _{0}^{\infty}
D^{1.6}N_{0}\exp(-\lambda D)\Dd D$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - 2.24\times 10^{-2}(q_{v,s} -q_{v,\infty})
N_{0}\frac{\Gamma(2.6)}{\lambda ^{13/5}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - 2.24\times 10^{-2}
\Gamma(2.6) (\pi \rho_{w})^{-0.65}
N_{0}^{0.35}
(q_{v,s} -q_{v,\infty})
(\rho_{d}q_{r})^{0.65}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - 1.7\times 10^{-4}N_{0}^{0.35}(q_{v,s} -q_{v,\infty})
(\rho_{d}q_{r})^{0.65}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - 4.81\times 10^{-2}(q_{v,s} -q_{v,\infty})
(\rho_{d}q_{r})^{0.65}$ (C.28)

最後の式変形を行う際には(C.12)式の関係を用いて $\lambda$ を消去し, $\Gamma(2.6)=1.4296245$, $N_{0}=10^{7}$ とした C.4.



... について解説するC.1
本章の内容は Ogura and Takahashi (1971), 浅井 (1983) を参考に した.
... としているC.2
Kessler(1969) では $C_D$ をどのように決めたのかについては書かれていない. Gunn and Kinzer(1949) によると, レイノルズ数が 3000 程度である雨粒の $C_D$ の値は 0.66 となるので, Kessler(1969) は系の特徴的なレイノルズ数が 3000 程度であると想定して $C_D$ の値を決めたのかも知れない.
... 厚さであるC.3
この式の導出は要確認.
... としたC.4
Kessler (1969) では最終的には

\begin{displaymath}
EV_{rv} = 4.85\times 10^{-2}(q_{v,s} -q_{v,\infty})(\rho_{d}q_{r})^{0.65}
\end{displaymath}

としている.

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Yamashita Tatsuya 平成21年11月25日