: B. 乱流パラメタリゼーション
: 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化
: 2. 参考文献
地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の
分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような
系を考える. このような系では温位
が保存量として使える.
水平鉛直 2 次元大気の状態を
気温
, 圧力
, 風速
, 密度
で表現する場合,
基礎方程式系は以下のようになる.
- 運動方程式
-
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(A.1) |
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(A.2) |
- 連続の式
-
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(A.3) |
- 全密度の式
-
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(A.4) |
- 熱の式
-
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(A.5) |
- 比湿の時間発展方程式
-
ここで
は平均定圧比熱であり,
である.
は非断熱加熱,
は比湿,
は雲水比湿,
は雨水比湿である.
は, 凝結成分の数だけ存在する.
,
,
はそれぞれ
乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.
各分子に対する状態方程式より
となる.
但し
,
はそれぞれ気相密度, 平均気体定数であ
り,
である.
凝結物の体積及び比熱が無視できると仮定すると, 熱力学第一法則は
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(A.14) |
と書ける.
(A.11) を (A.14) の右辺第 1 項に適用すると,
となる.
従って (A.14) は
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(A.16) |
と書き換えられる.
ここで
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(A.17) |
と置くことにより,
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(A.18) |
が得られる.
温位は乾燥断熱状態における保存量である.
乾燥断熱状態を表す熱力学の式は (A.18) より
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(A.19) |
である.
(A.11) より
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(A.20) |
である.
ここで
は平均気体定数である.
(A.19) 式に (A.20) 式を代入し整理すると,
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(A.21) |
となる. 凝結を生じない場合には気塊の組成は変化しないので
と
は共に
に依存しない.
一般に
は
の関数であるが,
を定数とみなすと,
となり, 温位が得られる.
凝結物の密度も含めた仮温位
を導く.
全圧
を変形すると,
但し
は平均分子量であり, 普遍気体定数を
として
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(A.24) |
である.
を定数とみなしているので,
もまた
定数である.
ここで仮温度を
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(A.25) |
と定義すると,
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(A.26) |
となる.
更に仮温位
を
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(A.27) |
と定義すると,
となる.
密度の時間発展の式は
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(A.30) |
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(A.31) |
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(A.32) |
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(A.33) |
と書ける.
となること
に注意して, (A.30) - (A.33) の和をとると,
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(A.34) |
が得られる.
(A.30) - (A.34) より
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![$\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]
+ \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) \right]$](img260.png) |
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(A.35) |
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![$\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
...ight] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_v
u_j) + M_{src} (\rho_v) \right]$](img264.png) |
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(A.36) |
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![$\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
...ight] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_c
u_j) + M_{src} (\rho_c) \right]$](img268.png) |
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(A.37) |
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![$\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$](img272.png) |
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![$\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_r u_j) + M_{src} (\rho_r)
+ M_{fall} (\rho_r) \right]$](img273.png) |
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(A.38) |
即ち
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(A.39) |
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(A.40) |
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(A.41) |
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(A.42) |
を得る.
水平鉛直 2 次元大気の状態を
温位
, 無次元圧力
, 風速
, 密度
で表現する場合,
基礎方程式系は以下のようになる.
- 運動方程式
-
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(A.43) |
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(A.44) |
- 圧力方程式
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- 状態方程式
-
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(A.45) |
- 熱の式
-
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(A.46) |
- 非凝結性ガス・凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
-
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(A.47) |
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(A.48) |
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(A.49) |
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(A.50) |
ただし, エクスナー関数
は,
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(A.51) |
であり, 音速
は
である.
運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.
(A.46), (A.52) より
圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる.
まず密度
の全微分を計算すると,
となる.
ここで
は音波であり,
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(A.55) |
である.
(A.55) 式を圧力の式として整理すると,
となり, 圧力方程式が得られる.
準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.
変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する.
この時, 変数は以下のように書ける.
ここで基本場の風速
と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした.
そして基本場には静水圧平衡
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(A.57) |
の関係が成り立つものとする.
水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は
方向に
は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
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(A.58) |
鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
さらに静水圧の式
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(A.59) |
を利用すると以下のようになる.
仮温位
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(A.60) |
を基本場成分と擾乱成分に分けると,
となるので, 浮力項は
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(A.63) |
と書き換えられる.
従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
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(A.64) |
となる.
Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と
凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない.
(A.57) に (A.39), (A.40) を代入する
と,
となる.
(A.66) の左辺を線形化すると,
乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと,
圧力方程式を線形化したときの
, 及び
からの寄与は基本場成分のみとなる.
従って (A.66) の右辺を線形化すると,
従って線形化された圧力方程式は
と表される.
ここで
となる.
(A.67) の右辺第 1 項, 第 2 項をまとめると,
以上より,
である.
熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.
ここで平均場の量は
の関数であることを用いると,
となる.
凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する.
熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ
存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに
等しい.
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(A.69) |
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(A.70) |
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(A.71) |
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(A.72) |
但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.
準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.
- 運動方程式
-
- 圧力方程式
-
- 熱の式
-
- 比湿の保存式
-
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(A.77) |
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(A.78) |
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(A.79) |
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(A.80) |
: B. 乱流パラメタリゼーション
: 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化
: 2. 参考文献
Yamashita Tatsuya
平成21年10月2日