微量成分凝結系, 主成分凝結系の両方で使用可能な方程式系

ある 1 種類の分子が大気主成分である場合について考える. また乾燥成分は 1 種類であり, 凝結成分が複数種類存在しうるものとする. 即ち全密度 $\rho$ が

$$\rho = \rho_{d} + \sum_{j} \rho_{v}^{(j)} + \sum_{j} \rho_{s}^{(j)}$$ (1)

と表される場合について考える.

凝結成分のみから成る大気の場合, 混合比は常に $+ \infty$ となり, 計算上の 取扱いが厄介である. そこで以下に示す分母に全密度 $\rho$ を用いた物理量(本文書では以後「全密 混合比」と呼ぶこととする)を導入する.

$$\beta_{d} \equiv \frac{\rho_d}{\rho},$$ (2)

$$\beta_{v}^{(i)} \equiv \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho},$$ (3)

$$\beta_{s}^{(i)} \equiv \frac{\rho_s^{(i)}}{\rho}.$$ (4)

$\beta_v$ は地球の気象用語の「比湿」に相当するものである.

また以下の仮定を行なう.

• 定圧比熱, 定積比熱は温度・圧力に依存せず一定である.
• 定圧比熱, 定積比熱は大気主成分の比熱で近似できる.

線形化前

新たな方程式系での予報変数は水平流速 $u$, 鉛直流速 $w$, 温位 $\theta$, エクスナー関数 $\Pi$, 全密混合比 $\beta_v$, $\beta_s$ である.

$$\DD{u}{t} = - c_{pmj} \theta_v \DP{\Pi}{x} + D(u),$$ (5)

$$\DD{w}{t} = - c_{pmj} \theta_v \DP{\Pi}{z} - g + D(w),$$ (6)

$$\DD{\theta}{t} = \Dinv{\Pi} \dot{Q} + D(\theta),$$ (7)

$$\DD{\Pi}{t} = \frac{{c_s}^2}{c_{pmj} \theta_v} \Bigg[ - \DP{u}{x} - \DP{w}{z} + \Dinv{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} + \Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$$

$$+ \Dinv{\beta_{mj} + \sum_{j} \beta_{mn}^{(j)} M_{mj} / M_{mn}^{(... ...+ \sum_{j} \frac{M_{mj}}{M_{mn}^{(j)}} \DD{\beta_{mn}^{(j)}}{t} \right) \Bigg],$$ (8)

$$\DD{\beta_{v}^{(i)}}{t} = - \frac{\beta_{v}^{(i)}}{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} - \Dinv{\rho} M_{src}^{(i)} + D(\beta_v^{(i)}),$$ (9)

$$\DD{\beta_{s}^{(i)}}{t} = - \frac{\beta_{s}^{(i)}}{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} + \Dinv{\rho} M_{fall}^{(i)} + \Dinv{\rho} M_{src}^{(i)} + D(\beta_s^{(i)}).$$ (10)

ここで下付き添字の $mj$, $mn$ はそれぞれ大気主成分, 微量成分であることを 表す. また

$$\theta = T \left( \frac{p}{p_0} \right)^{R_{mj}/c_{pmj}},$$ (11)

$$\Pi = \left( \frac{p_0}{p} \right)^{R_{mj}/c_{pmj}},$$ (12)

$$\theta_v = \frac{1}{1 - \sum_{j} \beta_s^{(j)} } \left( \beta_{mj} + \sum_{j} \beta_{mn}^{(j)} \frac{R_{mn}^{(j)}}{R_{mj}} \right) \theta,$$ (13)

$${c_s}^2 = \frac{c_{pmj}}{c_{vmj}} R_{mj} \Pi \theta_v.$$ (14)

である.

線形化後

各変数を以下のように基本場成分と擾乱成分に分ける.

$$u (x,z,t) = u^{\prime} (x,z,t),$$ (15)

$$w (x,z,t) = w^{\prime} (x,z,t),$$ (16)

$$\theta (x,z,t) = \overline{\theta} (z) + \theta^{\prime} (x,z,t),$$ (17)

$$\Pi (x,z,t) = \overline{\Pi} (z) + \Pi^{\prime} (x,z,t),$$ (18)

$$\beta_v^{(i)} (x,z,t) = \overline{\beta_v} (z) + {\beta_v^{(i)}}^{\prime} (x,z,t),$$ (19)

$$\beta_s^{(i)} (x,z,t) = {\beta_s^{(i)}}^{\prime} (x,z,t).$$ (20)

移流項以外の 2 次の微小量を無視すると, 以下のようになる.

$$\DP{u^{\prime}}{t} = - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z} - c_{pmj} \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x} + D(u^{\prime}),$$ (21)

$$\DP{w^{\prime}}{t} = - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z} - c_{pmj} \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z} + D(w^{\prime})$$

$$+ \left[ \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} + \frac{\beta_... ...{mj}} + \sum_{j} \overline{\beta_{mn}^{(j)}} M_{mj} / M_{mn}^{(j)} } \right] g,$$ (22)

$$\DP{\theta^{\prime}}{t} = - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{z} + \frac{\overline{\theta}}{\overline{T}} \dot{Q} + D(\theta),$$ (23)

$$\DP{\Pi^{\prime}}{t} = - \frac{\overline{c_s}^2}{c_{pmj} \overline{\rho} \overline{\thet... ...ne{c_s}^2}{c_{pmj} \overline{\rho} \overline{\theta_v}} \sum_{j} M_{fall}^{(j)}$$

$$+ \frac{\overline{c_s}^2}{c_{pmj} \overline{\theta_v}} \Bigg\{ \D... ...rline{\beta_{mj}} + \sum_{j} \overline{\beta_{mn}^{(j)}} M_{mj} / M_{mn}^{(j)}}$$

$$\left[ \left( \DD{\beta_{mj}}{t} \right)^{\prime} + \sum_{j} \fra... ...M_{mn}^{(j)}} \left( \DD{\beta_{mn}^{(j)}}{t} \right)^{\prime} \right] \Bigg\},$$ (24)

$$\DP{{\beta_v^{(i)}}^{\prime}}{t} = - u^{\prime} \DP{ {\beta_{v}^{(i)}}^{\prime} }{x} - w^{\prime} \D... ...sum_{j} M_{fall}^{j} - \Dinv{\overline{\rho}} M_{src}^{(i)} + D(\beta_v^{(i)}),$$ (25)

$$\DP{{\beta_s^{(i)}}^{\prime}}{t} = - u^{\prime} \DP{ {\beta_{v}^{(i)}}^{\prime} }{x} - w^{\prime} \D... ...ll}^{(i)} + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src}^{(i)} + D({\beta_s^{(i)}}^{\prime}).$$ (26)

付録

全密混合比の時間発展方程式の導出

$\rho_d$, $\rho_v^{(i)}$, $\rho_s^{(i)}$ の連続の式はそれぞれ

$$\DP{\rho_d}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) = 0,$$ (27)

$$\DP{\rho_v^{(i)}}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_v^{(i)} u_j) = - M_{src}^{(i)},$$ (28)

$$\DP{\rho_s^{(i)}}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_s^{(i)} u_j) = M_{src}^{(i)} + M_{fall}^{(i)}$$ (29)

と表される. (27), (28), (29) より, $\rho$ に関する連続 の式は

$$\DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} (\rho u_j) = \sum_{j} M_{fall}^{(i)}$$ (30)

となる. (27), (28), (29), (30) より

$$\DP{}{t} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right) = - \frac{\rho_d}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_d}{t}$$

$$= - \frac{\rho_d}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum_{j} M_{fall}^{(j)} \right] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) \right]$$

$$= - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right) - \frac{\rho_d}{\rho^2} \sum_{j} M_{fall}^{(j)},$$ (31)

$$\DP{}{t} \left( \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho} \right) = - \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_v^{(i)}}{t}$$

$$= - \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \s... ...t] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_v^{(i)} u_j) - M_{src}^{(i)} \right]$$

$$= - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho} \right) - \frac{\rho_v^{(i)}}{\rho^2} \sum_{j} M_fall^{(j)} - \Dinv{\rho} M_{cond}^{(i)},$$ (32)

$$\DP{}{t} \left( \frac{\rho_s^{(i)}}{\rho} \right) = - \frac{\rho_s^{(i)}}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_s^{(i)}}{t}$$

$$= - \frac{\rho_s^{(i)}}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \s... ...\left[ - \DP{}{x_j} (\rho_s^{(i)} u_j) + M_{src}^{(i)} + M_{fall}^{(i)} \right]$$

$$= - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_s^{(i)}}{\rho} \right) - \frac... ...um_{j} M_{fall}^{(i)} + \Dinv{\rho} M_{src}^{(i)} + \Dinv{\rho} M_{fall}^{(i)}.$$ (33)

即ち

$$\DD{\beta_{d}}{t} = - \frac{\beta_{d}}{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} + D(\beta_d^{(i)}),$$ (34)

$$\DD{\beta_{v}^{(i)}}{t} = - \frac{\beta_{v}^{(i)}}{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} - \Dinv{\rho} M_{src}^{(i)} + D(\beta_v^{(i)}),$$ (35)

$$\DD{\beta_{s}^{(i)}}{t} = - \frac{\beta_{s}^{(i)}}{\rho} \sum_{j} M_{fall}^{(j)} + \Dinv{\rho} M_{fall}^{(i)} + \Dinv{\rho} M_{src}^{(i)} + D(\beta_s^{(i)}).$$ (36)

を得る.

仮温位の導出

状態方程式より

$$p = p_{mj} + \sum_{j} p_{mn}^{j}$$

$$= (\rho_{mj} R_{mj} + \sum_{j} \rho_{mn}^{(j)} R_{mn}^{(j)}) T$$

$$= \rho_g \frac{\rho}{\rho_g} \left( \frac{\rho_{mj}}{\rho} R_{mj} + \sum_{j} \frac{\rho_{mn}^{(j)}}{\rho} R_{mn}^{(j)} \right) T$$

$$= \rho_g \frac{1}{1 - \sum_{j} \rho_s^{(j)} / \rho} \left( \frac{\r... ...j}}{\rho} R_{mj} + \sum_{j} \frac{\rho_{mn}^{(j)}}{\rho} R_{mn}^{(j)} \right) T$$

$$= \rho_g R_{mj} \frac{1}{1 - \sum_{j} \beta_s^{(j)} } \left( \beta_{mj} + \sum_{j} \beta_{mn}^{(j)} \frac{R_{mn}^{(j)}}{R_{mj}} \right) T.$$ (37)

但し $\rho_g$ は気相密度である. ここで仮温度 $T_v$ を

$$T_v \equiv \frac{1}{1 - \sum_{j} \beta_s^{(j)} } \left( \bet... ...sum_{j} \beta_{mn}^{(j)} \frac{R_{mn}^{(j)}}{R_{mj}} \right) T$$ (38)

と定義する. 更に仮温位 $\theta_v$ を

$$\theta_v \equiv \frac{T_v}{\Pi}$$ (39)

と定義すると,

$$\theta_v = \frac{1}{1 - \sum_{j} \beta_s^{(j)} } \left( \bet... ...j} \beta_{mn}^{(j)} \frac{R_{mn}^{(j)}}{R_{mj}} \right) \theta$$ (40)

となる.

圧力傾度力の書き換え

運動方程式

$$\DD{u}{t} = - \Dinv{\rho_g} \DP{p}{x} + D(u),$$ (41)

$$\DD{w}{t} = - \Dinv{\rho_g} \DP{p}{z} - g + D(w),$$ (42)

の圧力傾度力を書き換える. (37), (38), (39) より

$$\rho_g = \frac{p}{R_{mj} \Pi \theta_v} = \frac{p_0 \Pi^{c_{vmj} / R_{mj}}}{R_{mj} \theta_v}$$ (43)

となるので,

$$\Dinv{\rho_g} \DP{p}{x_i} = c_{pmj} \theta_v \DP{\Pi}{x_i}$$ (44)

となる.

この文書について...

準圧縮方程式系・改

この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-1.8 版)

Copyright © 1998, 1999, Kenshi Muto, Debian Project.
Copyright © 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.

を用いて生成されました。

コマンド行は以下の通りでした。:
latex2html -no_footnode -local_icons -short_extn -bottom_navigation -no_contents_in_navigation -no_auto_link -up_url /arch/deepconv/index.htm -up_title deepconv -split 3 -show_section_numbers -dir ../htm teishiki.tex.

翻訳は Yamashita Tatsuya によって 平成21年7月2日 に実行されました。