\documentclass[a4j,12pt,dvipdfmx]{jarticle}
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\Dtitle{Mitchell and Vallis (2010) \\数値実験設定}
\Dauthor{竹広 真一}
\Ddate{2025/12/29}

\Dnoparindent
\Dparskip


\begin{document}

\maketitle

この文章は GCM を用いての惑星パラメター変更実験を
行った Mitchell and Vallis (2010) の数値実験設定について
記述する.

\section{放射平衡温度}

地表面での温度分布を
%
\begin{align}
  T_o(\varphi) = \bar{T}\left[ 1 + \frac{\Delta_H}{3}(1-\sin^2\varphi)\right]
\end{align}
%
と与える. ここで $\varphi$ は緯度,
$\bar{T}$ は全球平均地表面温度である.

鉛直温度構造は, 湿潤断熱減率を意識して, 温度傾度 $\Gamma = 6$ K/Km を与える.
その場合, 圧力座標では
%
\begin{align}
  \Gamma & = \DP{T}{z}  = \DP{p}{z}\DP{T}{p} = -\rho g \DP{T}{p} = -\frac{pg}{RT}\DP{T}{p},
  \quad
  \frac{1}{T} \DP{T}{p} = -\frac{R\Gamma}{g}\frac{1}{p},
  \\
  \frac{T}{T_0} &= \left(\frac{p_0}{p}\right)^{\kappa^*}, 
  \quad \kappa^* = \frac{R\Gamma}{g}. 
\end{align}
%
すなわち, 乾燥大気での断熱温度分布を規定する $\kappa=R/Cp$ の
値を湿潤温度減率に修正したものとなっている.
$g/Cp$ が乾燥断熱温度勾配である.

温度一様な成層圏を考えるため, 全球平均温度の 70\% より
低くならないように設定する

地表面付近の境界層を,  $p/p_s$ を上端として定め, 
自由大気での放射緩和時間を 40 days, 境界層内で 4 days と与える.
その関数形は Held and Suarez (1994) と同じである. 


\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{|c||c|}\hline
    成層圏温度 $T_{st}$ & $0.7\bar{T}$
    \\
    鉛直温度傾度 $\Gamma$ & 0.6 K km${}^{-1}$
    \\
    境界層高さ $\sigma_b$           & $\sigma_b=p_b/p_s = 0.74$
    \\
    放射緩和時間 (自由大気) $\tau_{rad,f}$ & 40 days
    \\
    放射緩和時間 (境界層) $\tau_{rad,b}$ & 1 days
    \\
    Rayleigh 摩擦緩和時間 (地表面) $\tau_{R,s}$ & 1 day
    \\
    鉛直粘性係数 $\nu$ & $0.01$ m${}^2$s${}^{-1}$
    \\\hline
  \end{tabular}
  \caption{
    放射平衡温度, 境界層, 散逸過程に関するパラメター.
  }
\end{table}

\section{境界層と散逸過程}

境界層内では Rayleigh 摩擦が働く.
その緩和時間を地表面で 1 day, 境界層の上端に向かって増大させる.
自由大気では小さな鉛直粘性のみ与え,
その係数を $\nu=0.01$ m${}^2$s${}^{-1}$ とする.

格子スケールの散逸として 4 次の超粘性を導入する.


\section{実験パラメター}

\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{|c||ccc|}\hline
    & \multicolumn{3}{c|}{$Ra_T$}\\
    & 0.02 & 1.3 & 10.6
    \\\hline
    $a$ & $6.4\times 10^6$m &$8\times 10^5$m & $2.8\times 10^5$m
    \\
    $\Omega$  & $7\times 10^{-5}$ s${}^{-1}$ & - & -
    \\
    $\bar{T}$ & $285$ K & -& -
    \\
    $\Delta_H$ & $0.2$ & - & -
    \\\hline
  \end{tabular}
  \caption{
    数値実験パラメター. 
  }
\end{table}

\appendix

\section{質量流線関数}

MV10 の Fig.2 には質量流線関数が描画されている.
その計算方法は論文に記述されていないので,
ここでの方法を定式化しておく.

計算したいのは, 定常状態の帯状平均質量流線関数 $\Psi(\varphi,\sigma)$ である.
$\sigma$ 座標系での連続の式は
%
\begin{align}
  \DD{\pi}{t} + \Ddiv_H\Dvect{v}_H + \DP{\dot\sigma}{\sigma} = 0,
\end{align}
%
である. ここで $\pi = \ln p_s(\lambda,\varphi)$,
下付き添え字 $H$ は水平成分を表す.

定常状態 $\partial/\partial t=0$ と仮定すると
\footnote{
\begin{align*}
  & \Dvect{v}_H \cdot\Dgrad_H \ln p_s
  + \Ddiv_H\Dvect{v}_H + \DP{\dot\sigma}{\sigma} = 0,
  \quad
   \Dvect{v}_H \cdot\Dgrad_H p_s
  + p_s\Ddiv_H\Dvect{v}_H + p_s\DP{\dot\sigma}{\sigma} = 0,
  \\
  & \Ddiv_H(p_s \Dvect{v}_H) + \DP{}{\sigma}(p_s\dot\sigma) = 0.
\end{align*}

},
%
\begin{align*}
  \Ddiv_H(p_s \Dvect{v}_H) + \DP{}{\sigma}(p_s\dot\sigma) = 0.
\end{align*}
%
帯状平均した式は
%
\begin{align}
  \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{}{\varphi}(\overline{p_sv_\varphi}\cos\varphi)
  + \DP{}{\sigma}(\overline{p_s\dot\sigma}) = 0, 
\end{align}
%
したがって, この式を満たすよう関数 $G(\varphi,\sigma)$ を次のように定義する. 
%
\begin{align}
  &
  \overline{p_sv_\varphi}\cos\varphi = \DP{G}{\sigma},
  \quad
  \overline{p_s\dot\sigma} = - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{G}{\varphi},
  \\
  &
  G(\varphi,\sigma) = \int_\sigma^0 \overline{p_sv_\varphi}\cos\varphi d\sigma
  = \cos\varphi \int_\sigma^0 \overline{p_sv_\varphi} d\sigma.
\end{align}
%
次元が質量フラックスになるように係数調整して
\footnote{
  質量フラックス本来の定義から導出すると,
  緯度面, 水平面を横切っての質量の時間変化 $M_\varphi$, $M_z$ は
  \begin{align*}
    M_\varphi & \equiv 2\pi a \cos\varphi \int \rho v_\varphi dz
                = 2\pi a \cos\varphi \int \rho v_\varphi \frac{dz}{dp}dp
                = 2\pi a \cos\varphi \int \frac{v_\varphi}{g} dp
                = 2\pi a \cos\varphi \int \frac{p_s v_\varphi}{g} d\sigma,
    \\
    M_z & \equiv 2\pi a \int \rho w a\cos\varphi d\varphi
          = 2\pi a \int \rho \DD{z}{t} a\cos\varphi d\varphi
          = 2\pi a \int \rho \DD{p}{t}\frac{dz}{dp} a\cos\varphi d\varphi
          = 2\pi a \int \DD{p}{t} a\cos\varphi d\varphi
    \\
        & = 2\pi a \int \DD{}{t}(p_s \sigma) a\cos\varphi d\varphi
          = 2\pi a \int p_s \dot\sigma a\cos\varphi d\varphi.
  \end{align*}
}
%
\begin{align}
  \Psi &= \frac{2\pi a}{g}G
         =\frac{2\pi a \cos\varphi}{g}
         \int_\sigma^0 \overline{p_sv_\varphi} d\sigma,
  \\
  F_{m,\varphi} & = \frac{2 \pi a \overline{p_sv_\varphi}}{g} 
               = \frac{1}{\cos\varphi}\DP{\Psi}{\sigma},
  \quad
  F_{m,\sigma}  = \frac{2 \pi a^2 \overline{p_s\dot\sigma}}{g}
              = - \frac{1}{a\cos\varphi}\DP{\Psi}{\varphi}.
\end{align}
%
ここで $\Dvect{F}_m=(0, F_{m,\varphi},F_{m,\sigma})$ は
$\sigma$ 座標系での帯状積分した質量フラックスの緯度, 鉛直成分であり,
$\Ddiv \Dvect{F}_m = 0$ となっている. 


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
