\documentclass{jarticle}
\begin{document}
\title{数値計算実習課題その1}
\author{山根史弥　(joho11)}
\date{2011/7/1(金)出題分}
\maketitle

\section{問題1}
\textgt{1}

中心星、惑星の質量をそれぞれ${m_1}$,${m_2}$、位置ベクトルを${{\bf r}_1}$,${{\bf r}_2}$とおく。

万有引力の法則
\[F=-\frac{GmM}{r^{2}}\]
を用いると、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式はそれぞれ
\begin{eqnarray}
m_1\ddot{{\bf r}_1}=-\frac{Gm_1m_2}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^3}({\bf r}_1 - {\bf r}_2)
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
m_2\ddot{{\bf r}_2}=-\frac{Gm_1m_2}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1)
\end{eqnarray}
となる。

(1)式の両辺を${m_1}$で割ると
\begin{eqnarray}
\ddot{{\bf r}_1}=-\frac{Gm_2}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^3}({\bf r}_1 - {\bf r}_2)
\end{eqnarray}
また、(2)式の両辺を${m_2}$で割ると
\begin{eqnarray}
\ddot{{\bf r}_2}=-\frac{Gm_1}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1)
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
{\bf r}={\bf r}_2 - {\bf r}_1
\end{eqnarray}
と相対ベクトル{\bf r}を定義し、両辺をtに関して2階微分すると
\begin{eqnarray}
\ddot{{\bf r}}=\ddot{{\bf r}_2} - \ddot{{\bf r}_1}
\end{eqnarray}
となるので、(3)式と(4)式を(6)式に代入すると
\begin{eqnarray}
\ddot{{\bf r}}&=&-\frac{G(m_1 + m_2)}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1) \nonumber \\
&=&-\frac{G(m_1 + m_2)}{r^3}{\bf r}
\end{eqnarray}
となる。

（7）式は、中心星から見た惑星の円運動を表している。

\vspace{0.2in}

\textgt{2}

(7)式の運動方程式を成分に分けることを考える。
簡単のため、2体は同一平面上を運動しているとする。
\begin{eqnarray}
{\bf r}&=&(x,y) \nonumber \\
{\bf v}&=&(v_x,v_y)=(\dot{x},\dot{y}) \nonumber \\
r&=&\sqrt{x^2+y^2} \nonumber
\end{eqnarray}
とすると(7)式より
\begin{eqnarray}
\dot{v_x}=\ddot{x}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dot{v_y}=\ddot{y}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}y
\end{eqnarray}
と表される。
\newpage
\section{問題2}
\textgt{1}

惑星と中心星は常にx軸上にあるので
\begin{eqnarray}
y_1=y_2=0
\end{eqnarray}

回転系での中心星、惑星のx座標をそれぞれ${x_1}$,${x_2}$とすると
\begin{eqnarray}
x_1&=&\frac{m_2}{m_1+m_2} \nonumber\\
&=&\frac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
x_2&=&\frac{m_1}{m_1+m_2} \nonumber\\
&=&\frac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2}
\end{eqnarray}
となる。(中心星と惑星との距離は1とする)

$\mu_1+\mu_2=1$であるから
\begin{eqnarray}
x_1&=&-\mu_2 \\ 
x_2&=&\mu_1
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
(x_1,y_1)&=&(-\mu_2,0) \\
(x_2,y_2)&=&(\mu_1,0)
\end{eqnarray}\vspace{0.2in}
\textgt{2}

角速度が${\omega}$なので、${\xi}$軸とx軸のなす角度${\theta}$は
\begin{eqnarray}
\theta={\omega}t
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
\xi&=&xcos\theta-ysin\theta \nonumber\\
&=&xcos{\omega}t-ysin{\omega}t 
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\eta&=&xsin\theta+ycos\theta \nonumber\\
&=&xsin{\omega}t+ycos{\omega}t
\end{eqnarray}
と表される。
\newpage
\textgt{3}

(18),(19)式をそれぞれ時間で2階微分する。
\[\dot{\xi}=\dot{x}cos\omega t - \omega x sin\omega t - \dot{y} sin\omega t - \omega y cos\omega t\]
\[\dot{\eta}=\dot{x} sin\omega t + \omega x cos\omega t + \dot{y} cos\omega t - \omega y sin\omega t\]
なので
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}=\ddot{x} cos\omega t - \ddot{y} sin\omega t - 2\omega \dot{x} sin\omega t - 2\omega \dot{y} cos\omega t - \omega^2 x cos\omega t + \omega^2 y sin\omega t
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\ddot{\eta}=\ddot{x} sin\omega t + \ddot{y} cos\omega t + 2\omega \dot{x} cos\omega t - 2\omega \dot{y} sin\omega t - \omega^2 x sin\omega t - \omega^2 y cos\omega t
\end{eqnarray}
となる。
\vspace{0.2in}

\textgt{4}

(20),(21)式より
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi} cos\omega t + \ddot{\eta} sin\omega t&=&\ddot{x} - 2\omega \dot{y} - \omega^2 x \\
-\ddot{\xi} sin\omega t + \ddot{\eta} cos\omega t&=&\ddot{y} + 2\omega \dot{x} - \omega^2 y
\end{eqnarray}
が成り立つ。

また、(18),(19)式より
\begin{eqnarray}
\xi_1&=&x_1 cos\omega t -y_1 sin\omega t \nonumber \\ 
\xi_2&=&x_2 cos\omega t -y_2 sin\omega t \nonumber \\
\eta_1&=&x_1 sin\omega t +y_1 cos\omega t \nonumber \\
\eta_2&=&x_2 sin\omega t +y_2 cos\omega t \nonumber 
\end{eqnarray}

(15),(16)式より

\begin{eqnarray}
\xi_1&=&-\mu_2 cos\omega t \\
\xi_2&=&\mu_1 cos\omega t \\
\eta_1&=&-\mu_2 sin\omega t \\
\eta_2&=&\mu_1 sin\omega t
\end{eqnarray}
となる。

したがって、(22),(23)式に、与式と(18),(19),(24)〜(27)式を代入して整理すると
\begin{eqnarray}
\ddot{x} - 2\omega \dot{y} - \omega^2 x&=&-\left[\mu_1 \frac{x + \mu_2}{r_1^3} + \mu_2 \frac {x - \mu_1}{r_2^3}\right] \\
\ddot{y} + 2\omega \dot{x} - \omega^2 y&=&-\left[\frac {\mu_1}{r_1^3} + \frac {\mu_2}{r_2^3}\right]y
\end{eqnarray}
が得られる。

\newpage

\textgt{5}
 
\[r_1=\sqrt{(x + \mu_2)^2 + y^2}\]
\[r_2=\sqrt{(x - \mu_1)^2 + y^2}\]
であるから、力のポテンシャルは
\begin{eqnarray}
U = \frac{\omega^2}{2}(x^2 + y^2) + \frac{\mu_1}{\sqrt{(x + \mu_2)^2 + y^2}} + \frac{\mu_2}{\sqrt{(x - \mu_1)^2 + y^2}}
\end{eqnarray}
となる。

ここで、x,yについて偏微分すると
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x}&=&\omega^2 x -(\mu_1 \frac{x + \mu_2}{r_1^3} + \mu_2 \frac {x - \mu_1}{r_2^3})　\\
\frac{\partial U}{\partial y}&=&\omega^2 y - (\frac {\mu_1}{r_1^3} + \frac {\mu_2}{r_2^3})y
\end{eqnarray}
となるので、粒子Pについての運動方程式は
\begin{eqnarray} 
\ddot{x} - 2\omega \dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x}
\end{eqnarray} 
\begin{eqnarray}
\ddot{y} + 2\omega \dot{x} = \frac{\partial U}{\partial y}
\end{eqnarray}
と表わされる。
\vspace{0.2in}

\textgt{6}

(33)の両辺に${\dot{x}}$、(34)の両辺に${\dot{y}}$をそれぞれかける。
\begin{eqnarray}
\dot{x} \ddot{x} - 2\omega \dot{x} \dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dot{y} \ddot{y} + 2\omega \dot{x} \dot{y} = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
\end{eqnarray}

(35)式と(36)式を足し合わせると
\begin{eqnarray}
\dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} &=& \frac{\partial U}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \nonumber\\
&=& \frac{dU}{dt}
\end{eqnarray}
となる。

(37)式を時間tについて積分すると
\begin{eqnarray}
U - \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = C_{J}
\end{eqnarray}
ここで、積分定数${C_{J}}$は円制限三体問題における保存量であり、ヤコビ定数と呼ばれる。



\end{document}