\documentclass[10pt]{jarticle}
\title{ITPASS数値計算実習 課題その1}
\author{原田竣也  joho 02}

\begin{document}
\maketitle
\newpage

\section{2体問題}
\subsection\
\noindent{万有引力についてのみ考えればよいので，中心星及び惑星の運動方程式はそれぞれ}
\begin{eqnarray}
m_1\ddot{\mbox{\boldmath $r_1$}}=-Gm_1m_2\frac{\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}}{|\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}|^3} \label{1} \\
m_2\ddot{\mbox{\boldmath $r_2$}}=-Gm_1m_2\frac{\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}}{|\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}|^3} \label{2}
\end{eqnarray}
と表せる．ここで(\ref{1})を$m_1$，(\ref{2})を$m_2$でそれぞれ割る．
\begin{eqnarray}
\ddot{\mbox{\boldmath $r_1$}}=-Gm_2\frac{{\mbox{\boldmath $r_1$}}-{\mbox{\boldmath $r_2$}}}{|{\mbox{\boldmath $r_1$}}-{\mbox{\boldmath $r_2$}}|^3} \label{3} \\
\ddot{\mbox{\boldmath $r_2$}}=-Gm_1\frac{{\mbox{\boldmath $r_2$}}-{\mbox{\boldmath $r_1$}}}{|{\mbox{\boldmath $r_2$}}-{\mbox{\boldmath $r_1$}}|^3} \label{4}
\end{eqnarray}
$\mbox{\boldmath $r$}=\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}$とし，(\ref{4})−(\ref{3})より
\begin{eqnarray}
\ddot{\mbox{\boldmath $r$}}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}
\end{eqnarray}
この式は中心星の質量を$m_1+m_2$として中心星が静止し，それを中心に惑星が運動している2天体の相対運動を示している． \label{0}

\subsection\
\noindent{\ref{0}で得られた運動方程式よりそれぞれ}
\begin{eqnarray}
\dot{v_x}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}x \\
\dot{v_y}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}y
\end{eqnarray}
と表せる.

\newpage

\section{3体問題}
\subsection\
\noindent{2天体の座標はそれぞれ}
\begin{eqnarray}
-\left[\mu_1\frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3} \right] \label{11}
(x_1,y_1)=\left(-\frac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2},0\right) ,\ (x_2,y_2)=\left(\frac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2},0\right)
\end{eqnarray}
である．ここで$\mu_1+\mu_2=1$であるからそれぞれ
\begin{eqnarray}
(x_1,y_1)=(-\mu_2, 0),\ (x_2,y_2) =(\mu_1, 0) \label{5}
\end{eqnarray}
\noindent{と表せる．}

\subsection\
\noindent{$\theta$は角速度$\omega$を利用して}
\begin{eqnarray}
\theta=\omega t
\end{eqnarray}
と表せる．また回転行列$\mbox{\boldmath $R$}$は次のように表わされる．\\
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath $R$}=\left(
\begin{array}{ccc}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array} 
\right)
\end{eqnarray} 
これより
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{ccc}
\xi \\
\eta \\
\end{array} 
\right)=\mbox{\boldmath $R$}\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} 
であるから
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{ccc}
\xi \\
\eta
\end{array}
\right)=\left( \begin{array}{ccc}
x\cos{\omega t}-y\sin{\omega t} \\
x\sin{\omega t}+y\cos{\omega t}
\end{array}
\right) \label{6}
\end{eqnarray}
となる．

\subsection\
\noindent{(\ref{6})の式をそれぞれ時間について2回微分すると}
\begin{eqnarray}
\dot{\xi}&=&-(\omega x+\dot{y})\sin{\omega t}+(\dot{x}-\omega y)\cos{\omega t} \nonumber \\
\dot{\eta}&=&(\dot{x}-\omega y)\sin{\omega t}+(\omega x+\dot{y})\cos{\omega t} \nonumber
\end{eqnarray}
であるから，それぞれの式は
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}=(\ddot{x}-2\omega \dot{y}-\omega^2 x)\cos{\omega t}-(\ddot{y}+2\omega \dot{x}-\omega^2 y)\sin{\omega t} \label{7} \\
\ddot{\eta}=(\ddot{y}+2\omega \dot{x}-\omega^2 y)\cos{\omega t}+(\ddot{x}-2\omega \dot{y}-\omega^2 x )\sin{\omega t} \label{8}
\end{eqnarray}
となる．

\subsection\
\noindent{(\ref{5}),\ (\ref{6})と与式より，それぞれ}
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}=\mu_1\frac{-(\mu_2+x)\cos \omega t+y \sin \omega t}{r_1^3}+\mu_2\frac{(\mu_1-x)\cos \omega t+y \sin \omega t}{r_2^3} \label{21} \\
\ddot{\eta}=\mu_1\frac{-(\mu_2+x)\sin \omega t-y\cos \omega t}{r_1^3}+\mu_2\frac{(\mu_1-x)\sin \omega t -y\cos \omega t}{r_2^3} \label{22}
\end{eqnarray}
\noindent{と表せる．ここで(\ref{21})に$\cos{\omega t}$，(\ref{22})に$\sin{\omega t}$をそれぞれかけて，2式をたすと
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}\cos{\omega t}+\ddot{\eta}\sin{\omega t}=-\left[\mu_1\frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3} \right] \label{23}
\end{eqnarray}
\noindent{となるので，(\ref{23})}の左辺に(\ref{7})，(\ref{8})を代入して
\begin{eqnarray}
\ddot{x}-2\omega\dot{y}-\omega^2 x&=&-\left[\mu_1\frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3} \right] \label{11}
\end{eqnarray}
\noindent{となる．また，(\ref{21})に$-\sin{\omega t}$，(\ref{22})に$\cos{\omega t}$をそれぞれかけて，2式をたすと}
\begin{eqnarray}
-\ddot{\xi}\sin{\omega t}+\ddot{\eta}\cos{\omega t}=-\left[\frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3}\right]y \label{24}
\end{eqnarray}
\noindent{となるので，(\ref{24})}の左辺に(\ref{7})，(\ref{8})を代入して
\begin{eqnarray}
\ddot{y}+2\omega\dot{x}-\omega^2 y&=&-\left[\frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3}\right]y \label{12}
\end{eqnarray}
とそれぞれ導ける．

\subsection\
\noindent{$r_1,r_2$はそれぞれ}
\begin{eqnarray}
r_1=\sqrt{(x+\mu_2)^2+y^2} \label{13}\\
r_2=\sqrt{(\mu_1-x)^2+y^2} \label{14}
\end{eqnarray}
と表せる．ここで，与えられた$U$に(\ref{13})，(\ref{14})を代入し，$x,y$についてそれぞれ偏微分する．
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x}&=&\omega^2 x-\frac{\mu_1 (x+\mu_2)}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^{3/2}}-\frac{\mu_2 (x-\mu_1)}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^{3/2}} \nonumber \\
&=&\omega^2 x-\frac{\mu_1}{r_1^3}(x+\mu_2)-\frac{\mu_2}{r_2^3}(x-\mu_1) \\
\frac{\partial U}{\partial y}&=&\omega^2 y-\frac{\mu_1 y}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^{3/2}}-\frac{\mu_2 y}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^{3/2}} \nonumber \\
&=&\omega^2 y-\frac{\mu_1 y}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^{3/2}}-\frac{\mu_2 y}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^{3/2}}
\end{eqnarray}
となるので，(\ref{11})，(\ref{12})の式はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x}=\ddot{x}-2\omega\dot{y} \label{15} \\
\frac{\partial U}{\partial y}=\ddot{y}+2\omega\dot{x} \label{16}
\end{eqnarray}
と表せる.

\subsection\
\noindent{$\dot{x}，\dot{y}$を(\ref{15})，(\ref{16})の式にそれぞれ掛け合わせる．}
\begin{eqnarray}
\dot{x}\ddot{x}-2\omega \dot{x} \dot{y}=\frac{\partial U}{\partial x} \dot{x}  \\
\dot{y}\ddot{y}+2\omega \dot{x} \dot{y}=\frac{\partial U}{\partial y} \dot{y}
\end{eqnarray}
これらを足し合わせる．
\begin{eqnarray}
\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}=\frac{\partial U}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial U}{\partial y} \dot{y}
\end{eqnarray}
これを時間について積分すると
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+C_J=U
\end{eqnarray}
となるため，ヤコビ定数$C_J$は
\begin{eqnarray}
C_J=U-\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
\end{eqnarray}
となる．
\end{document}