\documentclass[10pt]{jarticle}
\title{ITPASS数値計算実習 課題その1}
\author{原田竣也  joho 02}

\begin{document}
\maketitle
\noindent
{\bf 問題1}\\
1.1\\
万有引力についてのみ考えればよいので，このときの中心星の運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_1\ddot{\mbox{\boldmath $r_1$}}=-Gm_1m_2\frac{\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}}{|\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}|^3} \nonumber
\end{eqnarray}
惑星の運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_2\ddot{\mbox{\boldmath $r_2$}}=-Gm_1m_2\frac{\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}}{|\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}|^3} \nonumber
\end{eqnarray}
と表せる.
$\mbox{\boldmath $r$}=\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}$とし，上の2式をまとめると
\begin{eqnarray}
\ddot{\mbox{\boldmath $r$}}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\mbox{\boldmath $r$} \nonumber
\end{eqnarray}
この式は2天体が万有引力のもとで相互作用する運動について記述している．
\\
\\
\\
1.2\\
1.1で得られた運動方程式より，
\begin{eqnarray}
\dot{v_x}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}x \nonumber \\
\dot{v_y}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}y \nonumber
\end{eqnarray}
と表せる.
\newpage
\noindent
{\bf 問題2}\\
2.1\\
2天体の座標はそれぞれ
\begin{eqnarray}
(x_1,y_1)=(-\frac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2},0) , (x_2,y_2)=(\frac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2},0) \nonumber
\end{eqnarray}
である.\\
$\mu_1+\mu_2=1$であるから
$$
(x_1,y_1)=(-\mu_2,0) , (x_2,y_2) =(\mu_1,0)
$$
と表せる.
\\
\\
\\
2.2\\
$\theta$は角速度$\omega$を利用して
$$
\theta=\omega t
$$
と表せる.\\
回転行列$\mbox{\boldmath $R$}$は，次のように表わされる．\\
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath $R$}=\left[ 
\begin{array}{ccc}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array} 
\right] \nonumber
\end{eqnarray} 
これより
\begin{eqnarray}
\left[ 
\begin{array}{ccc}
\xi \\
\eta \\
\end{array} 
\right]=\mbox{\boldmath $R$}\left[
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end{array}
\right] \nonumber
\end{eqnarray} 
であるから\\
\begin{eqnarray}
\xi&=&x\cos{\omega t}-y\sin{\omega t} \nonumber \\
\eta&=&x\sin{\omega t}+y\cos{\omega t} \nonumber
\end{eqnarray}
となる．\\
\\
\\
\\
2.3\\
2.2の式を時間について2回微分する．\\
\begin{eqnarray}
\dot{\xi}&=&-(\omega x+\dot{y})\sin{\omega t}+(\dot{x}+\omega y)\cos{\omega t} \nonumber \\
\dot{\eta}&=&(\dot{x}-\omega y)\sin{\omega t}+(\omega x+\dot{y})\cos{\omega t} \nonumber
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}=(\ddot{x}-2\omega \dot{y}-\omega^2 x)\cos{\omega t}-(\ddot{y}+2\omega \dot{x}+\omega^2 y)\sin{\omega t} \nonumber \\
\ddot{\eta}=(\ddot{y}+2\omega \dot{x}-\omega^2 y)\cos{\omega t}+(\ddot{x}-2\omega \dot{y}-\omega^2 x )\sin{\omega t} \nonumber
\end{eqnarray}
となる．\\
\\
2.4\\
2.3の式は，$t=0$において$\sin{\omega t}=0,\cos{\omega t}=1$より
\begin{eqnarray}
\ddot{\xi}=\ddot{x}-2\omega\dot{y}-\omega^2 x \nonumber \\
\ddot{\eta}=\ddot{y}+2\omega\dot{x}-\omega^2 y \nonumber
\end{eqnarray}
となる．
また，2.1より$(x_1,y_1)=(-\mu_2,0) , (x_2,y_2) =(\mu_1,0)$であることと与式より，上の2式は
\begin{eqnarray}
\ddot{x}-2\omega\dot{y}-\omega^2 x=-[\mu_1\frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3}]　\nonumber \\
\ddot{y}+2\omega\dot{x}-\omega^2 y=-[\frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3}]y \nonumber
\end{eqnarray}
と導ける．\\
\\
2.5\\
$r_1,r_2$はそれぞれ\\
\begin{eqnarray}
r_1=\sqrt{(x+\mu_2)^2+y^2} \nonumber \\
r_2=\sqrt{(\mu_1-x)^2+y^2} \nonumber
\end{eqnarray}
と表せる．\\
ここで，$U$に$r_1,r_2$を代入し，$x,y$についてそれぞれ偏微分する．\\
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x}&=&\omega^2 x-\frac{\mu_1 (x+\mu_2)}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^\frac{3}{2}}-\frac{\mu_2 (x-\mu_1)}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^\frac{3}{2}} \nonumber \\
&=&\omega^2 x-\frac{\mu_1}{r_1^3}(x+\mu_2)-\frac{\mu_2}{r_2^3}(x-\mu_1) \nonumber \\
\frac{\partial U}{\partial y}&=&\omega^2 y-\frac{\mu_1 y}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^\frac{3}{2}}-\frac{\mu_2 y}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^\frac{3}{2}} \nonumber \\
&=&\omega^2 y-\frac{\mu_1 y}{[(x+\mu_2)^2+y^2]^\frac{3}{2}}-\frac{\mu_2 y}{[(\mu_1-x)^2+y^2]^\frac{3}{2}} \nonumber
\end{eqnarray}
となるので，2.4の式は\\
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x}=\ddot{x}-2\omega\dot{y} \nonumber \\
\frac{\partial U}{\partial y}=\ddot{y}+2\omega\dot{x} \nonumber
\end{eqnarray}
と表せる.
\\
\\
2.6\\
$\dot{x},\dot{y}$を2.5の式にそれぞれ掛け合わせる．
\begin{eqnarray}
\dot{x}\ddot{x}-2\omega \dot{x} \dot{y}=\frac{\partial U}{\partial x} \dot{x} \nonumber \\
\dot{y}\ddot{y}+2\omega \dot{x} \dot{y}=\frac{\partial U}{\partial y} \dot{y} \nonumber 
\end{eqnarray}
これらを足し合わせる．
\begin{eqnarray}
\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}=\frac{\partial U}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial U}{\partial y} \dot{y} \nonumber
\end{eqnarray}
これを時間について積分すると
$$
\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+C_J=U \nonumber
$$
となるため，ヤコビ定数$C_J$は
$$
C_J=U-\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) \nonumber
$$
となる．
\end{document}