\documentclass{jarticle}
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\setlength{\evensidemargin}{-0.1cm}
\title{数値計算実習課題 1}
\author{斉田美香 (joho07)}
\date{2011年7月21日}

\begin{document}
\maketitle
\section*{課題1}
\subsection*{問題1の解答}
\subsubsection*{1.}
中心星、惑星の質量をそれぞれ$m_1$,$m_2$とし、またそれぞれの位置ベクトルを$\bm{r}_1$,$\bm{r}_2$とする。
中心星に成り立つ運動方程式は、万有引力の法則
\[
F=-\frac{GmM}{r^2}
\]
を用いると
\begin{equation}
m_{1}\frac{d^{2}\bm{r}_{1}}{dt^{2}}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\bm{r_{1}}-\bm{r_{2}}}{|\bm{r_{1}}-\bm{r_{2}}|^{3}}
\end{equation}
となる。同様に惑星に成り立つ運動方程式は
\begin{equation}
m_{2}\frac{d^{2}\bm{r}_{2}}{dt^{2}}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\bm{r_{2}}-\bm{r_{1}}}{|\bm{r_{2}}-\bm{r_{1}}|^{3}}
\end{equation}
と表すことができる。
またここで、(2)式から(1)式を引いて、$\bm{r}=\bm{r}_{2}-\bm{r}_{1}$で表される相対ベクトルを用いると
\begin{equation}
\Ddot{\bm{r}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{r^{3}}\bm{r}
\end{equation}
が得られる。\\
これは$\bm{r}=\bm{r}_{2}-\bm{r}_{1}$という相対ベクトルを用いていることから、中心星から見た惑星の相対運動を表している。中心星と惑星の質量を合わせた質点が、中心星を中心とした回転運動を行っている。\\

\subsubsection*{2.}
\begin{eqnarray*}
\Dot{v_{x}}=\Ddot{x}=-G(m_1+m_2)\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray*}
同様にして
\begin{eqnarray*}
\Dot{v_{y}}=\Ddot{y}=-G(m_1+m_2)\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray*}

\subsection*{問題2}

\subsubsection*{1.}
条件より、重心が原点にあり中心星と惑星はx軸上にあるので、それぞれのx座標は質量の逆比で表すことができ、重力定数${\bf G}$は定数であるから$\mu$を用いて\\
\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{l}
x_1=\cfrac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}=\mu_2 \\
x_2=\cfrac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2}=\mu_1
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
したがって、
\begin{eqnarray*}
(x_1,y_1)&=&(-\mu_2 ,\; 0) \\
(x_2,y_2)&=&(\mu_1 ,\; 0)
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{2.}
角速度$\omega$で回転しているので
\[
\theta=\omega t
\]
ここで回転行列
$		\left(
		\begin{array}{cc}
		 \cos \theta & -\sin \theta\\
		 \sin \theta & \cos \theta\\
		\end{array}
		\right)
$
を用いると\\
\[
	\left(
	\begin{array}{c}
	\xi \\
	\eta \\
	\end{array}
	\right)
	=
		\left(
		\begin{array}{cc}
		 \cos \omega t & -\sin \omega t\\
		 \sin \omega t & \cos \omega t\\
		\end{array}
		\right)
		\left(
		\begin{array}{c}
		x\\
		y\\
		\end{array}
		\right)
\]\\
と表すことができるので、
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\xi=x\cos \omega t - y \sin \omega t \\
\eta=x\sin \omega t + y \cos \omega t
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

\subsubsection*{3.}
2.より、tで一回微分すると
\[
\left(
\begin{array}{c}
\Dot{\xi}\\
\Dot{\eta}\\
\end{array}
\right)
=\omega
\left(
\begin{array}{cc}
-\sin\omega t & -\cos\omega t\\
\cos\omega t & -\sin\omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \omega t & -\sin \omega t\\
\sin \omega t & \cos \omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\Dot{x}\\
\Dot{y}\\
\end{array}
\right)
\]
もう一回微分すると
\[
\left(
\begin{array}{c}
\Ddot{\xi}\\
\Ddot{\eta}\\
\end{array}
\right)
=\omega^2
\left(
\begin{array}{cc}
-\cos\omega t & \sin\omega t\\
-\sin\omega t & -\cos\omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)
+2\omega
\left(
\begin{array}{cc}
-\sin\omega t & -\cos\omega t\\
\cos\omega t & -\sin\omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\Dot{x}\\
\Dot{y}\\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\omega t & -\sin\omega t\\
\sin\omega t & \cos\omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\Ddot{x}\\
\Ddot{y}\\
\end{array}
\right)
\]
整理すると,
\[
\left(
\begin{array}{c}
\Ddot{\xi}\\
\Ddot{\eta}\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\omega t & -\sin\omega t\\
\sin\omega t & \cos\omega t\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
-\omega^2 x -2\omega\Dot{y}+\Ddot{x}\\
-\omega^2 y +2\omega\Dot{x}+\Ddot{y}\\
\end{array}
\right)
\]
したがって
\begin{numcases}
{}
\Ddot{\xi}=(\Ddot{x} -2\omega\Dot{y}-\omega^2 x)\cos\omega t - (\Ddot{y} +2\omega\Dot{x}-\omega^2 y)\sin\omega t \\
\Ddot{\eta}=(\Ddot{x} -2\omega\Dot{y}-\omega^2 x)\sin\omega t + (\Ddot{y} +2\omega\Dot{x}-\omega^2 y)\cos\omega t
\end{numcases}


\subsubsection*{4.}
ここで$\Ddot{x} -2\omega\Dot{y}-\omega^2 x=X$、$\Ddot{y} +2\omega\Dot{x}-\omega^2 y=Y$とすると、

\begin{numcases}
{}
\Ddot{\xi}=X\cos\omega t - Y\sin\omega t \\
\Ddot{\eta}=X\sin\omega t + Y\cos\omega t
\end{numcases}
これと、与式の運動方程式を回転座標系に書き直した以下の式、
\begin{numcases}
{}
\Ddot{\xi}= \Biggl[\mu_1\cfrac{x_1-x}{r_1^3} + \mu_2\cfrac{x_2-x}{r_2^3}\Biggr]\cos\omega t + \Biggl[ \frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3} \Biggr]y\sin\omega t \\
\Ddot{\eta}= \Biggl[\mu_1\cfrac{x_1-x}{r_1^3} + \mu_2\cfrac{x_2-x}{r_2^3}\Biggr]\sin\omega t + \Biggl[ \frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3} \Biggr]y\cos\omega t
\end{numcases}

を用いると、

\begin{numcases}
{}
X\cos\omega t - Y\sin\omega t = \Biggl[\mu_1\cfrac{x_1-x}{r_1^3} + \mu_2\cfrac{x_2-x}{r_2^3}\Biggr]\cos\omega t + \Biggl[ \frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3} \Biggr]y\sin\omega t \\
X\sin\omega t + Y\cos\omega t = \Biggl[\mu_1\cfrac{x_1-x}{r_1^3} + \mu_2\cfrac{x_2-x}{r_2^3}\Biggr]\sin\omega t + \Biggl[ \frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3} \Biggr]y\cos\omega t
\end{numcases}
(8)、(9)式において、$\sin\omega t , \cos\omega t$について係数を比較すると、
\begin{numcases}
{}
X= \Ddot{x} -2\omega\Dot{y}-\omega^2 x= -\Biggl[\mu_1\cfrac{x+\mu_2}{r_1^3} + \mu_2\cfrac{x-\mu_1}{r_2^3}\Biggr] \\
Y= \Ddot{y} +2\omega\Dot{x}-\omega^2 y = -\Biggl[\frac{\mu_1}{r_1^3} + \frac{\mu_2}{r_2^3}\Biggr]y
\end{numcases}
となり導出できた。

\subsubsection*{5.}
ポテンシャル$U$の式は、
\begin{equation}
U=\frac{\omega^2}{2}(x^2+y^2)+\cfrac{\mu_1}{\sqrt{(x+\mu_2)^2+y^2}}+\cfrac{\mu_2}{\sqrt{(\mu_1-x)^2+y^2}}
\end{equation}
と書き換えることができて、x,yについての偏微分を行うと
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial U}{\partial x}&=&\omega^2 x - \Biggl(\mu_1\frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3}\Biggr) \\
\frac{\partial U}{\partial y}&=&\omega^2 y - \Biggl(\frac{\mu_1}{r_1^3}+\frac{\mu_2}{r_2^3}\Biggr) y
\end{eqnarray*}
したがって、粒子Pについての運動方程式は
\begin{eqnarray} 
\ddot{x} - 2\omega \dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x}
\end{eqnarray} 
\begin{eqnarray}
\ddot{y} + 2\omega \dot{x} = \frac{\partial U}{\partial y}
\end{eqnarray}
と表すことができる。

\subsubsection*{6.}
(13)、(14)式の両辺にそれぞれ$\Dot{x}、\Dot{y}$をかけて足すと
\begin{eqnarray}
\dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} &=& \frac{\partial U}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \nonumber\\
&=& \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t}
\end{eqnarray}
となる。この式は時間tで積分できて、
\begin{eqnarray}
U - \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = C_{J}
\end{eqnarray}
ここで$C_{J}$は円制限3体問題におけるヤコビ定数である。
\end{document}