\documentclass[12pt,a4j]{jsarticle}

\title{数値計算実習レポート 1}

\author{坂廼邉 翼　joho 05 (07)}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\newpage

\section{２体問題}
\ 万有引力の法則
\[F=-\frac{GMm}{r^{2}}\]
を用いて、惑星の軌道を計算する。
問題を簡単にするため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。今、質量が$m_{1}$である中心星と、質量が$m_{2}$である惑星のみで構成される惑星系を考える。また中心星及び惑星の位置はベクトル$\textgt{r}_1$、$\textgt{r}_2$で表されるとする。以下では $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$ , $\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$

\subsection{}
慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を導け。またそれから
\[\ddot{\textgt{r}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{r^{3}}\textgt{r}\]
を導出せよ。ここで$\textgt{r}は\textgt{r}=\textgt{r}_{1}-\textgt{r}_{2}$で表される相対ベクトルである。このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものかを考察せよ。\\
\\
\\
中心星の運動方程式は

\[ m_{1}\frac{d^{2}r_{1}}{dt^{2}}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\textgt{r}_{1}-\textgt{r}_{2}}{|\textgt{r}_{1}-\textgt{r}_{2}|^{3}} \]
惑星の運動方程式は
\[ m_{2}\frac{d^{2}r_{2}}{dt^{2}}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\textgt{r}_{2}-\textgt{r}_{1}}{|\textgt{r}_{2}-\textgt{r}_{1}|^{3}} \]
\\
\ ここで$\textgt{r}=\textgt{r}_{2}-\textgt{r}_{1}$として上の２つの運動方程式を１つにまとめると

\[\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{r^3}\textgt{r}\]
となる。\\
\\
\ これは２天体の共通重心を中心に中心星と惑星が周回することを表している。
\\
\\
\subsection{}
1.の運動方程式を成分に分けることを考える。\\
\ 簡単のため、二体は同一平面状を運動していることとする。相対ベクトル$\textgt{r}=(x,y)$に対して、速度を
\[\textgt{v}≡(v_{x},v_{y})=(\dot{x},\dot{y})\]
と定義する。このとき、$\dot{v}_{x}$,$\dot{v}_{y}$を$x$,$y$を用いて表せ。
\\
\\
\\
位置を時間によって微分すると速度になることより$\dot{v}_{x}$,$\dot{v}_{y}$は
\[\dot{v}_{x}=\frac{dx}{dt}\]
\[\dot{v}_{y}=\frac{dy}{dt}\]
と、表せる。
\newpage

\section{３体問題}
\ 次に３体問題を考える。ここでは、質量$m_{1}$の中心星の周りを質量$m_{2}$の惑星が円運動し、３つ目の天体Pは中心星と惑星に対して質量が無視できるような粒子であるとする（円制限３体問題）。問題１と同様、３つの天体は同一平面上を運動しているとする。このとき、中心星と惑星の座標($ζ_{1}$,$η_{1}$),
($ζ_{2}$,$η_{2}$)とすると、重心$O$を原点とした慣性座標系($ζ$,$η$)での粒子の運動方程式の各成分は
\[\ddot{ζ}=μ_{1}\frac{ζ_{1}-ζ}{r^{3}_{1}}+μ_{2}\frac{ζ_{2}-ζ}{r^{3}_{2}}\]
\[\ddot{η}=μ_{1}\frac{η_{1}-η}{r^{3}_{1}}+μ_{2}\frac{η_{2}-η}{r^{3}_{2}}\]
で表せれる。$r_{1}$,$r_{2}$はそれぞれ粒子と中心星および惑星との距離、$μ_{1}=Gm_{1}$,$μ_{2}=Gm_{2}$である。簡単化のため、$μ=μ_{1}+μ_{2}=1$、中心星と惑星との距離$r=1$としている。この運動方程式を、中心星と惑星が静止しているような回転座標系($x$,$y$)で表してみよう。\\
\ 今、２つの座標系の原点は一致し、$m_{1}$,$m_{2}$は常に$x$軸にあるとする。また時刻$t=0$で$ζ$軸と$x$軸は一致しているとする。\\
\subsection{}
\ ２つの座標系の原点が中心星と惑星の重心であることをふまえて、回転系でのそれぞれの座標($x_{1}$,$y_{1}$)、($x_{2}$,$y_{2}$)を$μ_{1}$,$μ_{2}$を用いて表せ。\\
\ ２つの座標系の原点が中心星と惑星の重心であることより
\[(x_{1},y_{1})=(-\frac{μ_{2}}{μ_{1}+μ_{2}},0)\]
\[(x_{2},y_{2})=(\frac{μ_{1}}{μ_{1}+μ_{2}},0)\]
ここで$μ_{1}+μ_{2}=1$であるから
\[(x_{1},y_{1})=(-μ_{2},0)\]
\[(x_{2},y_{2})=(μ_{1},0)\]\\
\subsection{}
\ 
中心星と惑星は、慣性系において角速度$ω$で回転しているとする。このとき、時刻$t$における$ζ$軸と$x$軸のなす角度$θ$を求めよ。
\ またそれを用いて、($ζ$,$η$)を($x$,$y$)で表す変換式をを求めよ。
\\
\\
\ 角速度というのは基本単位時間において進む角度であるから、角速度$ω$で回転している時刻$t$における角度は
\[θ=ωt\]
となる。
\ また($ζ$,$η$)を($x$,$y$)で表す回転行列をRとすると
\[R
 = 
  \left(
    \begin{array}{rrr}
      cosωt & -sinωt &\\
      cosωt &  sinωt & 
    \end{array}
  \right)\]
となり
\[
  \left(
    \begin{array}{ccc}
      ζ\\
      η
    \end{array}
  \right) = R\left(
    \begin{array}{ccc}
      x\\
      y
    \end{array}
  \right)
\]
であるので、これより
\[ζ=xcosωt-ysinωt\]
\[η=xsinωt+ysinωt\]
となる。\\
\subsection{}
2.の式を時間で２回微分することにより、慣性系での加速度成分$\ddot{ζ}$,$\ddot{η}$を、回転系での成分$\ddot{x}$,$\ddot{y}$などを用いて表せ。\\
\\
\[ζ=xcosωt-ysinωt\]
\[η=xsinωt+ysinωt\]
より
\[\dot{ζ}=(\dot{x}-ωy)cosωt-(\ddot{y}+ωt)sinωt\]
\[\dot{η}=(\dot{x}-ωy)sinωt-(\ddot{y}+ωt)cosωt\]
\newpage
\ さらに時間で微分することにより
\[\ddot{ζ}=(\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x)cosωt-(\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y)sinωt\]
\[\ddot{η}=(\ddot{x}-2ω\do
t{y}-ω^{2}x)sinωt+(\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y)cosωt\]
となる。\\
\subsection{}
\ 以上の結果と与式から、回転系における粒子$P$についての運動方程式を導出せよ。\\
\\
\ 時刻$t=0$において考えると、このとき$cosωt=1$,$sinωt=0$であるので上で求めた
\[\ddot{ζ}=(\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x)cosωt-(\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y)sinωt\]
\[\ddot{η}=(\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x)sinωt+(\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y)cosωt\]
の２式は
\[\ddot{ζ}=\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x\]
\[\ddot{η}=\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y\]
となる。\\
\ また$t=0$においては$ζ$軸と$x$軸は一致しているので、前の問より、このときの($x_{1}$,$y_{1}$),($x_{2}$,$y_{2}$)は
\[(x_{1},y_{1})=(ζ_{1},η_{1})=(μ_{2},0)\]
\[(x_{2},y_{2})=(ζ_{2},η_{2})=(μ_{1},0)\]
となり以上と問で与えられた慣性座標系においての運動方程式より
\[\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x=-[μ_{1}\frac{x+μ_{2}}{r^{3}_{1}}+μ_{2}\frac{x-μ_{1}}{r^{3}_{2}}]\]
\[\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y=-[\frac{μ_{1}}{r^{3}_{1}}+\frac{μ_{2}}{r^{3}_{2}}]y\]\\
\subsection{}
\ 力をF=▽Uのように表す量Uを、力のポテンシャルとよぶ。４．に現れる力のポテンシャルは、
\[U=\frac{ω^{2}}{2}(x^{2}+y^{2})+\frac{μ_{1}}{r_{1}}+\frac{μ_{2}}{r_{2}}\]
と表されることを用いて、４．で求めた方程式をUを用いて表せ。\\
\\
\ 中心星と粒子、惑星と粒子の距離$r_{1}$,$r_{2}$はそれぞれ
\[r_{1}=[(-μ_{2}-x)^{2}+y^{2}]^{1/2}\]
\[r_{2}=[(μ_{1}-x)^{2}+y^{2}]^{1/2}\]
で表されることより
\[\frac{μ_{1}}{r_{1}}=[(μ_{2}+x)^{2}+y^{2}]^{1/2}\]
\[\frac{μ_{2}}{r_{2}}=[(μ_{1}-x)^{2}+y^{2}]^{1/2}\]
ここで$\frac{μ_{1}}{r_{1}}$を$x$で偏微分する。
\[\frac{∂}{∂x}\frac{μ_{1}}{r_{1}}=-\frac{μ_{1}(x+μ_{2})}{r^{3}_{1}}\]
また$\frac{μ_{2}}{r_{2}}$も$x$で偏微分する。
\[\frac{∂}{∂x}\frac{μ_{2}}{r_{2}}=-\frac{μ_{2}(x-μ_{1})}{r^{3}_{2}}\]
よっては
\[\frac{∂U}{∂x}=\frac{ω^{2}}{2}(x^{2}+y^{2})+\frac{μ_{1}}{r_{1}}+\frac{μ_{2}}{r_{2}}\]
\[=ω^{2}x-[μ_{1}\frac{x+μ_{2}}{r^{3}_{1}}+μ_{2}\frac{(x-μ_{1})}{r^{3}_{2}}]\]
同様に$\frac{μ_{1}}{r_{1}}$と$\frac{μ_{2}}{r_{2}}$を$y$で偏微分して、$\frac{∂U}{∂y}$を求めると
\[\frac{∂U}{∂y}=ω^{2}y-[\frac{μ_{1}}{r_{1}}+\frac{μ_{2}}{r_{2}}]y\]
\ この結果と４．で求めた方程式を比較すると
\[\ddot{x}-2ω\dot{y}-ω^{2}x=\frac{∂U}{∂x}-ω^{2}x\]
\[\ddot{y}+2ω\dot{x}-ω^{2}y=\frac{∂U}{∂y}-ω^{2}y\]
となり、Uを用いて表すことができる。\\
\subsection{}
５．で得られた結果のx成分に$\dot{x}$を、y成分に$\dot{y}$をかけて足し合わせ、時間について積分することで現れる積分定数$C_{j}$（円制限３体問題における保存量であるヤコビ定数）を求めよ。\\
\\
\ ５．で得られたx成分に$\dot{x}$をかけて整理すると
\[\ddot{x}\dot{x}-2ω\dot{x}\dot{y}=\dot{x}\frac{∂U}{∂x}\]
同様にy成分に$\dot{y}$をかけて整理すると
\[\ddot{y}\dot{y}+2ω\dot{x}\dot{y}=\dot{y}\frac{∂U}{∂y}\]
上の２式を足し合わせて積分することにより
\[\frac{1}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})+C_{j}=U\]
となりヤコビ定数$C_{j}$が
\[C_{j}=U-\frac{1}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})\]
と求められる。



\end{document}