\documentclass[10pt]{jarticle}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE 数値計算実習課題その１}\\
{\large 藤田 哲也　宇宙物理学研究室　B4}
\end{center}

\section{}

万有引力の法則

\[
F=-\frac{GMm}{r^2}
\]

\noindent
をベクトルで表すと、

\begin{equation}
\mbox{\boldmath $F$}=-\frac{GMm}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}
\end{equation}

\noindent
となる。中心星が惑星から受ける力を $\mbox{\boldmath $F_1$}$ 、惑星が中心星から受ける力を$\mbox{\boldmath $F_2$}$ とする。$\mbox{\boldmath $r$}=\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}$より、$r=|\mbox{\boldmath $r$}|=|\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}|$なので、(1)より、$\mbox{\boldmath $F_1$}$と$\mbox{\boldmath $F_2$}$はそれぞれ

\[
\mbox{\boldmath $F_1$}=-\frac{Gm_1m_2}{|\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}|^3}(\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$})=\frac{Gm_1m_2}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}
\]

\[
\mbox{\boldmath $F_2$}=-\frac{Gm_1m_2}{|\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}|^3}(\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$})=-\frac{Gm_1m_2}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}
\]

\noindent
となる。よって、慣性系における中心星と惑星の運動方程式は、それぞれ

\begin{equation}
\mbox{\boldmath $F_1$}=\frac{Gm_1m_2}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}=m_1\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_1$}}{dt^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\mbox{\boldmath $F_2$}=-\frac{Gm_1m_2}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}=m_2\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_2$}}{dt^2}
\end{equation}

\noindent
と書ける。$\mbox{\boldmath $r$}=\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}$より、両辺tの二階微分をとると、

\[
\frac{d^2\mbox{\boldmath $r$}}{dt^2}=\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_2$}}{dt^2}-\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_1$}}{dt^2}
\]

\noindent
となるので、これに (2) と (3) を代入すれば、

\begin{eqnarray}
\frac{d^2\mbox{\boldmath $r$}}{dt^2} &=& -\frac{Gm_2}{r^3}\mbox{\boldmath $r$}-\frac{Gm_1}{r^3}\mbox{\boldmath $r$} \nonumber \\
&=& -\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\mbox{\boldmath $r$} \nonumber
\end{eqnarray}

これは相対ベクトルを用いて表された運動方程式であり、中心星から見たときの惑星の相対運動を表している。原点に質量$m_1+m_2$の天体が存在し、それに対して質量が無視できるほど小さい天体の運動と考えることもできる。これを数値的に解くことで、中心星に対して惑星がどのような軌道で運動するかがわかる。

\section{}

速度の定義より、

\[
\frac{d^2\mbox{\boldmath $r$}}{dt^2}=\frac{d\mbox{\boldmath $v$}}{dt}=\left( \frac{dv_x}{dt},\frac{dv_y}{dt} \right)
\]

\noindent
である。これと$ \mbox{\boldmath $r$}=(x,y) $ を用いると、1．の結果より、

\[
\left( \frac{dv_x}{dt},\frac{dv_y}{dt} \right)=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x+y)^{3/2}}(x,y)
\]

\noindent
と表せる。よって、それぞれの成分は、

\[
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x+y)^{3/2}}x
\]

\[
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x+y)^{3/2}}y
\]

\end{document}