\documentclass[10pt]{jarticle}
\title{ITPASS実習　レポート2}
\author{矢敷沙也加　情報実験機：joho 14}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

{\large \bf 問題 1}

中心星の質量を$m_1$、惑星の質量を$m_2$とする。

また、中心星の位置を$r_1$、惑星の位置を$r_2$とする。

中心星に対して成り立つ運動方程式は

\begin{equation}
m_1\frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}=G\frac{m_1m_2}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

となる。

また、惑星に対して成り立つ運動方程式は

\begin{equation}
m_2\frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}=-G\frac{m_1m_2}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

となる。

ここで、(1)の両辺を$m_1$で割ると

\begin{equation}
\frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}=G\frac{m_2}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

同様に、(2)の両辺を$m_2$で割ると

\begin{equation}
\frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}=-G\frac{m_1}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

となる。

(4)-(3)より

\begin{equation}
\frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}-\frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}=-G\frac{m_1}{r^3}\vec{r}-G\frac{m_2}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

ここで、$\vec{r}$は$\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$で表される相対ベクトルであるから、(5)は

\begin{equation}
\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

となる。

(6)式は、中心星と惑星の相対運動を表している。

\[
\]

ここで、(6)式の右辺に$\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$をかけて整理すると

\begin{equation}
\left(\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\right)\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1m_2)}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

また、

\[
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\equiv\mu
\]

として

\begin{equation}
\mu\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1m_2)}{r^3}\vec{r}
\end{equation}

(8)式は中心星の位置を原点とし、惑星の質量を$\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\equiv\mu$に

置き換えた時の運動を表すことになる。

これにより一体問題であるかのように扱うことができる。
\[
\]
{\large \bf 問題 2}

\[
\vec{r}=(x,y)
\]

\[
\vec{v}\equiv(v_x,v_y)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)
\]

であるから、(6)の左辺は

\begin{equation}
\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}(x,y)=\frac{d}{dt}(v_x,v_y)
\end{equation}

となる。

また、$r^2=x^2+y^2$であるから、(6)の右辺は

\begin{equation}
-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\vec{r}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,y)
\end{equation}

となる。

(9)、(10)より

\begin{equation}
\frac{d}{dt}(v_x,v_y)=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,y)
\end{equation}

よって、

\begin{equation}
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}x
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}x
\end{equation}

と表せる。

\end{document}