\documentclass{jsarticle}
\begin{document}

\title{数値計算実習課題その1}
\author{塩崎淳也}
\date{2010年7月15日提出}
\maketitle

\section{問題1の解答}
中心星、惑星に対して成り立つ運動方程式は、それぞれ
	\begin{equation}
         m_1\frac{d^{2}{\bf r_1}}{dt^2} = 
         G\frac{m_1 m_2}{r^3}{\bf r}
        \end{equation}
        \begin{equation}
          m_2\frac{d^{2}{\bf r_2}}{dt^2} = 
	  - G\frac{m_1 m_2}{r^3}{\bf r}
        \end{equation}
となる。また、{\bf r}は相対ベクトルなので
	\begin{equation}
	  \frac{d^{2}{\bf r}}{dt^2} = 
          \frac{d^{2}{\bf r_2}}{dt^2} - \frac{d^{2}{\bf r_1}}{dt^2}
        \end{equation}
ここで、(2)式を$m_2$で割った式から、(1)式を$m_2$で割った式を引くと
	\begin{eqnarray*}
          \frac{d^{2}{\bf r_2}}{dt^{2}} - \frac{d^{2}{\bf r_1}}{dt^2} &=& 
          - G\frac{m_1}{r^3}{\bf r} - G\frac{m_2}{r^3}{\bf r} \\
          &=& - \frac{G{(m_1 + m_2)}}{r^3}{\bf r}
        \end{eqnarray*}
となり、求める式
	\begin{equation}
          \frac{d^{2}{\bf r}}{dt^2} = - \frac{G{(m_1 + m_2)}}{r^3}{\bf r}
        \end{equation}
が求められた。

考察 : ${\bf r}={\bf r_2}-{\bf r_1}$より、(3)式は中心星に対する惑星の相対運動を表わしているものとわかる。
式をみると力は${\bf r}$方向にのみ働いていることが分かる。このことから中心星と惑星は互いに引き合い、条件(位置,初速度,質量)に依存して様々な軌道を描く円運動をすると考えられる。


\section{問題2の解答}
${\bf r} = (x,y)$より、(3)式を書き換えて、
	\begin{eqnarray}
           \frac{d^{2}}{dt^2}(x,y)
           = - \frac{G(m_1 + m_2)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}{(x,y)}
        \end{eqnarray}
ここで$\frac{d}{dt}(x,y) = (v_x,v_y)$なので、(4)式より
	\begin{eqnarray}
          \left(\frac{d{v_x}}{dt},\frac{d{v_y}}{dt}\right) = 
          - \frac{G(m_1 + m_2)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}{(x,y)}
        \end{eqnarray}
          
\end{document}