\documentstyle{jarticle}

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\title{ITPASS数値計算実習課題その１}
\author{地球惑星科学科　３回生　津田彰子}
\date{2010年６月25日（金）出題分}

\begin{document}
\maketitle

\section{ベクトル表示の運動方程式}
\subsection{慣性系における、中心星と惑星に成り立つ運動方程式}

万有引力の法則は
\begin{eqnarray}
F=-G\frac{mM}{r^{2}}
\end{eqnarray}
であるためこれを用いると、

中心星における運動方程式は
\begin{eqnarray}
\vec{F_{中}}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{|\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}}|^{2}}\frac{(\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}})}{|\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}}|}
\end{eqnarray}
となる。同様に、惑星における運動方程式は
\begin{eqnarray}
\vec{F_{惑}}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^{2}}\frac{(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|}
\end{eqnarray}
となる。なお、中心星の質量を$m_{1}$、位置ベクトルを$\vec{r_{1}}$、惑星の質量を$m_{2}$、位置ベクトルを$\vec{r_{2}}$とした。
(中心星に及ぼされる力を$\vec{F_{中}}$、惑星に及ぼされる力を$\vec{F_{惑}}$とした。)

\subsection{相対ベクトルを用いた運動方程式}
(2)の両辺を$m_{1}$で割ると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\vec{r_{1}}}{dt^{2}}=G\frac{m_{2}}{r^{3}}\vec{r}
\end{eqnarray}
となる。また、(3)の両辺を$m_{2}$で割ると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\vec{r_{2}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}}{r^{3}}\vec{r}
\end{eqnarray}
となる。なお、$\vec{r}$=$\vec{r_{2}}$-$\vec{r_{1}}$の相対ベクトルとしている。ここで、
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\frac{d^{2}\vec{r_{2}}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}\vec{r_{1}}}{dt^{2}}
\end{eqnarray}
であるので、(5)-(4)より
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-G\frac{(m_{1}+m_{2})}{r^{3}}\vec{r}
\end{eqnarray}
が導出される。また、この運動方程式は、２体の天体がケプラー運動をしていることが分かる。

\section{運動方程式の成分表示}

１で求めた運動方程式を成分に分けることを考える。$\vec{r}$=(x,y)、$\vec{v}$=($v_{x}$,$v_{y}$)であることから
\begin{eqnarray}
\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}y
\end{eqnarray}
となる。


\end{document}