\documentstyle{j-article}
\begin{document}
\title{数値計算実習課題その1}
\author{小倉匠真　担当情報実験機名　joho02}
\date{提出期限　７月１５日(木)}
\maketitle
\par
\begin{section}{問題１の解答}
中心星、惑星の質量をそれぞれ${m_1}$,${m_2}$、位置ベクトルをそれぞれ${{\bf r}_1}$,${{\bf r}_2}$とする.
\begin{description}
 \item[i.] 中心星に対して成立する運動方程式
%
\begin{eqnarray}
m_1{d^2{\bf r}_1 \over dt^2}=-{Gm_1m_2 \over {|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}^3}({\bf r}_1 - {\bf r}_2)
\end{eqnarray}
%
 \item[ii.] 惑星に対して成立する運動方程式
%
\begin{eqnarray}
m_2{d^2{\bf r}_2 \over dt^2}=-{Gm_1m_2 \over {|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1)
\end{eqnarray}
%
\end{description}
ここで
%
\begin{eqnarray}
{\bf r}={\bf r}_2 - {\bf r}_1
\end{eqnarray}
で表される相対ベクトル {\bf r}を導入する.
\\
\noindent(3)式の両辺をtに関して２階微分する.
%
\begin{eqnarray}
{d^2{\bf r} \over dt^2}&=&{d^2 \over dt^2}({\bf r}_2 - {\bf r}_1) \nonumber \\
&=&{d^2{\bf r}_2 \over dt^2} - {d^2{\bf r}_1 \over dt^2}
\end{eqnarray}
(4)式に(1)式と(2)式を代入する.
%
\begin{eqnarray}
{d^2{\bf r} \over dt^2}&=&-{Gm_1 \over {|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1) + {Gm_2 \over {|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}^3}({\bf r}_1 - {\bf r}_2) \nonumber \\
&=&-{G(m_1 + m_2) \over {|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}^3}({\bf r}_2 - {\bf r}_1) \nonumber \\
&=&-{G(m_1 + m_2) \over r^3}{\bf r}
\end{eqnarray}
これで
\begin{eqnarray}
\frac{d^2{\bf r}}{dt^2}&=&-{G(m_1 + m_2) \over r^3}{\bf r}
\end{eqnarray}
が導出された.
\par
また、(5)式÷$(m_1 + m_2)$ , (5)式×$m_1m_2$　とすると
%
\begin{eqnarray}
{\mu}{d^2{\bf r} \over dt^2}=-{Gm_1m_2 \over r^3}{\bf r} \hspace{3.5em}(換算質量：{\mu}={m_1m_2 \over m_1 + m_2})
\end{eqnarray}
%
となり、(7)式は中心星を原点とした、換算質量${\mu}$をもった惑星の運動を表す式として扱うことが出来る.
\end{section}
\newpage
\begin{section}{問題２の解答}
%
\begin{eqnarray}
{\bf r}&=&(x,y) \nonumber \\
r&=&\sqrt{x^2+y^2} \nonumber 
\end{eqnarray}
%
であるから、(5)式は
%
\begin{eqnarray}
\frac{d^2{\bf r}}{dt^2}&=&-\frac{G(m_1 + m_2)}{r^3}{\bf r} \nonumber \\
&=&-\frac{G(m_1 + m_2)}{{(x^2+y^2)}^{3/2}}(x,y)
\end{eqnarray}
%
とかける.また、$\mbox{\boldmath $\upsilon$}=({\upsilon}_x,{\upsilon}_y)$より
%
\begin{eqnarray}
\frac{d^2{\bf r}}{dt^2}&=&\frac{d{\mbox{\boldmath $\upsilon$}}}{dt} \nonumber \\
&=&(\frac{d{\upsilon}_x}{dt},\frac{d{\upsilon}_y}{dt})
\end{eqnarray}
%
であるから、(8)式と(9)式の右辺を比較して
%
\begin{eqnarray}
\frac{d{\upsilon}_x}{dt}&=&-\frac{G(m_1+m_2)}{{(x^2+y^2)}^{3/2}}x \nonumber \\
\frac{d{\upsilon}_y}{dt}&=&-\frac{G(m_1+m_2)}{{(x^2+y^2)}^{3/2}}y \nonumber
\end{eqnarray}
%
が導かれる.
\end{section}
\end{document}