\documentclass{jsarticle}


\title{ITPASS 数値計算実習課題}
\author{joho10　池添 紘平}
\date{2010年7月15日}

\begin{document}
\maketitle
問題１.

中心星の質量を $m_1$ 、惑星の質量を $m_2$ とする。

慣性系において、中心星、惑星に成り立つ運動方程式は
\begin{equation}
   \ m_1 \cdot \frac{d^{2} {\bf r}_1}{d t^{2} } =
   \ - \frac{G m_1 m_2}{|{\bf r}_1 - {\bf r}_2|^{2}}
   \ \cdot  \frac{{\bf r}_1 - {\bf r}_2}{|{\bf r}_1 - {\bf r}_2|}
\end{equation}

\begin{equation}
   \ m_2 \cdot \frac{d^{2} {\bf r}_2}{d t^{2} } =
   \ - \frac{G m_1 m_2}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|^{2}}
   \ \cdot  \frac{{\bf r}_2 - {\bf r}_1}{|{\bf r}_2 - {\bf r}_1|}
\end{equation}

ここで、${\bf r} = {\bf r}_2 - {\bf r}_1$
と表わされる相対ベクトルと(1),(2)式を用いると

\begin{equation}
   \ m_1 \cdot \frac{d^{2} {\bf r}_1}{d t^{2} } =
   \ \frac{G m_1 m_2}{r^{3}} \cdot {\bf r}
\end{equation}

\begin{equation}
   \ m_2 \cdot \frac{d^{2} {\bf r}_2}{d t^{2} } =
   \ - \frac{G m_1 m_2}{r^{3}} \cdot {\bf r}
\end{equation}

(3),(4)式より

\begin{equation}
   \ \frac{d^{2}}{d t^{2}} ({\bf r}_2 - {\bf r}_1) =
   \ - \frac{G (m_1 + m_2)}{r^{3}} \cdot {\bf r}
\end{equation}　

ここでまた相対ベクトルを考えて、(5)式を変形すると
　　　
\begin{equation}
 　\frac{d^{2} {\bf r}}{d t^{2}}= - \frac{ G (m_1 + m_2)}{r^{3}} \cdot {\bf r} 
\end{equation}

(6)式は、中心星から見て、惑星は中心力を受け運動していることを表わしている。\\[1.0cm]


問題２

簡単のため $G=1$ 、 $m_1+m_2=1$ とする単位系をとる。

相対ベクトル${\bf r}  \equiv (x,y)$より　
その大きさは$|{\bf r}| = \sqrt{\mathstrut x^{2}+y^{2}}$ である。



(6)式をx,y成分に分解すると


\begin{equation}
   \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{1}{ \sqrt{\mathstrut (x^{2}+y^{2}})^{3}} \cdot x
\end{equation}
   
\begin{equation}   
   \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - \frac{1}{ \sqrt{\mathstrut (x^{2}+y^{2})^{3}}} \cdot y
\end{equation}


ここで中心星から見た惑星の速度ベクトル ${\bf v}$を

\[
   {\bf v} \equiv (v_x , v_y) = (\frac{d x}{d t} , \frac{d y}{d t})
\]

と定義すると (7),(8)式より　$\frac{d v_x}{d t}$ , $\frac{d v_y}{d t}$　は、

\[
   \ \frac{d v_x}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2} } = - \frac{x}{ \sqrt{\mathstrut (x^{2}+y^{2})^{3}}}
\]

\[
   \ \frac{d v_y}{d t} = \frac{d^{2} y}{d t^{2} } = - \frac{y}{ \sqrt{\mathstrut (x^{2}+y^{2})^{3}}}
\]


となり、$\frac{d v_x}{d t}$ と $\frac{d v_y}{d t}$ をx,yを用いて表わすことができた。

\end{document}