\documentclass{jsarticle}
\begin{document}

\title{ITPASS 数値計算実習課題その１}
\author{joho11　金野 圭祐}
\date{平成22年 7月15日}
\maketitle

\part*{解答}

\section{}

中心星と惑星の質量をそれぞれ$m_{1}$,$m_{2}$,位置ベクトルを${\bf r}_{1}$,${\bf r}_{2}$と定義する.
また,中心星に働く力を ${\bf F}_{1}$ ,惑　星に働く力を ${\bf F}_{2}$ とすると,万有引力の法則より,

\begin{eqnarray}
{\bf F}_{1}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{\left|{\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}\right|^{2}}\frac{{\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}}{\left|{\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}\right|} \nonumber 　,　 
{\bf F}_{2}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{\left|{\bf r}_{2}-{\bf r}_{1}\right|^{2}}\frac{{\bf r}_{2}-{\bf r}_{1}}{\left|{\bf r}_{2}-{\bf r}_{1}\right|} \nonumber \\
\nonumber
\end{eqnarray} 

となり,相対ベクトル ${\bf r} = {\bf r}_{2}-{\bf r}_{1}$ , $\left|{\bf r}\right| = r$ を用いて書き換えると,

\begin{eqnarray}
{\bf F}_{1}=\frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{3}}{\bf r} \nonumber 　,　
{\bf F}_{2}=- \frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{3}}{\bf r} \nonumber
\end{eqnarray}

と表せる.よって中心星,惑星それぞれの運動方程式は以下のようになる.

\begin{eqnarray}
m_{1}\frac{d^{2}{\bf r}_{1}}{dt^{2}}&=&　\frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{3}}{\bf r}\\
m_{2}\frac{d^{2}{\bf r}_{2}}{dt^{2}}&=&- \frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{3}}{\bf r}
\end{eqnarray}

(1)の両辺を$m_{1}$, (2)の両辺を$m_{2}$ で割ると,

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}{\bf r}_{1}}{dt^{2}}=\frac{Gm_{2}}{r^{3}}{\bf r}\nonumber  　,　
\frac{d^{2}{\bf r}_{2}}{dt^{2}}=- \frac{Gm_{1}}{r^{3}}{\bf r}\nonumber
\end{eqnarray}

となり,両式の差をとると,

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left({\bf r}_{2} - {\bf r}_{1}\right) = - \frac{G\left(m_{1} + m_{2}\right)}{r^{3}}{\bf r}\nonumber
\end{eqnarray}

すなわち,

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}{\bf r}}{dt^{2}} = - \frac{G\left(m_{1} + m_{2}\right)}{r^{3}}{\bf r}
\end{eqnarray}

が得られる.(3)は中心星に対する惑星の相対ベクトルで表されているため,この二体問題は中心星を原点と　したときの惑星の一体問題として扱うことができる。


\section{}
 
相対ベクトル${\bf r}$をx軸, y軸方向の単位ベクトルを用いて${\bf r} = {\it x} \mbox{\boldmath$\it{i}$} + {\it y} \mbox{\boldmath$\it{j}$}$ と表す.\\
　また, $r = \sqrt {\mathstrut x^{2} + y ^{2}}$ なので(3)は,

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left( x \mbox{\boldmath$\it{i}$} + y \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) = - \frac{G \left(m_{1} + m_{2}\right)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}\left( x \mbox{\boldmath$\it{i}$} + y \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) \nonumber
\end{eqnarray}

すなわち,

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\left( \frac{dx}{dt}  \mbox{\boldmath$\it{i}$} + \frac{dy}{dt} \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) = - \frac{G \left(m_{1} + m_{2}\right)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}\left(  x \mbox{\boldmath$\it{i}$} +  y \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) \nonumber
\end{eqnarray}

となり,中心星に対する惑星の速度は$({\it v}_{x} , {\it v}_{y} ) = \left(\displaystyle \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right)$ で表せるので,

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\left( v_{x} \mbox{\boldmath$\it{i}$} + v_{y} \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) = - \frac{G \left(m_{1} + m_{2}\right)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}\left(  x \mbox{\boldmath$\it{i}$} +  y \mbox{\boldmath$\it{j}$} \right) \nonumber
\end{eqnarray}

と書ける.  したがって,

\begin{eqnarray}
\frac{dv_{x}}{dt} = - \frac{G \left(m_{1} + m_{2}\right)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}x \\
\frac{dv_{y}}{dt} = - \frac{G \left(m_{1} + m_{2}\right)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}}y 
\end{eqnarray}

と表せる.

\end{document}