\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{bm}
\begin{document}
ITPASS実習レポート１

金藤夏子

担当情報実験機名 joho08



1.
中心星に対して成り立つ運動方程式は
\begin{equation}
　m_1\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_1$}}{dt^2}=-Gm_1m_2\frac{(\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$})}{|\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}|^3}
\end{equation}
　惑星に対して成り立つ運動方程式は
\begin{equation}
　m_2\frac{d^2\mbox{\boldmath $r_2$}}{dt^2}=-Gm_1m_2\frac{(\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$})}{|\mbox{\boldmath $r_2$}-\mbox{\boldmath $r_1$}|^3}
\end{equation}
$\mbox{\boldmath $r$}=\mbox{\boldmath $r_1$}-\mbox{\boldmath $r_2$}$とすると、
$\frac{(1)}{m_1}-{(2)}{m_2}$より、
$$\frac{d^2\mbox{\boldmath $r$}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)\mbox{\boldmath $r$}}{r^3}$$

(1)(2)を組み合わせることで、2体の問題を1体の問題として考えられるようになった。
さらに、相対ベクトルを使っていることから、この式はベクトルの原点から見た場合の物体の運動を表していることがわかる。
これから、この式は中心星から見て惑星はどんな動きをしているのかを表す式であることがわかる。


2.
$$\mbox{\boldmath $r$}=(x,y)に対して|\mbox{\boldmath $r$}|=\sqrt{x^2+y^2}だから、$$
$$\frac{dv}{dt}=\frac{d\mbox{\boldmath $r$}^2}{dt}=-G\frac{(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\mbox{\boldmath $r$}$$
$\mbox{\boldmath $v$}≡(v_x,v_y)=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$と定義すると、
$$\frac{dv_x}{dt}=-G\frac{(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}x$$
$$\frac{dv_y}{dt}=-G\frac{(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}y$$

と表せる。

\end{document}