\documentclass{jarticle}
\begin{document}

\title{数値計算実習課題その1}
\author{情報実験機07 \and 小林 英貴}
\maketitle

\section{問題}
万有引力の法則
\[ F=-\frac{GMm}{r^{2}} \]
を用いて、惑星の軌道を計算することを考えてみよう。
簡単のため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。
いま、質量がである中心星と、質量がである惑星のみで構成される惑星系を考える。
また中心性及び惑星の位置はベクトルで表されるとする。
\\[15pt]
1. 慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を書
け。またそれらから
\[ \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{GMm}{r^{3}}{\mathbf r} \]
を導出せよ。
ここで {\bf r} は ${\mathbf r}={\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}$ で表される相対ベクトルとす
る。このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものか
を考えよ。
\\[15pt]
2. 1. の運動方程式を成分に分けることを考えよう。
簡単のため、二体は同一平面上を運動しているとする。相対ベクト
ル ${\mathbf r} = (x,y)$ に対して、速度を \[ {\mathbf v}\equiv\left(v_x,v_y\right) =
\left( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \right) \] と定義する。このとき、 $\frac{dv_x}{dt}$,$\frac{dv_x}{dt}$ を $x,y$ を用いて表せ。

\newpage

\section{解答}

1.中心星と惑星についての運動方程式を立てる。 
\[ \left\{ \begin{array}{c c l}
 {m_1}\frac{d^{2}{r_1}}{dt^{2}} &=-{F_1} &=\frac{G{m_1}{m_2}}{r^{2}}
\\{m_2}\frac{d^{2}{r_2}}{dt^{2}} &=\ \ {F_2} &=\frac{G{m_1}{m_2}}{r^{2}} 
\end{array} \right. \]
 のようになる。
 よって、 \[ \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{GMm}{r^{3}}{\mathbf r} \]
が導出された。
上の式を、 \[ \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{GMm}{r^{2}}\frac{{\mathbf r}}{|{\mathbf r}|} \] 
と変形すると、$\frac{{\mathbf r}}{|{\mathbf r}|}$ は中心星から惑星に向かう単位ベクトル。この中心星と惑星の2質点は、内力が中心力で外力が働かないから、内部角運動量が保存する。
\\[15pt]
2.速度の定義、 \[ {\mathbf v}\equiv\left(v_x,v_y\right) =
\left( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \right) \]
を利用すると、$\frac{dv_x}{dt}$と$\frac{dv_y}{dt}$は次のようになる。
\[ \left\{ \begin{array}{c c l}
\frac{dv_x}{dt} &=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt} &=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
\\\frac{dv_x}{dt} &=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt} &=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
\end{array} \right. \]

\end{document}