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\begin{document}

\title{【修正】数値計算実習課題その1}
\author{情報実験機07 \and 氏名 : 小林 英貴}
\date{修正期限 : 平成22年7月22日(木)}
\maketitle

\begin{center}
\section*{問　題}
\end{center}

万有引力の法則
\[ F=-\frac{GMm}{r^{2}} \]
を用いて、惑星の軌道を計算することを考えてみよう。
簡単のため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。
いま、質量が${m_1}$である中心星と、質量が${m_2}$である惑星のみで構成される惑星系を考える。
また中心星及び惑星の位置はベクトル$\bf{r_1},\bf{r_2}$で表されるとする。
\\[15pt]

\subsection*{問題1.}
慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を書け。またそれらから
\[ \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{G({m_1}+{m_2})}{r^{3}}{\mathbf r} \]
を導出せよ。

ここで {\bf r} は ${\mathbf r}={\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}$ で表される相対ベクトルとす
る。このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものか
を考えよ。

\subsection*{問題2.}
1. の運動方程式を成分に分けることを考えよう。
簡単のため、二体は同一平面上を運動しているとする。相対ベクト
ル ${\mathbf r} = (x,y)$ に対して、速度を \[ {\mathbf v}\equiv\left(v_x,v_y\right) =
\left( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \right) \] と定義する。

このとき、 $\frac{dv_x}{dt}$,$\frac{dv_x}{dt}$ を $x,y$ を用いて表せ。

\newpage

\begin{center}
\section*{解　答}
\end{center}

\subsection*{解答1.}

中心星と惑星についての運動方程式を立てる。 

万有引力の法則は、万有引力をF、2物体の質量をそれぞれMとm、2物体間の距離をr、万有引力定数をGとすると、
\[ F=-\frac{GMm}{r^{2}} \]
で表される。

ここで質量${m_1}$の中心星及び質量${m_2}$の惑星のみで構成される惑星系を考える。それぞれの星の大きさは無視して、中心に質量が集中する質点と考える。

ある点を原点に取り、そこから中心星、惑星までの位置ベクトルを、それぞれ$\bf{r_1}$、$\bf{r_2}$とする。

この系に存在する力は万有引力のみなので、中心星に働く力を$\bf{F_1}$、惑星に働く力を$\bf{F_2}$として、運動方程式を立てると
\begin{equation}
{m_1}\frac{d^{2}{\mathbf {r_1}}}{dt^{2}}={\mathbf F_1}={\frac{G{m_1}{m_2}}{|{\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}|^{2}}}{\frac{({\mathbf r_2}-{\mathbf r_1})}{|{\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}|}}
\end{equation}
\begin{equation}
{m_2}\frac{d^{2}{\mathbf {r_2}}}{dt^{2}}={\mathbf F_2}={\frac{G{m_1}{m_2}}{|{\mathbf r_1}-{\mathbf r_2}|^{2}}}{\frac{({\mathbf r_1}-{\mathbf r_2})}{|{\mathbf r_1}-{\mathbf r_2}|}}
\end{equation}
となる。

相対ベクトルを$\bf{r}$として、${\mathbf r}={\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}$を用いて、(1)式と(2)式を変形すると、
\begin{equation}
{m_1}\frac{d^{2}{\mathbf {r_1}}}{dt^{2}}={\frac{G{m_1}{m_2}}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
\begin{equation}
{m_2}\frac{d^{2}{\mathbf {r_2}}}{dt^{2}}=-{\frac{G{m_1}{m_2}}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
となる。

(3)式の両辺を${m_1}$、(4)式の両辺を${m_2}$で割ると、
\begin{equation}
\frac{d^{2}{\mathbf {r_1}}}{dt^{2}}={\frac{G{m_2}}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d^{2}{\mathbf {r_2}}}{dt^{2}}=-{\frac{G{m_1}}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
となる。

よって、(6)式ー(5)式を行うと
\begin{equation}
\frac{d^{2}({\mathbf {r_2}}-{\mathbf {r_1}})}{dt^{2}}=-{\frac{G({m_1}+{m_2})}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
つまり
\begin{equation}
\frac{d^{2}{\mathbf {r}}}{dt^{2}}=-{\frac{G({m_1}+{m_2})}{|{\mathbf r}|^{2}}}{\frac{\mathbf r}{|{\mathbf r}|}}
\end{equation}
より、$|{\mathbf r}|=r$なので、
\[ \frac{d^{2}{\mathbf {r}}}{dt^{2}}=-\frac{G({m_1}+{m_2})}{r^{3}}{\mathbf r} \]
が導出された。

(8)式において、$\frac{{\mathbf r}}{|{\mathbf r}|}$ は中心星から惑星に向かう単位ベクトル。

この中心星と惑星の2質点は、内力が中心力で外力が働かない。また、導出された式は相対ベクトル${\mathbf r}$
の式で、 ${\mathbf r}={\mathbf r_2}-{\mathbf r_1}$であることから、相対運動を表していることが分かる。以上より、中心星と惑星は互いに引き合う力によって運動をしていて、条件(互いの距離や質量、初期の位置や速度)に依存して様々な軌道を描く。

また、(3)式(4)式より
\begin{equation}
{m_1}\frac{d^{2}{\mathbf {r_1}}}{dt^{2}}+{m_2}\frac{d^{2}{\mathbf {r_2}}}{dt^{2}}=0
\end{equation}
であり、重心$\bf{r_G}$は、
\begin{equation}
{\mathbf {r_G}}=\frac{{m_1}{\mathbf {r_1}}+{m_2}{\mathbf {r_2}}}{{m_1}+{m_2}}
\end{equation}
なので、(9)式(10)式から$\frac{d^{2}{\mathbf {r_G}}}{dt^{2}}=0$となるから、中心星と惑星の重心は等速直線運動をすると分かる。

\subsection*{解答2.}

1. の運動方程式を成分に分ける。相対ベクトル$\bf{r}$を${\mathbf r}=( x , y )$とする。

速度の定義、 \[ {\mathbf v}\equiv\left( v_x,v_y \right) =
\left( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \right) \]
を利用すると、$\frac{dv_x}{dt}$と$\frac{dv_y}{dt}$は次のようになる。
\begin{equation}
\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dv_y}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{dy}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}
\end{equation}

$|{\mathbf r}|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}$より 、1.で導出した式
\[ \frac{d^{2}{\mathbf r}}{dt^{2}}=-\frac{G({m_1}+{m_2})}{r^{3}}{\mathbf r} \]
を変形すると、

\begin{equation}
{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} = - {\frac{G(m_{1} + m_{2})}{(x + y)^{\frac{3}{2}}}}{x}
\end{equation}
\begin{equation}
{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}} = - {\frac{G(m_{1} + m_{2})}{(x + y)^{\frac{3}{2}}}}{y}
\end{equation}

求めるべき式、$({\frac{dv_{x}}{dt}},{\frac{dv_{y}}{dt}})$は(9)式〜(12)式を使って
\begin{displaymath}
\frac{dv_{x}}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - {\frac{G(m_{1} + m_{2})}{(x + y)^{\frac{3}{2}}}}{x}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{dv_{y}}{dt} = \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = - {\frac{G(m_{1} + m_{2})}{(x + y)^{\frac{3}{2}}}}{y}
\end{displaymath}
と分かる。

\end{document}