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\begin{document}

\title{ITPASS 数値計算実習課題 その1}
\author{板倉　統\\担当情報実験機名：joho01}
\date{平成22年7月22日}
\maketitle

\begin{itembox}[l]{問題1}
慣性系において、質量$m_1$の中心星と質量$m_2$の惑星に対して成り立つ運動方程式を求め、
$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}$で表される相対ベクトル$\overrightarrow{r}$を用いて
\[\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\overrightarrow{r}\]
を導出する。
\end{itembox}
\\
\\
中心星と惑星に加わる力の大きさ$F$は、万有引力の法則より
\[F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}\]
である。
\\\\
$\overrightarrow{r}$方向の単位ベクトルは$\frac{1}{r}\overrightarrow{r}$であることから、中心星の運動方程式は
\[m_1\frac{d^2\overrightarrow{r_1}}{dt^2}=F\frac{1}{r}\overrightarrow{r}\]
より、
\[m_1\frac{d^2\overrightarrow{r_1}}{dt^2}=\frac{Gm_1m_2}{|\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}|^3}(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1})\]
である。
\\\\
同様に、惑星の運動方程式は
\[m_2\frac{d^2\overrightarrow{r_2}}{dt^2}=-F\frac{1}{r}\overrightarrow{r}\]
より、
\[m_2\frac{d^2\overrightarrow{r_2}}{dt^2}=\frac{Gm_1m_2}{|\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}|^3}(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2})\]
である。
\\\\
以上から、
\begin{equation}
\frac{d^2\overrightarrow{r_1}}{dt^2}=\frac{Gm_2}{r^3}\overrightarrow{r}\label{1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d^2\overrightarrow{r_2}}{dt^2}=-\frac{Gm_1}{r^3}\overrightarrow{r}\label{2}
\end{equation}
である。
\\\\
ここで、
\[\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1})=\frac{d^2\overrightarrow{r_2}}{dt^2}-\frac{d^2\overrightarrow{r_1}}{dt^2}\]
に(\ref{1}) (\ref{2}) を代入すると
\[\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\overrightarrow{r}\]
となる。
\\\\
これは$\overrightarrow{r}$の場所にある物体は$-\overrightarrow{r}$の方向に加速度$\frac{G(m_1+m_2)}{r^2}$で加速されることを表しており、中心星の方向に惑星が加速度$\frac{G(m_1+m_2)}{r^2}$で加速している様子が分かる。
\newpage
\begin{itembox}[l]{問題2}
二体が同一平面上を運動していて、相対ベクトル$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して速度を
\[\overrightarrow{v}\equiv\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{pmatrix}\]
と定義するとき、$\frac{dv_x}{dt}$と$\frac{dv_y}{dt}$を$x$, $y$を用いて表す。
\end{itembox}
\\\\
$|\overrightarrow{r}|=\sqrt{x^2+y^2}$なので、
\[\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]
である。よって、
\[\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2r_x}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)x}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\]
\[\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2r_y}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)y}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\]
である。
\end{document}