\documentclass{jsarticle}


\title{数値計算実習課題その１　（6/25日出題分）}
\author{船津圭佑 joho02}
\date{2010年7月22日修正}
\pagestyle{plain}


\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
課題1慣性系において中心星と惑星の間に成り立つ運動方程式を考える\\
万有引力の法則は
\begin{eqnarray*}
F＝-\frac{GmM}{r^{2}}
\end{eqnarray*}
中心星の質量は$m_{1}$ 位置ベクトルは$\vec{r_{1}}$速度ベクトル$\vec{r_{1}}$　惑星の質量は$m_{2}$位置ベクトルは$\vec{r_{2}}$速度ベクトル$\vec{v_{2}}$
$また\vec{r}=\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}$    $\vec{v}=\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}}とおく$\\ 
中心星における運動方程式は 
\begin{eqnarray*}
m_{1}\frac{d\vec{v_{1}}}{dt}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{|\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}|^{3}}}(\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}})\\
\end{eqnarray*}
惑星における運動方程式は
\begin{eqnarray*}
m_{2}\frac{d\vec{v_{2}}}{dt}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{|\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}|^{3}}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{d\vec{v}}{dt}&=&\frac{d\vec{v_{2}}}{dt}-\frac{d\vec{v_{1}}}{dt}\\
&=&-\frac{Gm_{1}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^{3}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})+\frac{Gm_{2}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}|^{3}}}(\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}})\\
&=&-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^{3}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})\\
&=&-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r}|^{3}}(\vec{r})\\
\frac{d\vec{v}}{dt}&=&\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}
\end{eqnarray*}
以上から
\begin{eqnarray*}
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r}|^{3}}(\vec{r})
\end{eqnarray*}
この運動方程式はケプラー運動を表している\\ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



課題2.二天体が同一平面上を運動しているとすると相対ベクトル$\vec{r}=(x,y)$に対して速度を\\
\begin{eqnarray*}
\vec{v}=(\vec{v_{x}},\vec{v_{y}})=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})
と定義する\\
|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}なので\\
\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}(x,y)\\である、よって\\
\frac{d\vec{v_{x}}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r_{x}}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})x}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
\frac{d\vec{v_{y}}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r_{y}}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})y}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{eqnarray*}
\end{center}
　　　　　　　　　　　　　となる\\

\end{document}