\documentclass{jsarticle}


\title{数値計算実習課題その１　（6/25日出題分）}
\author{船津圭佑 joho02}
\date{2010年7月12日}
\pagestyle{plain}


\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
課題１.慣性系において中心星と惑星の間に成り立つ運動方程式を考える\\
  質量が中心星$m_{1}$ 惑星$m_{2}$となる惑星系の相対座標,相対速度を$\vec{r}=\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}$  $\vec{v}=\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}}$とおくと\\
\begin{eqnarray*}
\frac{d\vec{v}}{dt}&=&\frac{d\vec{v_{2}}}{dt}-\frac{d\vec{v_{1}}}{dt}\\
&=&-\frac{Gm_{1}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^{3}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})+\frac{Gm_{2}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}|^{3}}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})\\
&=&-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^{3}}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})\\
&=&-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r}|^{3}}(\vec{r})
\end{eqnarray*}
以上から
\begin{eqnarray*}
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{|\vec{r}|^{3}}(\vec{r})
\end{eqnarray*}
課題2.二天体が同一平面上を運動しているとすると相対ベクトル$\vec{r}=(x,y)$に対して速度を\\
\begin{eqnarray*}
\vec{v}=(\vec{v_{x}},\vec{v_{y}})=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})
と定義する\\
|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}なので\\
\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}(x,y)\\である、よって\\
\frac{d\vec{v_{x}}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r_{x}}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})x}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
\frac{d\vec{v_{y}}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r_{y}}}{dt^{2}}=-\frac{G(m_{1}+m_{2})y}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{eqnarray*}
\end{center}
　　　　　　　　　　　　　となる
\end{document}