\documentclass{jarticle}
\title{ITPASS 数値計算実習課題その１　二体問題}

\begin{document}
\maketitle

名前：山本　起大\\
 情報実験機番号：joho01\\
\section{中心星・惑星間の運動方程式}
$F$は2つの天体の間に働く万有引力のみを考えるので
\[F=-\frac{Gm_1m_2}{r^2}\]
よって中心星の運動方程式は
\begin{equation}
m_1\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}= \frac{Gm_1m_2}{|{\bf r}|^3}\mathbf{r}
\end{equation}
であり、\\
惑星の運動方程式は
\begin{equation}
m_2\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}= -\frac{Gm_1m_2}{|{\bf r}|^3}\mathbf{r}
\end{equation}
となる。\\
ここで
\[\mathbf{r} = \mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}\]
で$\bf{r}$は相対ベクトルである。\\
(2)式、(1)式を整理して引くと、\\
\begin{equation}
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1 + m_2)}{r^3}\mathbf{r}
\end{equation}
となり、求めたい式が導出できた。\\
(3)式はある1つの質点を原点として、中心力のみが働くことを表している。\\
相対ベクトルを導入することによって、二体問題を一体問題として考えることができる。

\section{成分に分解}
１を成分x,yに分解する。\par
(3)の運動方程式に$\mathbf{r}=(x,y)$を代入して、

\[
\frac{d^2}{dt^2}(x,y)=-\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}(x,y)
\]
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=-\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}
ここで、与えられた定義$(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(v_x,v_y)$より、(4)は以下のようになる。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(v_x,v_y)=-\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}

最後に、(5)をx,yにわけて書いて
\[
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}x, \  
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}y
\]
となる。


\end{document}