\documentclass{jarticle}
\title{ITPASS数値計算実習課題その１}
\begin{document}
\maketitle

\section{中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式}
運動方程式は、
\begin{equation}
M\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=F
\end{equation}
と表される。
中心星と惑星が共通の重心を中心として運動していると考える。
このとき、重心の位置ベクトル$\mathbf{r}$は、
\begin{equation}
\mathbf{r} = \mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}
\end{equation}
重心の位置にかかる質量Mは、
\begin{equation}
M =\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}
\end{equation}
ここで、$F$は万有引力のみを考えるので、
\begin{equation}
F=-\frac{Gm_1m_2}{r^2}
\end{equation}
よって、(2)〜(4)より、(1)は、

\begin{equation}
\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{Gm_1m_2}{r^3}\mathbf{r}
\end{equation}
と表され、
\begin{equation}
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1 + m_2)}{r^3}\mathbf{r}
\end{equation}
が導出された。

\section{１の運動方程式を成分に分ける}
(1)の運動方程式に$\mathbf{r}=(x,y)$を代入して、

\begin{equation}
\frac{d^2}{dt^2}(x,y)=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}
題意より、$\mathbf{v}\equiv(v_x,v_y)=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$なので、
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(v_x,v_y)=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}

よって、求める成分は、
\begin{equation}
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}x　,  \  
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}y
\end{equation}


\end{document}