\documentclass[a4j,11pt]{jarticle}
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\title{ITPASS数値計算実習課題1}
\author{瀧本　香織\\情報実験機 joho08}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\section{中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式}

運動方程式は、以下の式である。

\begin{equation}
  M \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = F
\end{equation}

また、このとき、２天体間に働く力は万有引力のみであるので、

\begin{equation}
  F = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{r^2}
\end{equation}

となる。

中心星の位置ベクトルを$\mathbf{r}_\mathrm{1}$、惑星の位置ベクトルを$\mathbf{r}_\mathrm{2}$とすると、
中心星の運動方程式は以下のものとなる。

\begin{equation}
  m_\mathrm{1}\frac{d^2\mathbf{r}_\mathrm{1}}{dt^2} = \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{|r^3|}\mathbf{r}
\end{equation}

また、惑星の運動方程式は、以下のものとなる。


\begin{equation}
  m_\mathrm{2}\frac{d^2\mathbf{r}_\mathrm{2}}{dt^2} =　ー \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{|r^3|}\mathbf{r}
\end{equation}

ここで相対ベクトル$ \mathbf{r}$ = $\mathbf{r}_\mathrm{2}$ - $\mathbf{r}_\mathrm{1}$を用い、（３）式と（４）式を整理した上で引くと、

\begin{equation}
    \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}= - \frac{G(m_\mathrm{1} + m_\mathrm{2})}{r^3} \mathbf{r}
\end{equation}

という式が導出される。










\section{成分分解}

成分 x,y に分解する。
１(1) の運動方程式に $\bf{r}$ = (x, y) を代入すると、

\begin{equation}
    \frac{d^2}{dt^2} (x,y) = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y)
\end{equation}
\begin{equation}
    \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt},\frac{fy}{dt})= - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y)
\end{equation}

このとき、指示によると

\begin{equation}
\mathbf{v} \equiv  (v_\mathrm{x},v_\mathrm{y}) = (\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt})
\end{equation}

で定義されているので、以下を代入すると

\begin{equation}
    \frac{d}{dt}(v_\mathrm{x},v_\mathrm{y}) = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y)
\end{equation}

となる。ゆえに、

\begin{equation}
    \frac{dv_\mathrm{x}}{dt} = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} x 　,　　\frac{dv_\mathrm{y}}{dt} = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} y
\end{equation}

となる。

\end{document}