\documentclass{jsarticle}
\usepackage[dvipdfm]{graphicx}
\begin{document}

3体問題 - 実習その3

\section*{f=3.0　のパラメータの結果について考察}

\begin{tabular}{|l|cccccccc|} \hline
$x_{3}$&1.1&1.3&1.4&1.5&1.8&1.836&2.0&3.0 \\ \hline
factor=3.0&×&×&×&○&○&○&○&○ \\ \hline
\end{tabular}
\\
\\$x_{3}$が1.5より小さいときに惑星の軌道が不安定になっているということはどういうことか考えてみた。\\
パラメータ$x_{3}$は、中心星の回りに配置される惑星2つのうちの外側の方にくる惑星2の初期位置の値となる。\\
\[
\left \{
\begin{array}{cc}
中心星の初期位置は、$(x , y) = (0 , 0)$\\
惑星1（内側に配置される方の惑星）の初期位置は、$(x , y) = (0 , 1)$\\
として変えていない。
\end{array}
\right\}
\]

そして、$x_{3}$は中心星からの距離であり、$x_{3}$の大きさが小さい場合というのは、より中心星や惑星1に惑星2が近い初期位置で系の運動が始まるということになる。\\
万有引力は、
\begin{equation}
F = -G\frac{Mm}{r^{2}}
\end{equation}
であるので、中心星から見た、惑星2の初期位置rは、$r = \sqrt{1^{2} + {{x_{3}}^{2}}}$となるため、$x_{3}$が小さければ小さいほど、$r$は、小さくなる。中心星からだけの万有引力のみ考えるとき、惑星1に働く力の大きさを$F_{1}$、惑星2に働く力の大きさを$F_{2}$とおくと、以下のような簡単な比例関係が見えてくる。（ただし、これも系の運動が始まる瞬間のみのことある。）
\[
F_{1} : F_{2} = \frac{1}{1^{2}} : \frac{1}{1 + {x_{3}}^{2}}
\]
\begin{equation}
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.}
\hspace{2em}
F_{1} : F_{2} = (1 + {x_{3}}^{2}) : 1
\end{equation}
これを見ると、$x_{3}$が小さいほど、$F_{1}$に対する$F_{3}$の大きさが大きくなることが分かる。\\
相対的に見て、$F_{3}$に与えられる最初の運動エネルギーの原因となる万有引力が大きいということで、万有引力の結果惑星2に与えられる運動エネルギーも大きくなることになる。中心星が引きつけている力を降りきるだけ十分大きな惑星2の運動エネルギーをもたせうる一つの要因として、$x_{3}$の小ささが関係してくるのだと考えた。
\end{document}