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\begin{document}

\title{数値計算実習課題その1}
\author{羽山遼 ~担当情報実験機 ~joho10}
\maketitle

問題1.

中心星の質量を$m_1$、惑星の質量を$m_2$、万有引力定数を$G$、中心星の位置ベクトルを$\bm{r_1}$、
惑星の位置ベクトルを$\bm{r_2}$とし、相対ベクトルを$\bm{r}=\bm{r_2}-\bm{r_1}$と定義すると、
中心星について成り立つ運動方程式は、

\begin{equation}
 m_1 \frac{ d^2 \bm{r_1} }{dt^2}=  G \frac{m_1m_2 \bm{r} }{r^3} \
\end{equation}

惑星に関して成り立つ運動方程式は、

\begin{equation}
 m_2 \frac{ d^2 \bm{r_2} }{dt^2}= - G \frac{m_1m_2 \bm{r} }{r^3} \
\end{equation}

(1),(2)より、

\begin{equation}
 \frac{ d^2 \bm{r} }{dt^2}= -G \frac{(m_1+m_2) \bm{r} }{r^3} \
\end{equation}

問題2.

$\bm{r}=(x,y)$であるから、$x,y$ 座標方向の加速度はそれぞれ、$\frac{d\bm{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(v_x,v_y)$を代入して、

\begin{equation}
 \frac{ dv_x}{dt} = -G\frac{(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}x ~~,~~
 \frac{ dv_y}{dt} = -G\frac{(m_1+m_2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}y
\end{equation}

である。

\end{document}