\documentclass{jarticle}
\title{ITPASS 数値計算実習課題その１　二体問題}

\begin{document}
\maketitle
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~学籍番号・名前~：~ ~~箕浦~舞~\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~担当情報実験機名~：~~~~joho~05
\section{中心星・惑星間の運動方程式}
運動方程式の一般形は
\begin{equation}
M\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=F
\end{equation}
であり、
中心星・惑星それぞれについて運動方程式を表す. \\
今、このふたつしか存在しない系を考えるので$F$は万有引力のみとなり,
また相対ベクトル$\mathbf{r}=\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}$とすると
\begin{equation}
m_1\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}=
\frac{Gm_1m_2}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}
\end{equation}
\begin{equation}
m_2\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}=
-\frac{Gm_1m_2}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}
\end{equation}
となる.
ここで(2)式と(3)式の差をとると,



\begin{equation}
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=
-\frac{G(m_1 + m_2)}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}
\end{equation}
となるので、与式を導き出すことができる。


\section{成分に分解}
１を成分x,yに分解する。\par
(1)の運動方程式に$\mathbf{r}=(x,y)$を代入して、

\begin{equation}
\frac{d^2}{dt^2}(x,y)=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}
ここで、与えられた定義$(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(v_x,v_y)$より
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(v_x,v_y)=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}(x,y)
\end{equation}

ゆえに
\begin{equation}
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}x, \  
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{Gm_1m_2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}y
\end{equation}
となる。


\end{document}