\documentclass[10pt]{jarticle}
\title{itpass実習レポートその1}
\author{徳永翔太}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\section*{問1}

$\overrightarrow{\rm r}=\overrightarrow{\rm r_{2}}-\overrightarrow{\rm r_{1}}$とおく。

中心星の運動方程式は

\begin{eqnarray}
m_{1}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\frac{\overrightarrow{\rm r}}{r} \nonumber
\end{eqnarray}

であり、両辺を$m_{1}$で割ると

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=G\frac{m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}

惑星の運動方程式は

\begin{eqnarray}
m_{2}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\frac{\overrightarrow{\rm r}}{r} \nonumber
\end{eqnarray}

であり、両辺を$m_{2}$で割ると

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r} 
\end{eqnarray}

(2)-(1)より

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}-G\frac{m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r} \nonumber
\end{eqnarray}

したがって

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}

となり、与式は導出された。さらに(3)に$m_{2}$をかけて

\begin{eqnarray}
m_{2}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r}}{dt^{2}}=-G\frac{({m_{1}+m_{2})}m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}

(4)は中心星が座標原点に静止していて、その質量が$m_{1}$+$m_{2}$になった場合の惑星の運動を表している。

\section*{問2}

\begin{eqnarray}
r=|\overrightarrow{\rm r}|=\sqrt{\mathstrut x^{2}+y^{2}} \nonumber
\end{eqnarray}

なので、（3）を用いて

\begin{eqnarray}
\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}x 
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}y 
\end{eqnarray}

(5)(6)が求める式である。
\end{document}