\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
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\title{ITPASS数値計算実習課題1}
\author
{M Ishii\\
情報実験機：jouho01}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\section{中心星と惑星に成り立つ運動方程式}
運動方程式
\begin{equation}
M\frac{d^2r}{dt^2}=F
\end{equation}
である。中心星の位置ベクトルは$\bf{r_1}$、惑星の位置ベクトルは$\bf{r_2}$とおく。\\
今この系における支配的な力は万有引力のみであるので
\begin{equation}
\mathbf{F} = - \frac{Gm_1m_2}{r^3}\mathbf{r}
\end{equation}
(1)と(2)と位置ベクトル、さらに相対ベクトル$\bf{r}$ = $\bf{r_2}$ - $\bf{r_1}$を用いると
\begin{equation}
{m_1}\frac{d^2r_1}{dt^2} = \frac{Gm_1m_2}{\mid r \mid^3}\mathbf{r}
\end{equation}
\begin{equation}
{m_2}\frac{d^2r_2}{dt^2} = \frac{Gm_1m_2}{\mid r \mid^3}\mathbf{r}
\end{equation}
(3)の両辺を${m_1}$でわり(3)'とし、(4)の両辺を${m_2}$でわり(4)'とし、(3)'−(4)'すると
\begin{equation}
\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\mathbf{r}
\end{equation}
よって、求めたい式が導出された。


\section{成分分解}
前問を成分x，yに分解する。\\
(1)の運動方程式に$r$ = ($x$ , $y$)を代入して
\begin{equation}
\frac{d^2}{dt^2}\left(x , y \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right)
\end{equation}
ここで題意より、\\
\begin{equation*}
\vec{v} \equiv  (v_x , v_y) = (\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt})
\end{equation*}
なので、
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(v_x , v_y \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right)
\end{equation}
よって、求めたい成分は
\begin{equation*}
\frac{dv_x}{dt} = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x_2 + y_2 \right)^\frac{3}{2}}x , \
\frac{dv_y}{dt} = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x_2 + y_2 \right)^\frac{3}{2}}y \\
\end{equation*}
となる。

\end{document}