\documentclass[10pt]{jarticle}

\begin{document}

\title{課題その1}
\author{joho02 郭雨佳}
\date{}
\maketitle

\section*{　問1}
\noindent $\overrightarrow{\rm r}=\overrightarrow{\rm r_{2}}-\overrightarrow{\rm r_{1}}$とおくと、中心星の運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_{1}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\frac{\overrightarrow{\rm r}}{r}
\end{eqnarray}
惑星の運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_{2}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\frac{\overrightarrow{\rm r}}{r}
\end{eqnarray}
(1)を$m_{1}$で、(2)を$m_{2}$でそれぞれ割って
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=G\frac{m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r} \\
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}
(4)から(3)を引いて
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{2}}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r_{1}}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}-G\frac{m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r} \nonumber \\
\Longrightarrow\hspace{2.2em}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r}}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}
となり、導出終了。さらに(5)に$m_{2}$をかけて
\begin{eqnarray}
m_{2}\frac{d^{2}\overrightarrow{\rm r}}{dt^{2}}=-G\frac{(m_{1}+m_{2})m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{\rm r}
\end{eqnarray}
(6)は中心星が座標原点に静止していて、その質量が$m_{1}+m_{2}$になった場合の惑星の運動を表している。

\section*{　問2}
\noindent $r=|\overrightarrow{\rm r}|=\sqrt{\mathstrut x^{2}+y^{2}}$に注意して、(5)を成分表示する。
\begin{eqnarray}
\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}x \\
\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-G\frac{m_{1}+m_{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}y
\end{eqnarray}
(7)と(8)が求める式である。

\end{document}