\documentclass[10pt,a4]{jarticle}
\title{ITPASS 数値計算実習課題　二体問題}
\author{\ \ joho07 \ \ 後藤 陽香}
\begin{document}
\maketitle
\section{中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式}
質量 $m_{1}$ の中心星および質量 $m_{2}$ の惑星のみで構成される惑星系を考える。 \\
中心星の位置ベクトルを ${\bf r}_1$ 、惑星の位置ベクトルを ${\bf r}_2$ で表す。 \\
考える系における支配的な力は万有引力
\begin{eqnarray}
\mathbf{F} &=& - \ \ \frac {G m_{1} m_{2}} {r^{3}} \mathbf{r}
\end{eqnarray}
のみであるので、中心星に働く力${\bf F}_{12}$と惑星に働く力${\bf F}_{21}$は
\begin{eqnarray}
\mathbf{F}_{12} &=& - \ \ \frac {G m_{1} m_{2}} {{\mid \mathbf{r}_{1} - \mathbf{r}_{2} \mid}^{3}} ( \mathbf{r}_{1} - \mathbf{r}_{2} ) \\
\mathbf{F}_{21} &=& - \ \ \frac {G m_{1} m_{2}} {{\mid \mathbf{r}_{2} - \mathbf{r}_{1} \mid}^{3}} ( \mathbf{r}_{2} - \mathbf{r}_{1} )
\end{eqnarray}
\\
ここで相対ベクトル ${\bf r} = \mathbf{r}_{2} - \mathbf{r}_{1}$を定義すると \\
中心星における運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_{1} \frac {d^{2} \mathbf{r}_1} {d t^{2}} &=& \mathbf{F}_{12} \nonumber \\
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \ \ m_{1} \frac {d^{2} \mathbf{r}_1} {d t^{2}} &=& \frac {G m_{1} m_{2}} {r^{3}} \mathbf{r} 
\end{eqnarray}
であり、両辺を $m_{1}$ で割ると
\begin{eqnarray}
\frac {d^{2} \mathbf{r}_1} {d t^{2}} &=& \frac  {G m_{2}} {r^{3}} \mathbf{r}
\end{eqnarray}
\\
同様に、惑星における運動方程式は
\begin{eqnarray}
m_{2} \frac {d^{2} \mathbf{r}_2} {d t^{2}} &=& \mathbf{F}_{21} \nonumber \\
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \ \ m_{2} \frac {d^{2} \mathbf{r}_2} {d t^{2}} &=& - \ \ \frac {G m_{1} m_{2}} {r^{3}} \mathbf{r} 
\end{eqnarray}
であり、両辺を $m_{2}$ で割ると
\begin{eqnarray}
\frac {d^{2} \mathbf{r}_2} {d t^{2}} &=& - \ \ \frac  {G m_{1}} {r^{3}} \mathbf{r}
\end{eqnarray}
\\
(7)式 - (5)式より
\begin{eqnarray}
\frac {d^{2}} {d t^{2}} (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_{1}) &=& - \ \ \frac {G (m_{1} + m_{2})} {r^{3}} \mathbf{r} \nonumber \\
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \ \ \frac {d^{2} \mathbf{r}} {d t^{2}} &=& - \ \ \frac {G (m_{1} + m_{2})} {r^{3}} \mathbf{r}
\end{eqnarray}
\\
\\
\section{成分に分ける}
1の運動方程式を $(x,y)$ 成分に分ける。 \\
(8)式に ${\bf r} = (x,y)$ を代入すると \\
\begin{eqnarray}
\frac {d^{2}} {d t^{2}} \left(x,y \right) &=& - \ \ \frac {G \left(m_{1} + m_{2} \right)} { \left(x^{2} + y^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \left(x,y \right) \nonumber \\
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.} \ \  \frac {d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right) &=& - \ \ \frac {G(m_{1} + m_{2})} { \left(x^{2} + y^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \left(x,y \right)
\end{eqnarray}
ここで、 \\
\begin{eqnarray}
\mathbf{v} \equiv \left(v_{x} , v_{y} \right) = \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right)
\end{eqnarray}
より(9)式は、 \\
\begin{eqnarray}
\frac {d} {dt} (v_{x} , v_{y}) &=& - \ \ \frac {G \left(m_{1} + m_{2} \right)} { \left(x^{2} + y^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \left(x,y \right)
\end{eqnarray}
すなわち、
\begin{eqnarray}
\frac {d v_{x}} {dt} &=&  - \ \ \frac {G \left(m_{1} + m_{2} \right) x } { \left(x^{2} + y^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}  \\
\frac {d v_{y}} {dt} &=&  - \ \ \frac {G \left(m_{1} + m_{2} \right) y } { \left(x^{2} + y^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray}
\end{document}