β面近似

緯度 $\theta_0$, 経度 $\lambda_0$ を原点として, その接平面上において東向 きを x, 北向きを y, 上向きを z とする局所デカルト座標に方程式系を 座標変換することを考える. 水平方向の微分は

$$\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\lambda} = \DP{}{x}, \hskip10mm \frac{1}{r}\DP{}{\theta} = \DP{}{y}$$

と変換される. また質量保存式の $\partial (v\cos\theta) / (r\cos\theta\partial\theta)$ について考えると, $\cos\theta = \cos\theta_0 - \sin\theta_0 (\theta-\theta_0) + \cdots$ であるから,

$$\begin{array}{rcl} \Ddsty{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{v\cos\th... ...{\theta} } \\ & \rightarrow & \Ddsty {\DP{v}{y} } \end{array}$$

他のメトリック項も同様に座標変換すると, 結局次を得る.

$$\DD{\Dvect{u}}{t} + \Dvect{f}\times\Dvect{u} = -\frac{\Dgrad{p}}{\rho} + \Dgrad\Phi + \Dvect{F}$$ (5)

ただし $\Dvect{f}=(0, \cot\theta_0(f_0 - \beta_0 y \tan^2\theta_0), f_0 + \beta_0 y) \equiv (0, f', f)$ である. d/dt は次のように変換される.

$$\DD{}{t} = \DP{}{t} + u\DP{}{x} + v\DP{}{y} + w\DP{}{z}$$

また $\Dvect{F}=(F_x, F_y, F_z)$ は

$$\begin{array}{rcl} F_x & = & \Ddsty{ A_M \left(\DP[2]{u}{x} ... ...]{w}{x} + \DP[2]{w}{y}\right) + A_V \DP[2]{w}{z} } \end{array}$$