基礎方程式

海洋の運動は大気の運動と同様にナビエ・ストークスの方程式で記述される.

$$\DD{\Dvect{u}}{t} + (2\Dvect{\Omega}+\Dvect{M})\times\Dvect{u} = -\frac{\Dgrad{p}}{\rho} + \Dgrad\Phi + \Dvect{F}$$ (1)

ここで $\Dvect{u}=(u,v,w)$ は流速ベクトル, $\Dvect{\Omega}=(0,2\Omega\cos\theta,2\Omega\sin\theta)$ は地球の角速度 ベクトル, $\Dvect{M}=(-v/r,u/r,u\tan\theta/r)$ はメトリック項, $\theta$は緯度, r は地球中心からの距離, p は圧力, $\rho$ は密度, $\Phi$ はポ テンシャル(たとえば重力ポテンシャル), また d/dt は以下の通りである.

$$\DD{}{t} = \DP{}{t} + \Dvect{u}\cdot\Dgrad{} = \DP{}{t} + ... ...\theta}\DP{}{\lambda} + \frac{v}{r}\DP{}{\theta} + w\DP{}{r}$$

ここで $\lambda$ は経度を表す. $\Dvect{F}$ は粘性やその他の外力を表 す. いま特に外から与えられる物体力がない場合, $\Dvect{F}=(F_\lambda,F_\theta,F_r)$ は次のように表される.

$$\begin{array}{rcl} F_\lambda & = & \Ddsty{ A_M \left\{\Dlapl... ... \frac{A_V}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2\DP{w}{r}\right) } \end{array}$$

A_M は水平粘性係数, A_V は鉛直粘性係数である. また球面座標系におけ るラプラシアン演算子 ( $\Dlapla[2]{}$)は

$$\Dlapla[2]{\phi} \equiv \frac{1}{r^2\cos^2\theta}\DP[2]{\phi... ...\theta}\DP{}{\theta} \left(\cos\theta\DP{\phi}{\theta}\right)$$

となる. さらに質量の保存は次のように表される. ^[1]

$$\DD{\rho}{t} + \rho\Ddiv{\Dvect{u}} = 0$$ (2)

ここに $\Ddiv{\Dvect{u}}$ は次のように表される.

$$\Ddiv{\Dvect{u}} = \frac{1}{r\cos\theta}\left(\DP{u}{\lambda} + \DP{v\cos\theta}{\theta}\right) + \DP{w}{r}$$