Subsections

A. 準圧縮方程式系の導出

1 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数とする場合 の方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. また気体は理想気体みなせるものとする. このような系では温位 1#1 が非凝結時の保存量として使える.

1 元となる方程式系

3 次元大気の状態を 気温 280#280, 圧力 281#281, 風速 3#3, 密度 16#16 で表現する場合, 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    282#282 (72)
    283#283 (73)
    284#284 (74)

熱力学第一法則
 
285#285     (75)

状態方程式
 
286#286 19#19 287#287 (76)
288#288 19#19 289#289 (77)

密度の時間発展方程式
 
290#290 19#19 291#291 (78)
292#292 19#19 293#293 (79)
294#294 19#19 295#295 (80)
296#296 19#19 297#297 (81)

ここで 298#298 は凝結物も含んだ単位質量の気塊の定圧比熱, 299#299 は非断熱加熱による温度変化率, 9#9 は凝結性気体の比湿, 10#10 は雲水比湿, 300#300 は雨水比湿である. 301#301 は, 凝結成分の数だけ存在する. 131#131, 129#129, 130#130 はそれぞれ 乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. 以下では, 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数と する場合の基礎方程式系を導出する.

2 密度の時間発展方程式の書き換え - 比湿の時間発展方程式の導出 -

302#302 となると仮定して renzoku1 - renzoku4 の和をとると,

303#303 (82)

が得られる. 但し 304#304 となる ことを用いた. renzoku1 - renzoku4 及び renzoku5 より
305#305 19#19 306#306  
  19#19 307#307  
  19#19 308#308 (83)
309#309 19#19 310#310  
  19#19 311#311  
    312#312  
  19#19 313#313 (84)
314#314 19#19 315#315  
  19#19 316#316  
    317#317  
  19#19 318#318 (85)
319#319 19#19 320#320  
  19#19 321#321  
    322#322  
  19#19 323#323  
324#324     (86)

sphm2 - sphm5 を比湿で表現すると,
325#325 19#19 326#326 (87)
327#327 19#19 328#328 (88)
329#329 19#19 330#330 (89)
331#331 19#19 332#332 (90)

となる. 但し, 333#333 の関係が成り立つので, 28#28 については時間発展方程式を解かずに, 診断的に求めることとする.

3 熱の式の導出

Satoh(2004)と Landau and Lifshitz(1987) を参考にして熱の式 theta1 を導出する. 熱の式を導出する上で, 雨粒または氷粒の存在を無視する. 凝結性気体と凝結物は相平衡状態にあるとする. また各分子の定圧比熱の時間変化を無視する. 凝結性気体は非凝結性気体に比べて圧倒的に多いか, 或いは圧倒的に少ないもの とする.

比内部エネルギー 334#334 の時間発展方程式は

335#335 (91)

と表される. ここで 336#336, 337#337, 338#338 はそれぞれ放射フラック ス, 熱拡散フラックス, 消散率であり,
339#339 19#19 340#340  
  19#19 341#341 (92)
342#342 19#19 343#343 (93)

である. 344#344, 345#345 はそれぞれ非凝結性気体と凝結性気体の比エンタルピー, 346#346, 347#347 はそれぞれ非凝結性気体と凝結性気体の拡散流 束密度, 348#348 は熱伝導率, 233#233, 349#349 は第一粘性係数, 第二粘性係数である. 350#350 は潜熱 351#351 の定数部分であり,
352#352 (94)

である. 334#334 は比エンタルピー 353#353 を用いて
354#354 (95)

と表される. netu2 を netu1 に代入し, 355#355 について整理すると,
    356#356  
  19#19 357#357  
  19#19 358#358  
  19#19 145#145 (96)

すなわち
359#359     (97)

となる. 比エンタルピーを各カテゴリーの比エンタルピーの和で表現すると
360#360 19#19 361#361  
  19#19 362#362 (98)

となる. netu4 のラグランジュ微分をとると,
363#363 19#19 364#364  
    365#365  
  19#19 366#366 (99)

となる. 但し
367#367 (100)

と置いた. netu3 を netu6 に代入し, 368#368 について整 理すると,
369#369 19#19 370#370  
    371#371 (101)

雨粒又は氷粒の存在を無視する場合, 比湿の時間発展方程式は
325#325 19#19 372#372 (102)
327#327 19#19 373#373 (103)
329#329 19#19 374#374 (104)

と表される. 375#375, 376#376, 377#377 はそれぞれ
378#378 19#19 379#379 (105)
380#380 19#19 381#381 (106)
382#382 19#19 383#383 (107)

と表されるので, sphm6-A, sphm7-A, sphm8-A は
325#325 19#19 384#384 (108)
327#327 19#19 385#385 (109)
329#329 19#19 386#386 (110)

となる. sphm6-B, sphm7-B, sphm8-B を netu8 に代入すると,
369#369 19#19 370#370  
    387#387  
    388#388 (111)

となる. ここで netu1-A 及び
389#389 19#19 390#390 (112)
391#391 392#392 393#393 (113)

となることを用いて, netu9 から 394#394, 346#346, 347#347 を消去すると,
369#369 19#19 395#395  
    396#396  
    397#397  
  19#19 398#398  
    399#399  
    396#396  
    400#400  
  19#19 401#401  
    402#402  
  19#19 401#401  
    403#403  
  19#19 401#401  
    404#404  
405#405     (114)

となる. ここで
406#406 19#19 407#407 (115)
408#408 19#19 409#409 (116)
410#410 19#19 411#411 (117)
412#412 19#19 413#413 (118)

と置くと,
414#414 (119)

が得られる.

4 状態方程式の書き換え

equations:eqsdry, equations:eqsvapor より

415#415 19#19 416#416  
  19#19 417#417  
  19#19 418#418 (120)

ここで
419#419 53#53 420#420 (121)
421#421 53#53 422#422 (122)

と置くと,
423#423     (123)

となる. 但し 71#71, 72#72 はそれぞれ非凝結性ガスの気体定数, 凝結性ガスの気体定数 である. 76#76 は気体定数の密度の重みつき平均であり, 本文書では平均 気体定数と呼ぶことにする.

普遍気体定数を 424#424 として,

425#425 53#53 426#426 (124)

と置く. 但し 84#84, 85#85 はそれぞれ非凝結性ガスの分子量, 凝結性ガスの分子量を表 す. また 78#78 を平均分子量と呼ぶことにする. 本モデルでは 76#76, 78#78 を一定値とみなし, 以降 75#75, 86#86 と書くことにする. ここで
427#427 (125)

を導入すると,
415#415 19#19 428#428  
  392#392 429#429  
  19#19 430#430  
  19#19 431#431  
  19#19 432#432  
  19#19 433#433 (126)

と近似される[*]. 更に温位
434#434     (127)

及びエクスナー関数
435#435     (128)

並びに
436#436 (129)

を導入すると,
415#415 19#19 437#437 (130)

となる. ここで
438#438 19#19 439#439 (131)

であり, 本文書では 163#163 を平均定圧比熱と呼ぶことにす る. 67#67, 68#68 はそれぞれ非凝結性ガスの定圧比熱, 凝結性ガスの定圧比 熱を表す. また本モデルでは 163#163 を一定値とみなし, 440#440 と表すことにする. Tffにtheta5を代入して 281#281 を消去し, 16#16 について整 理すると,
441#441     (132)

となる.

5 熱力学第一法則の書き換え - 温位の式の導出 -

theta1 において, 凝結物が気体に比べて十分少なく, 442#442, 443#443 が成り立つとする と, 444#444 となるので,

445#445 (133)

と近似される. 平均定圧比熱を定数で近似すると,
446#446 (134)

となる. さらに凝結物は全密度に比べて十分小さいとみなすと,
447#447 (135)

と近似される. 1#1 のラグランジュ微分をとると,
448#448 19#19 449#449  
  19#19 450#450  
  19#19 451#451 (136)

となる. 但し式変形の途中で 452#452 を用いた. 乱流拡散を考慮すると,
453#453     (137)

が得られる.

予報変数として温位を用いる際には平均気体定数, 平均定圧比熱があまり大きく 変化することを許容しないことを前提とするので, 計算の適用範囲に制約が加わ ることに常に注意しなければならない.

6 相当温位の導出

theta8, sphm7 において, 放射加熱・散逸加熱・乱流拡散・ 雲粒落下を無視すると,

454#454 19#19 455#455 (138)
456#456 19#19 457#457 (139)

となる. ここで 458#458 であると仮定すると [*], epot1, epot2 より
459#459     (140)

となる. epot3において
460#460     (141)

と置くと, 256#256 は近似的に保存量となる.

7 圧力方程式の導出

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. Tfg のラグランジュ微分をとると,

461#461 19#19 462#462  
  19#19 463#463  
    464#464  
    465#465  
  19#19 466#466  
    467#467  
  19#19 468#468  
    469#469 (142)

となる. ここで 51#51 は音速であり,
470#470 (143)

である. pressure:theta-pi:drho に renzoku5 を適用すると,
471#471 19#19 472#472  
    473#473  
  19#19 474#474  
    475#475 (144)

となり, 圧力方程式が得られる.

8 運動方程式の書き換え

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. theta5, Tff より

476#476 19#19 477#477  
  19#19 478#478  
  19#19 479#479  
  19#19 480#480  

となる. 以上より
    481#481 (145)
    482#482 (146)
    483#483 (147)

が得られる.

9 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3 を予報変数とする場合 の方程式系

以上より, 3 次元大気の状態を 温位 1#1, エクスナー関数 2#2, 風速 3#3, 密度 16#16 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    484#484 (148)
    485#485 (149)
    486#486 (150)

圧力方程式
 
487#487 19#19 474#474  
    473#473  
488#488     (151)

状態方程式
 
489#489     (152)

熱の式
 
490#490     (153)

凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
 
    491#491 (154)
    492#492 (155)
    493#493 (156)

ただし, エクスナー関数 2#2 は,
494#494     (157)

であり, 音速 495#495
57#57 19#19 58#58 (158)

である.

2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

496#496 19#19 497#497  
498#498 19#19 499#499  
500#500 19#19 501#501  
502#502 19#19 503#503  
504#504 19#19 505#505  
506#506 19#19 507#507  
508#508 19#19 509#509  
510#510 19#19 511#511  
512#512 19#19 513#513  

ここで基本場の風速 514#514 と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場には静水圧平衡
515#515     (159)

の関係が成り立つものとする.

2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

516#516 19#19 517#517  
    518#518  
519#519 19#19 520#520  
    521#521  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は 4#4 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
516#516 19#19 522#522  
    523#523 (160)
519#519 19#19 524#524  
    525#525 (161)

3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

526#526 19#19 527#527  
    528#528  
    529#529  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
526#526 19#19 530#530  
    531#531  

さらに静水圧の式
532#532     (162)

を利用すると以下のようになる.
526#526 19#19 530#530  
    533#533  
  19#19 534#534  

仮温位
535#535     (163)

を基本場成分と擾乱成分に分けると,
536#536 19#19 537#537  
  19#19 538#538 (164)
539#539 19#19 540#540  
  19#19 541#541  
    542#542 (165)

となるので, 浮力項は
543#543     (166)

と書き換えられる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
111#111 19#19 544#544  
    545#545 (167)

となる.

4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない. pressure:theta-p:p に sphm6, sphm7 を代入する と,

471#471 19#19 546#546  
    547#547  
    548#548  
  19#19 546#546  
    549#549 (168)

となる. pressEQ1 の左辺を線形化すると,
471#471 19#19 550#550  
  551#551 552#552  

となる. 乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと, 圧力方程式を線形化したときの 553#553, 及び 554#554 からの寄与は基本場成分のみとなる. 従って pressEQ1 の右辺を線形化すると,
    546#546  
    555#555  
  551#551 556#556  
    557#557  
  19#19 556#556  
    558#558  

となる. ここで 559#559, 560#560 となることを用いた. また
561#561      

である. 従って線形化された圧力方程式は
114#114 19#19 562#562  
    116#116  
    558#558  
563#563     (169)

と表される. pressEQ2 の右辺第 1 項, 第 2 項をまとめると,
    562#562  
  19#19 564#564  
  19#19 565#565  
  19#19 566#566  
  19#19 567#567  

以上より,
114#114 19#19 567#567  
    116#116  
    558#558  
568#568     (170)

である.

5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

569#569 19#19 570#570  
    571#571  

ここで平均場の量は 6#6 の関数であることを用いると,
572#572 19#19 573#573  
    574#574 (171)

となる.

6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに 等しい.

153#153 19#19 575#575  
    576#576 (172)
156#156 19#19 577#577  
    578#578 (173)
159#159 19#19 579#579  
    580#580 (174)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

7 エネルギー方程式の導出

準圧縮方程式系におけるエネルギー方程式を導出する.

bunri:moist:dudt, bunri:moist:dvdt, bunri:moist:dwdt にそれぞれ 581#581, 582#582, 583#583 を掛けて足し合わせると

584#584 19#19 585#585 (175)

となる. 但し 586#586, 587#587, 588#588 と置いた. 連続の式
589#589 (176)


590#590 (177)

より
591#591 (178)

となる. 但し 592#592 であ ることを用いた. AAB を用いると, AAA の右辺第 1 項は
593#593 19#19 594#594  
  19#19 595#595 (179)

となる. また pressEQ3 を用いて AAA の右辺第 2 項を書き換えると
596#596 19#19 597#597  
  19#19 598#598  
    599#599  
    600#600  
    601#601  
    602#602  
  19#19 603#603  
    604#604  
    605#605  
    601#601  
    606#606 (180)

となる. AAB より任意のスカラー量 607#607 について
608#608 (181)

が成り立つ. Thermeq 及び AAE を用いて AAA の右辺第 4 項 を書き換えると,
609#609 19#19 610#610  
  19#19 611#611  
  19#19 612#612  
  19#19 613#613  
    614#614  
  19#19 615#615  
    616#616  
    617#617 (182)


618#618 19#19 619#619  
    620#620  
    621#621  
622#622     (183)


623#623 19#19 624#624  
    625#625  
    626#626  
627#627     (184)


628#628 19#19 629#629  
    630#630  
    631#631  
632#632     (185)

AAC, AAD, AAF, AAF-2, AAF-3, AAF-3A より AAA は以下のように書き換えられる.
    633#633  
  19#19 634#634  
    604#604  
    605#605  
    558#558  
    635#635  
    636#636  
    637#637  
    638#638  
    639#639  
    640#640 (186)

計算領域として矩形領域を想定し, 鉛直方向の境界からの流出は無く, 水平境界 の両端では周期的であるとすると, 計算領域境界面でのフラックスはゼロとなる. 従って AAG を全計算領域にわたって積分すると,
    641#641  
  19#19 642#642  
    643#643  
    605#605  
    644#644  
    645#645  
    646#646  
    647#647  
    638#638  
    648#648  
    649#649 (187)

となり, 準圧縮方程式に関するエネルギー方程式が得られる.

AAH の左辺は全エネルギーの時間変化を表している. 左辺の被積分関数の第 1 項, 第 2 項, 第 3 項はそれぞれ運動エネルギー, 浮 力による位置エネルギー, 弾性エネルギー(熱エネルギー)を表す. 右辺第 1 項, 第 5 項, 第 6 項は準圧縮近似によって現れる項であり, 一般に ゼロとなることはない. 右辺第 2 項は運動量の乱流拡散, 第 3 項は凝結, 第 4 項は非断熱加熱と乱流 拡散, 第 7 項は蒸気の勾配・雲粒落下・水蒸気拡散, 第 8 項は温位勾配・非断 熱加熱を表す. 非断熱加熱や乱流拡散や基本場の空間変化が存在しなかったとしても, 右辺がゼ ロとなることは無い. 即ち, 準圧縮方程式では全エネルギーが保存されることはない.

3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

運動方程式
 
516#516 19#19 522#522  
    650#650 (188)
519#519 19#19 524#524  
    651#651 (189)
111#111 19#19 544#544  
    652#652  
653#653     (190)

圧力方程式
 
114#114 19#19 115#115  
    117#117  
    118#118  
654#654     (191)

熱の式
 
572#572 19#19 655#655  
    656#656 (192)

比湿の保存式
 
153#153 19#19 575#575  
    657#657 (193)
156#156 19#19 577#577  
    658#658 (194)
159#159 19#19 579#579  
    659#659 (195)

エネルギー方程式
 
    641#641  
  19#19 642#642  
    643#643  
    605#605  
    644#644  
    645#645  
    646#646  
    647#647  
    638#638  
    648#648  
    660#660 (196)



Footnotes

... と近似される[*]
TfA で行なった近似の精度については現在調査中である.
... であると仮定すると[*]
地球大気ではこの近似が成立するとされているが, 他の惑星大気で成立するかど うかは常に確かめる必要がある.
Yamashita Tatsuya 2010-04-21